Library › Latin: Science & Medicine › Photismi de Lumine et Umbra
Francesco Maurolico’s treatise on light and shadow (Photismi), a work of geometrical optics. It begins with definitions distinguishing bodies that shine of themselves, like the sun and flame, from those that reflect light received from elsewhere, like the moon and mirrors, and defines primary and secondary light and shadow. Postulates on the rectilinear propagation and intensity of light follow, and then theorems on the passage of light through apertures, showing for example that light from a circular source through a circular hole forms a luminous cone.
Maurolico’s optics, written over several decades and published only in 1611, addressed the classic problem of why light through an angular aperture forms a round image, and contributed to the understanding of the camera obscura and of vision. The edition by Ken’ichi Takahashi and Riccardo Bellè includes some notes on manuscript readings within the text. Its axiomatic form, with definitions, postulates and propositions, follows the Euclidean model.
About this edition. The Latin text comes from Corpus Corporum, the Latin text repository of the University of Zurich (edition: Ken'ichi Takahashi and Riccardo Bellè, Mathematica (Corpus Corporum)), reused with attribution for non-commercial purposes (CC BY-NC-SA). Every word has been analyzed with LatinCy, a neural language model for Latin — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from Lewis & Short’s A Latin Dictionary.
Latin · Science & Medicine
Photismi de Lumine et Umbra
Francesco Maurolico · every word parsed
1
Definitiones S; omisit C
1 Lucidorum aliud quidem per se radiat, ut sol, flamma; aliud autem aliunde receptum lumen reflectit, ut luna, speculum.
2 Primariam ergo lucem uocabimus eam, quae immediate a corpore per se radiante procedit.
3 Eam uero quae ex prima, uel quotacumque reflexione fit, secundariam dicemus.
5
4 Umbram quoque appellabimus uel uniuersalem uel particularem luminis absentiam.
Supposita
1 Omne lucidi punctum per rectam radiare lineam.
2 Densiores radios intensius, aeque uero densos aequaliter illuminare.
3 Ab uno speculi puncto, in quod signum lucidi quodpiam irradiat, in unum quoque locum reflexionem fieri.
10
4 Lucido ad illuminati, illuminato usque ad lucidi locum tralatis, lucidum adhuc eodem, quo prius , tramite ad illuminatum radiat.
5 Plures radios intensius, aequales uero aequaliter illuminare.
6 Uidetur deesse hoc principium: Ab angulis aequalibus aequales numero radii emittuntur, et a maiori plures, propterea quod radii debent esse inter se distantes determinato quodam modo. Non enim sub quocumque angulo res uidetur. Uide Perspectiuam Euclidis ex traditione F. Ignatii . C S Clauius in
Theorema 1
Unumquodque lucidi punctum in quodlibet illuminatae rei signum radiat.
15
In lucido enim A, signum quodlibet, quod sit A, in rem illuminatam BC radiabit (ex primo supposito ) per omnes rectas quas ab ipso A signo ad BC produci contingit. Sed ab ipso A signo ad omne rei BC signum recta linea produci potest, utpote lineae AB, AD, AE, AF, AC. Igitur et ipsum A signum in quodlibet ipsius BC rei punctum radiabit. Idem quoque ostendemus de quolibet ipsius lucidi A signo, a quo ad omnia ipsius BC loca rectae progrediuntur. Et hoc erat demonstrandum.
Corollarium
tt3Hinc monstratum est a lucido S C2; A lucidum C
infinitas radiare pyramides, quarum uertices in ipsius lucidi, bases uero in illuminati superficie consistunt. Item et infinitas, quarum bases in lucidi, uertices uero in illuminati superficie statuuntur.
Theorema 2
20
Aequaliter inclinati radii, aequaliter; erectiores autem, magis; perpendiculares uero, maxime illuminant.
Intelligantur enim a signis A, B, C paralleli radii ad duo plana DEF et GHK aequaliter inclinati ad signa D, E, F et G, H, K, radiare. Item et iidem ad planum GLM, erectiores in signis G, L, M ad planum uero GNO, in signis G, N, O perpendiculares illucere. Aio quod ipsa DEF et GHK plana aequaliter illuminantur; ipsum autem GLM, magis; ipsum GNO, maxime. Cum enim ipsi AG, BN et CO radii ad ipsa DEF et GHK plana sint aeque inclinati, erunt et aequaliter densi.Hoc est, rectae DE, GH. Item EF, HK aequales erunt. C S Clauius in
Cumque iidem sint ad GLM planum erectiores, erunt ibidem et densiorescum GL minor sit quam GH, et LM minor quam HK C S Clauius in
; cum denique ad
GNO
25
planum sint perpendiculares, erunt et in eodem densissimi
cum
GN
,
NO
30
sint minimae omnium, quae inter parallelas
AG
,
BN
,
35
CO
cadunt linearum
C S Clauius in
. Igitur per secundum suppositum plana
DEF
40
et
GHK
, aequaliter; planum autem
GLM
, magis; ipsum uero
45
GNO
, maxime illuminabitur. Quod est propositum.
Corollarium
Hinc illud sequitur ut solares radii locos in quibus aeque inclinati fuerint, aequaliter; in quibus autem erectiores, magis; in quibus uero perpendiculares extiterint, maxime calefaciant. Cum enim calor lucem ipsam solis comitetur, cum eadem intenditur et remittitur. Quare praemissis theorematis facientibus uerum est quod infertur.
Scholium.
50
Id etiam patet, quoniam aequalia spatia ex aeque inclinatis radiis parallelis numero aequales, ex erectioribus autem plures, ex perpendicularibus tandem plurimos recipiunt radios. Quare ex quinto supposito id quod prius, ostendetur. C S Clauius in
Theorema 3
Aeque remota signa aequaliter; propiora uero magis illuminant.
A signo enim lucidi cuiuspiam A in planum BC cadant radii AB, AD, AE, AF et AC, intelliganturque iidem radii rem GH, signo A propiorem, illuminare in signis G, H, K, L, M, sitque AE radius ipsis BC et GH planis perpendicularis; ipsi uero AD et AF item et AB et AC, aequales. Aio quod BE et EC plana aequaliter, ipsum uero GH magis illuminabitur. Patet enim radios AB, AD, AE, AF et AC in planis BE et EC esse aequaliter densos, in plano uero GH densiores.Sunt enim spatia DE, BD spatiis FE, CF aequalia, quibus quidem minora sunt spatia KL, GK, ML, HM. C S Clauius in
Igitur per secundum suppositum, ipsa
55
BE
et
EC
plana aequaliter, ipsum uero
GH
60
magis illuminabitur.
tt1Quod si intelligatur signum S; spacium C
A
spatio
BC
65
propius fieri inter ipsas
BA
,
AC
lineas, crescet iam
70
BAC
angulus. Itaque
BC
spatium plures suscipiet radios. Quare ex quinto supposito magis illuminabitur.
Corollarium
75
Hinc et illud sequitur, ut sol aeque a se remota aequaliter, propiora uero magis calefaciat.
Theorema 4
Potest signum plano tantum propinquare, ut planum ipsum fortius, uerum particularius illuminet.
tt2 Signum A planum BC illuminet radiis AB, AD, AE, AF et AC, e quibus AE perpendicularis. Aio quod possibile est signum A tantum propius fieri plano BC, ut magis per minorem ipsius plani partem illustret. Fiat enim propinquius signum A ipsi BC plano in signo G lineae AE, ita ut ductis radiis S C2; mediis C
GB
80
,
GD
,
GE
,
85
GF
et
GC
, angulus
BGD
90
minor fiat angulo
BAD
, hoc enim possibile est.
Et demonstratur
S1; omisit C
95
: nam si ex scholio propositionis 5ae libri 4i per tria puncta
B
,
D
,
100
A
describatur arcus circuli
BDA
; BDGA S1
et extra arcum in recta
105
AE
; GE S1
accipiatur punctum infra
G
, a quo ducantur rectae
110
GB
,
GD
et reliquae, ut modo dictum est; item ex puncto
I
115
, ubi recta
BG
secat arcum
DA
; DG S1
120
, ducatur recta
DI
. Erit angulus
BID
aequalis angulo
125
BAD
per 21am tertii, et maior angulo
BGD
per 16am primi.
S1 Clauius in
130
Ducantur etiam GH ipsi AB, et GK ipsi AD, paralleli; item GL ipsi AF, et GM ipsi AC, paralleli radii. Ergo sub angulo BAC aequales sunt numero radii radiis sub angulo HGM comprehensis. Sed hi densiores.quia minus spatium occupant. C S Clauius in
Igitur per secundum suppositum erit planum
HM
illustratius plano
BC
135
. Radii uero sub angulo
BAD
plures sunt quam radii sub angulo
BGD
comprehensi; nam angulus ille est maior hoc; per quintum ergo suppositum
140
BD
spatium magis illustratur a radiis qui sub angulo
BAD
quam ab iis qui sub angulo
BGD
145
comprehenduntur. Idem de spatio
FC
demonstrabitur. Quare signum
G
plano
150
BC
propinquius quam signum
A
, ex toto
BC
155
, spacium dumtaxat
HM
uel fortasse ipsum
DF
fortius illuminat
160
C2 signo posito in margine ; illustrat S1; omisit C
, reliquum uero magis ab ipso
A
signo illustratur.
Theorema 5
165
Possibile est signa ad inaequales distantias spacium aliquod aequaliter illustrare.
abbr1 In circuli ABC peripheria sumptis duobus signis A, B, a corda CD inaequaliter remotis, productisque rectis AC, AD, BC et BD, intelligantur ipsa A et B signa in CD spacium radiare. Quoniam igitur ipsi CAD et CBD anguli sunt inuicem aequales, ideo radii sub iisdem angulis comprehensi sunt inuicem aequales. Per quintum ergo suppositum, ipsum CD spacium aequaliter illustrabunt.
Scholium
Theorema hoc de signis ad inaequales distantias aequaliter illuminantibus, debet habere locum, quando sunt cetera paria; alioquin semper fortius agunt radii erectiores, quia scilicet melius applicantur rei illuminatae, licet numero pares sint radiis inclinatioribus. S1 Staserius in
Theorema 6
170
Possibile est lucidi signum quodpiam singulas plani partes inaequaliter illuminare.
Sit signum A planum BC illuminans, sitque AB radius perpendicularis, obliqui uero AD et AC, ponaturque BD ipsi DC aequalis, unde fiet ut BAD angulus maior sit ipso DAC.
Quod sic ostendetur: Si enim fiat angulus
ADE
aequalis obtuso angulo
175
ADC
, concurratque
DE
cum
AB
180
protracta in
E
, erit
DE
recto angulo
185
DBE
subtensa maior quam
DB
seu
DC
190
. Unde si ex
DE
maiore sumatur
DF
aequalis ipsi
195
DC
, ducaturque
AF
, erunt triangula
ADF
200
,
ADC
, per 4am primi aequiangula, et angulus
BAD
maior tam angulo
205
FAD
quam
DAC
qui aequalis est ipsi
FAD
210
. Aliter: Ducta lateri
AC
parallela
DG
, erunt anguli alterni
215
GDA
,
DAC
aequales; sed in triagulo
GDA
220
, latus
GD
maius est latere
GA
, nam maius est latere
225
GB
, quod aequale est ipsi
GA
, per 2am sexti. Ergo angulus
GAD
230
maior est angulo
GDA
, et huic aequali
DAC
.
235
S Clauius in
Atque ideo qui sub BAD radii plures sint quam qui sub DAC angulo; per quintum; primum C S
ergo suppositum, ipsum
BD
spacium illustratius est ipso
240
DC
. Idem de reliquis quibuscumque partibus demonstrabimus.
Idem ostendes per densitatem radiorum. Si enim anguli
BAD
,
245
DAC
aequales fiant, erunt radii in
BD
cadentes aequales numero radiis in
DC
250
cadentibus. Et quoniam hac ratione
BD
minor est quam
DC
, erunt radii in
255
BD
densiores.
C S Clauius in
Theorema 7
In circuli centro uel periferia signum existens singulas ipsius periferiae partes aequaliter illustrat.
260
In circuli BCD centro A signum, in eiusdem uero periferia B signum consistat. Aio quod tam A quam B signum periferiae BCD partes aequaliter illustrabit. Capiantur enim CD et DE, arcus inuicem aequales, et agantur rectae AC, AD, AE, item BC, BD, BE, eruntque anguli CAD, et DAE inuicem aequales, et ideo sub iisdem comprehensi radii ad inuicem aequales. abbr1bis Per secundum; tertium C S
ergo suppositum, ipsi
CD
et
DE
265
arcus aequaliter illustrantur,
quia ob aequalitatem arcuum
CD
et
DE
270
erunt aequaliter densi,
C S Clauius in
item quia
CBD
et
275
DBE
anguli ad inuicem aequales sunt, ideo ipsi
CD
et
DE
280
arcus ab ipso quoque
B
signo aequaliter illuminantur. Idem quoque de quibuslibet aequalibus circumferentiis ostendemus.
Theorema 8
Rectilineum a puncto quopiam illuminatum in sibi parallelum planum, maiorem quidem, sed sibi similem proiicit umbram.
285
Sit ab ipso A signo illustratum rectilineum BCD, umbramque proiiciat in planum sibi parallelum, quae sit EFG. Aio quod EFG umbra similis est ipsi BCD figurae, et maior eadem. Productis enim angularibus radiis ABE, ACF et ADG, ex 16a 11i, 2a sexti et similium figurarum definitione, patebit uerum esse quod proponitur.
Theorema 9
Possibile est trianguli non aequilateri umbram aequilateram proiici.
Construatur enim pyramis ABCD, supra triangulum aequilaterum BCD, seceturque pyramis ipsa plano ad basim obliquo, quod sit EFG. Eritque iam EFG triangulum non aequilaterum. Si ergo intelligatur triangulum ipsum EFG a signo A illuminari, proiiciet iam umbram BCD, quod fuit triangulum aequilaterum. Quod erat demonstrandum.
Corollarium
290
Similiter igitur possibile est a qualibet non aequilatera figura umbram proiici aequilateram.Conuersum etiam facile ostendi potest. Si enim EFG sit aequilaterum, et pyramis producta secetur oblique, erit umbra BCD non aequilatera. C S Clauius in
Theorema 10
Circulus a signo quopiam illuminatus, in sibi parallelum planum, umbram proiicit circularem ac se maiorem.
Sit a signo A illuminatus circulus BC umbramque proiiciat in planum sibi parallelum, quae sit DE. Aio quod circulus est DE. Si enim ut in Conicis ostenditur, conus plano basi parallelo secetur, sectio circulus est. Haud aliter ergo: quoniam circulus est BC, etiam ipsam DE sectionem ipsi BC parallelam circulum esse necesse est.
Theorema 11
295
Possibile est circuli ad planum obliqui umbram circularem proiici.
Esto enim ad hoc demonstrandum conus scalenus ABC, basim habens BC; qui quidem plano per axim secetur ad rectos angulos basi, sitque communis sectio trianguli ABC. Secetur etiam plano ad ipsum ABC triangulum recto, sitque communis sectio conicae superficiei et huius secantis plani conica sectio DE, communis uero sectio ipsius ABC trianguli et eiusdem plani recta DE, ponaturque ADE triangulum ipsi ABC triangulo similesed sub contrarie positum. S1; omisit C
S1 Clauius in
; eritque, ut in Conicis demonstratur
lib. 1 propos. 5
300
S1; l. 1 prop. 5 C in margine
S1 Clauius in
, conica sectio
DE
circulus.
305
Intelligatur ergo DE circulus a signo A illuminari, eritque umbra in planum, in quo circulus BC, proiecta, ipse circulus BC. Estque ipse DE circulus ad BC planum inclinatus. Igitur circulus ad planum, cui obliquus est, umbram proiicit circularem.
Theorema 12
Possibile est alicuius conicae sectionis umbram proiici circularem.
Sit conus quilibet ABC supra basim BC, qui secetur plano quopiam, ita ut fiat conica sectio ad libitum, quae sit DE, eritque ipsius DE sectionis a signo A illuminatae umbra circulus BC. Quod possibile fore praediximus.
Theorema 13
310
Circulus potest in planum umbram proiicere, quae sit conica sectio ad libitum.
Sit enim supra basim BC conus ABC, qui augeatur per ductum lineae a signo A ad basis BC periferiam, ita ut possit a plano infra basim BC secari. Secetur ergo ut fiat conica sectio ad libitum. Eritque circuli BC a signo A illustrati umbra, ipsa DE sectio ad libitum assumpta.
Theorema 14
Si lucidi signum sphaeram illuminet, minus quam hemisphaerium illustrat, et eo minus, quo signum ad sphaeram propius accesserit, terminus autem illustratae superficiei semper circulus est.
Sit lucidum signum A sphaeram BCD illustrans. Aio quod minus quam hemisphaerium illustrat; et quo signum illustrans propinquius sphaerae fuerit, eo minor erit illustratae superficiei portio; et quod terminus illustratae superficiei semper circulus est. om1 Secetur enim sphaera BCD plano per centrum et punctum S; omisit C
315
A
, sitque communis sectio circulus
BCD
, cuius centrum
E
320
, et ducantur ab ipso
A
signo circulum
BCD
atque ideo sphaeram contingentes lineae
325
AB
,
AD
et connectantur
BD
330
,
ED
, et EB, et
AE
periferiam
335
BCD
secans in signo
C
, ipsam autem
BD
340
in signo
F
. Quoniam igitur triangula orthogonia
ABE
et
345
ADE
inuicem aequilatera sunt, erunt et aequiangula. Quare anguli
FAB
et
FAD
350
inuicem aequales. Unde fit ut
ABF
et
ADF
triangula sint aequilatera ad inuicem, ideoque aequiangula, et propterea qui ad
355
F
anguli recti. Aequalis ergo est
BF
ipsi
FD
360
. Similiter ostendemus quod a contactibus quorumlibet radiorum a signo
A
in sphaerae superficiem contingenter productorum ad signum
F
ductae lineae sunt ad inuicem aequales; et quod unicuique ipsarum perpendicularis est
365
AF
, et ideo per 5am XI omnes in uno iacere plano.
Quare omnia contactuum signa in circulo esse, cuius dimetiens (ac diameter) C; omisit S
BD
ac centrum
370
F
. Igitur hic circulus terminus erit illuminatae superficiei. Et quoniam eius centrum
F
est praeter sphaerae centrum in linea
EC
375
, ideo erit minor. Unde portio sphaericae superficiei
illustrata
; lustrata S C
, cuius uertex
C
380
, minus est hemisphaerio. Sit etiam aliud signum
G
in linea
AE
sphaerae propinquius. Iam ductis radiis contingentibus
385
GH
et
GK
, connexisque
HK
390
, in signo
L
ipsam
EC
secante, iisdem nominibus patebit illustratae portionis terminum esse circulum, cuius dimetiens
395
HK
ac centrum
L
, et ipsius portionis uerticem
C
400
signum atque ipsam
HCK
portionem ab ipso
G
signo illustratam minorem esse ipsa
405
BCD
ab ipso
A
signo
illuminata
410
; illuminatam C S
.
Corollarium 1
Sphaera igitur a signo quopiam illuminata umbram proiicit non aliter quam circulus a signo illuminatus.
Corollarium 2
415
Item quo propius fuerit signum illuminans sphaerae uel circulo, eo maiorem proiicit umbram.
Corollarium
3Cor3TeoXIU Item tam a circulo quam a sphaera quae a signo quopiam illustratur, umbra progreditur semper crescens, similis coluro cono, quae quidem umbra solet a quibusdam calathoides S1; colathoides C S
appellari. Patent haec tria corollaria ex praemissis theorematis quam facillime.
Theorema 15
420
Lucida sphaera in sibi aequalem sphaeram irradians, eius hemisphaerium illuminat umbramque proiicit cylindricam.
Lucida sphaera ABC, cuius centrum D, in sphaeram sibi aequalem EFG, cuius centrum H, irradiet. Aio quod eius hemisphaerium illuminabit, umbramque proiiciet cylindricam. Secetur enim utraque ipsarum ABC et EFG sphaerarum plano eodem per centra, sintque communes sectiones ABC, EFG circuli, et connectantur centra D, H et describantur dimetientes AC et EG ipsi DH orthogonales, et connectantur AE et CG. Eritque AG parallelogrammum rectangulum, et ideo ipsae AE et CG erunt tam ABC quam EFG circulum contingentes. Quare et sphaeras ipsas ABC et EFG contingent. Similiter ostendemus quod omnes ipsarum ABC et EFG sphaerarum dimetientes ipsi DH orthogonales terminant puncta, in quibus extremi radii ipsas ABC et EFG sphaeras contingunt. Sed tales dimetientes per 5am 11i in eodem sunt plano. Puncta igitur contactuum in circulo sunt, cuius dimetiens AC in sphaera quidem ABC, in sphaera uero EFG sunt in circulo, cuius dimetiens EG. Hic igitur circulus terminus erit illuminatae superficiei. Et quoniam eius centrum est idem quod S; qui C
sphaerae centrum, ideo est circulus maximus in sphaera
EFG
.
425
abbr1tris Unde sphaeram diuidit in duo hemisphaeria. Hemisphaerium ergo est quod de sphaera EFG illuminabitur, cuius uertex F signum, in quo DH ipsam EFG periferiam secat. Et quoniam radii contingentes sunt S1; omisit C
latera cylindri, cuius bases sunt circuli, quorum dimetientes
AC
et
EG
430
, ideo tales radii ultra sphaeram
EFG
illuminatam producti umbram terminabunt cylindricam. Sicut fuerat demonstrandum.
Corollarium
Sphaera igitur a sphaera sibi aequali illuminata in planum, cui perpendicularis est recta
435
, quae sphaerarum centra connectit, circularem porrigit umbram; in planum uero cui eadem est obliqua,
umbram
S1 C; umbra S
proiicit quae cylindrica sectio est. Patet quoniam
umbra
440
S1; umbram S C
quam sphaera a sibi aequali sphaera illuminata facit cylindrica est. Cylindrus autem plano, cui cylindri axis perpendicularis est, sectus circulum in sectione facit; sectus uero plano, cui axis obliquus est, cylindricam gignit sectionem.
Theorema 16
Lucida sphaera in sphaeram se minorem radians ex ea plusquam hemisphaerium illustrat. Estque illuminatae superficiei terminus circulus, et quae proiicitur umbra, conica est in uertice euanescens.
om2 Lucida sphaera ABC, cuius centrum D, sphaeram se minorem irradiet EFG, cuius centrum H. Aio quod ex ea plusquam hemisphaerium illustrat; et illuminatae superficiei terminus est circulus; et umbra proiecta conica est. Secetur enim utraque ipsarum ABC et EFG sphaerarum S; C2 signo posito in margine ; omisit C
445
plano eodem per centra, sintque communes sectiones
ABC
et
EFG
circuli, et connectatur
450
DH
, periferiam
ABC
in signo
B
455
, et ipsam
EFG
in signo
F
secans. Et agatur radius
460
AE
, circulum
ABC
in signo
A
465
, circulum uero
EFG
in signo
E
contingens, et connectantur
470
AD
et
EH
. Eruntque
DAE
475
et
AEH
anguli recti. Sed quoniam
AD
maior est ipsa
480
EH
, ideo acutus est angulus
ADB
. Concurrent ergo
AE
485
et
DH
ad partes
EH
.
490
Concurrant itaque ad signum M, a quo ducatur MC recta ipsum ABC circulum contingens in signo C, quae necessario et ipsum EFG circulum continget.Hoc ita ostendemus. Quoniam contingentes MA, MC aequales sunt, erunt latera MA, MD lateribus MC, MD aequalia; sunt autem et bases DA, DC aequales; igitur anguli AMD, CMD aequales erunt. Eodem modo si ducatur ex M recta MG tangens circulum EFG, ostendemus angulos ad M esse aequales. Eadem ergo est recta MG quae MC, etc. C S Clauius in
Contingat ergo in signo
G
et connectantur
DC
495
et
HG
. Et quoniam
ABC
arcus minor est semicirculo, maior autem
500
EFG
, ideo ducantur cordae,
AC
quidem ipsam
DB
505
secans in signo
K
,
EG
uero ipsam
510
HM
secans in signo
L
.
Sit igitur MC radius ABC circulum atque adeo sphaeram ABC contingens in signo C, ipsum quoque EFG circulum in signo G, et ideo ipsam EFG sphaeram contingit. Sic omnes a signo M ad sphaeram ABC contingentes educti radii, ipsam quoque EFG sphaeram contingent. Et sicut in praemissa, ostendemus quod puncta contactuum in ipsa EFG sphaera sunt in circulo C; semicirculo S
515
, cuius dimetiens est
EG
, centrum autem
L
. Quare hic circulus est terminus illuminatae superficiei.
520
Et quoniam eius centrum extra sphaerae centrum est, ideo minor est. Quare portio sphaerae EFG, in qua est centrum sphaerae, maior est hemisphaerio. Ergo portio sphaericae superficiei, cuius uertex F, illustrata, maior est hemisphaerio. Et quoniam radii contingentes omnes ad M signum concurrunt, ideo umbra quae proiicitur est conus, cuius basis est circulus dimetientem habens EG, uertex uero M. Quae fuerunt demonstranda.
Corollarium 1
Sphaera igitur a sphaera se maiore illuminata in planum cui perpendicularis est recta, quae sphaerarum centra connectit, circularem proiicit umbram; in planum uero, cui eadem obliqua est, umbram porrigit, quae sectio est conica. Patet, quoniam umbra quam sphaera a se maiori sphaera illustrata facit, conica est. Conus autem a plano, cui conicus axis perpendicularis est, sectus circulum in sectione facit; sectus uero plano cui axis obliquus est, conicam gignit sectionem.
Corollarium 2
Hinc illud sequitur, ut sol, tam ex terra quam ex lunari globo, plus quam dimidium illuminet. Siquidem solaris sphaera et terrea et lunari maior est.
525
Scholium
Est notandum quod illud quod plus hemisphaerio illuminat sol, tam de lunari quam de terrestri corpore, in latitudine comprehendit tantum de ambitu corporis ipsius fere, quantum de periferia caeli continet semidiameter corporis solaris.
Theorema 17
tt4 Lucida sphaera in sphaeram se maiorem radians, ex ea minus quam hemisphaerium illustrat, estque illuminatae superficiei terminus circulus, et quae fit umbra, conus est colurus in processu crescens.
Intelligatur enim in descriptione premissa lucida sphaera EFG in sphaeram ABC se maiorem radiare, iam patebit circulum, cuius dimetiens AC, centrum uero K, terminum esse illuminatae superficiei sphaericae portionis, cuius uertex B. Et quoniam extra ipsam portionem cadit sphaerae centrum, ideo ipsa sphaericae S C2; sphaerica C
530
superficiei portio, cuius uertex
B
, minor est hemisphaerio. Patet etiam umbram esse conum colurum, qui a cono, cuius uertex
M
, basis uero circulus, cuius dimetiens
535
AC
, ultra signa
A
,
C
540
crescente gignitur.
Corollarium 1
Sphaera igitur a sphaera se minore illuminata in planum, cui perpendicularis est recta, quae sphaerarum centra connectit, circularem proiicit umbram; in planum uero cui eadem obliqua est, umbram porrigit, quae conica sectio est. Patet sicut primum S; pm C
praemissae propositionis corollarium.
Corollarium 2
545
Hinc quoque illud sequitur, ut luna plene radians ex terra minus quam hemisphaerium illuminet, quandoquidem luna (si clarissimis astrorum inspectionibus credimus) terrestri globo minor est.
Theorema 18
Quo maius fuerit lucidum, quoque magis illuminatum a plano, in quod umbra proiicitur, distiterit, eo maiores atque incertiores; intensiores C S
umbrae termini uidentur.
Sit enim lucidum AB, illuminatum uero spacium CD, in quod autem proiicitur umbra EF planum. Et per ipsa A, C et B, D extrema signa agantur radii in planum cadentes ACK et BDL. Patet iam ipsius CD umbram esse KL, quandoquidem a nullo ipsius AB lucidi signo ad spacium KL radius delabitur; non tamen umbrae termini K, L, ita umbram terminabunt, ut extra eam protinus perfecte illuminatum sequatur planum. abbr2 Capiantur enim in lucido AB signa G, H, a quibus per ipsa C, D signa ducantur ad planum GM, GP S; GN C
550
,
HO
et
HN
S; HP C
555
radii; item
AF
et
BE
radii. Spatium ergo
560
KM
illuminabitur a portione
AG
tantum; spatium
LN
565
a portione
BH
tantum; spatium uero
MO
a portione
570
AG
et a portione
GH
; spatium quoque
NP
575
a portione
BH
et portione
HG
. Quamobrem per quintum suppositum ipsum
580
KM
spatium minus quam
MO
, atque
LN
585
minus quam
NP
, illuminabitur. Similiter demonstrabimus quod quanto, quodlibet spatium inter ipsa
EK
uel
590
LF
, signa propius ipsis
E
,
F
595
signis accesserit, tanto magis illuminabitur.
Nam extra ipsa E et F signa, quodlibet lucidi AB signum in quodlibet plani signum irradiat. Non igitur perfecte definiti ac certi umbrae termini uidentur. Patet etiam quod quo maius fuerit AB lucidum et quo CD illuminatum a plano EF remotius fuerit, eo maiora fiunt spatia EK et LF, et ideo tanto incertiores; intensiores C S
umbrae termini.
Corollarium
Aut igitur umbra est id spatium, in quod nullum lucidi signum radiat; aut id spatium, in quo nullum signum est quod ab unoquoque lucidi signo illuminetur. Secundum ergo primam differentiam, ipsius CD umbra est spatium KL; secundum uero reliquam, ipsius CD umbra est totum EF spatium. Nam spatium KL a nullo lucidi AB signo illuminatur, spatium uero EF nullum habet punctum quod ab unoquoque lucidi AB puncto illuminetur S; illuminatur C
600
.
Theorema 19
Quot lucidis illustratur res, totidem proiicit umbras.
Si enim duo lucida AB et CD rem EF illustrent, protractis radiis AEG, BFH, et CEK, DFL ad planum KH, iam ipsum EF spatium a lucido AB illuminatum, proiiciet umbram GH, illustratum uero a lucido CD, umbram faciet KL. Quare ab utroque irradiatum duplicem porriget umbram. Cum enim spatium GH a lucido CD, spatium uero KL a lucido AB tantum illustretur at S; et C
reliqua plani
605
KH
spatia ab utroque illuminentur, per quintum suppositum minus illustrabuntur ipsa
GH
et
KL
610
quam reliqua spatia. Uidebuntur ergo
GH
et
KL
spacia tamquam
615
umbrae
S C2; umbra C
a reliquis differre. Et cum
GH
spatium sit ipsius
620
AB
luminis, ipsum uero
KL
sit ipsius
CD
625
luminis absentia, poterit per definitionem 4 utrumque ipsorum
KL
et
GH
spatiorum umbra uocari.
630
Corollarium 1
Lucidis igitur quotlibet rem quampiam illuminantibus, ibi fiet umbra densissima, ubi lucidorum omnium est absentia; ibi uero lux maxima, ubi lucida pariter omnia radiabunt. Et quo plura a loco lucida aberunt, eo densior ibi fiet umbra; quo uero plura locum lucida collustrabunt, eo maior ibi lux generabitur.
Corollarium 2
Unde patet quod quamuis spatium quodpiam ab aliquo lucido illuminetur, alterius tamen absentia luminis idem umbrosum uocabitur.
Theorema 20
635
Possibile est rei umbram conuersam proiici.
Sit lucidum AB, illuminatum uero CD lucido minus. Et per ipsa A, C et B, D ducantur radii AEF et BEG, sese in signo E secantes. Eritque ipsius CD umbra GF in plano GF. Cum igitur C signum in F, et D in G, umbrae extremum proiiciant, patet umbram rei conuersam in situm proiici. Scilicet ne caeteris radiis umbra ipsa euanescat, intelligantur ipsi AEF et BEG umbram conuertentes per foramen aliquod paruum transire, ut reliqui ab ingressu arceantur.
Corollarium
Si igitur res inter lucidum et foramen existens quorsum libet moueatur, eius umbra ultra foramen in contrarium moueri spectabitur.
Theorema 21
640
Quo minus duorum circulorum figurarumue similium similiterque positarum periferiae inter se remouentur, eo magis ad unius circuli uniusue figurae similitudinem coeunt.
Ut si duo circuli ABCD et AECF sese in signis A, C intersecent, quo minus ipsae ABC et AEC periferiae inter se distiterint, eo magis ipsa ABCF ex periferiis utriusque circuli compacta figura ad circuli unius similitudinem accedit. Uel si duo ABC et DEF similia similiterque posita triangula sese in signis G et H intersecent, quo minus unaquaeque sese respicientia latera inter se distiterint, eo magis ipsa AGDEHBCA ex utriusque trianguli peripheriis composita figura ad unius ipsorum triangulorum similitudinem propius accedit.
Corollarium
Duorum ergo circulorum figurarumue similium similiterque positarum periferiae possunt inter se tam minime differre, ut differentia sensu nequaquam percipiatur, ideoque uterque unus esse circulus uel utraque una esse putetur figura.
Theorema 22
645
Lucidorum per foramen in planum quodpiam radiantium formae conuersae porriguntur. Hoc enim, ut in praemissa, fit ex radiorum intersectione. Quod ut distinctius pateat, quasdam descriptiones adducemus.
Pro lucido enim circulari intelligantur supra bases AB atque CD duo coni similes, uerticem sortiti eundem qui sit E signum, sintque eorum axes una recta, quo fiet ut quaecumque recta ab ipsius AB basis circumferentia ad E uerticem agatur, eadem ulterius producta ad ipsius DC basis periferiam perueniat, ideoque una erit ipsa AC recta. Itemque una ipsa BD. Secetur itaque DEC conus plano ipsi AB, ideoque ipsi DC circulo parallelo, sitque sectio circulus GF. Intelligatur ergo, per foramen GF circulare, lucidum AB circulare in planum DC radiare. Eritque circulus DC tantum ex ipso plano a lucido AB illuminatus. Ab ipso enim lucido AB in nullum ipsius DC plani signum extra ipsum DC circulum radius elabitur. Et quoniam A in C, et B in D radiat, ideo ipsius AB circuli figura conuersa est. Concludimus ergo quod circulare lucidum per circulare foramen sibi aeque distans conum protendit luminosum, cuius uertex inter lucidum ipsum et foramen existit.
Pro lucido etiam alterius formae, ut triangulo, intelligantur supra ABC et DEF triangula similia duae similes pyramides uerticem eundem habentes qui sit G signum, sitque unaquaeque ipsarum AD, BE et CF linearum sese in signo G secantium una recta. Quo fiet ut ipsum AB latus ipsi DE, ipsum autem BC ipsi EF, ipsum uero CA ipsi FD respondeat. Utque ipsa AGB et DGE, item et ipsa BGC et EGF triangula, nec non et ipsa CGA et FGD triangula bina, in uno sunt plano. Omnis igitur a quolibet ipsius ABC trianguli latere et per G signum acta linea ad trianguli DEF illi respondens perueniet latus. Secetur itaque DEFG pyramis plano parallelo basi DEF, sitque sectio triangulum HKL ipsi DEF, ideoque ipsi ABC simile. Et intelligatur triangulum ABC lucidum per triangulare foramen HKL in planum DEF radiare. Eritque ex plano DEF triangulum dumtaxat DEF ab ipso ABC lucido illuminatum. Nullus enim ab ipso lucido ABC in planum DEF extra ipsum triangulum DEF radius progreditur. Et quoniam latus AB in latus quidem DE, latus uero BC in ipsum EF, ipsum uero CA in ipsum FD, radiat, ideo ipsius ABC trianguli forma, quae ipsum DEF triangulum est, ipsi lucido ABC conuersa uidetur. Concludimus ergo quod rectilineum lucidum per foramen sibi simile et parallelum ac conuersim positum radians, luminosam extendit pyramidem, cuius uertex ipsi lucido et foramini interiacet.
Sit quoque lucidum qualecumque AB, et foramen qualiscumque formae CD. Et productis in ipsum FE planum ipsis ADE, et BCF radiis sese in G signo secantibus, item ipsis ACH et BDK, intelligantur FCH et KDE luminosae pyramides uertices habentes C et D, bases uero FH et KE. om3 Quo fiet ut si ipsi AB parallelum ponatur FE planum, utraque ipsarum FH et KE basium ipsi AB lucido similis existat propter pyramidum similitudinem. Quoniam igitur ipsi FCH et KDE anguli maiores sunt angulis FBK et HAE, ideo fit ut productis radiis, ipsa FH et KE basium spatia non proportionaliter crescant cum ipsis FK et HE spatiis S; omisit C
.
650
om4 Nam quo ulterius radii producti fuerint, eo maior fiet ipsorum FH et KE spatiorum proportio ad ipsa FK et HE spatia. Quod sic S2; omisit S C
demostratur: Ducto plano
LM
, basi
FE
655
parallelo, et productis
BF
,
BK
in
660
L
,
N
; item
AH
665
,
AE
in
O
,
670
M
; MO S2
; et per
H
, recta
675
BHP
, quoniam in triangulo
BLP
recta
FH
680
parallela est basi
LP
, erit ex scholio propositionis 4ae libri 6i
FH
ad
685
FK
ut
LP
ad
LN
690
. Sed
LO
ad
LN
maiorem rationem habet quam
695
LP
ad
LN
seu
FH
700
ad
FK
.
S2 Clauius in
Poterunt ergo eo usque produci radii ut ipsa
705
FK
et
HE
spatia respectu ipsorum
FH
710
et
KE
spatiorum insensibilia fiant.
Sed
S2 ; C2 supra lineam ; Scilicet S; sl: C
715
ipsa
FK
et
HE
spatia
720
S; spatia distantiae sunt peripheriarum ipsarum FH et KE basium C2 signo posito in margine ; omisit C
distantiae sunt pyramidarum ipsarum
FH
et
KE
725
basium, quae ipsius
AB
lucidi formae sunt.
Ergo per praemissam, quo magis producti fuerint radii eo magis ipsae FH et KE bases ad unius ipsarum, ideoque ad ipsius AB lucidi, similitudinem accedent quandoquidem ipsae FH et KE figurae similiter positae sunt. Et per praedictae corollarium poterunt eo usque produci radii ut ipsarum FH et KE figurarum una esse putetur.
Quod eo magis fiet, quo ipsum CD foramen respectu ipsius AB lucidi minus fuerit. Item quo magis AB lucidum a foramine CD remotum fuerit, tanto ipsa FK et HE respectu ipsorum FH et KE spatiorum minora fient. Similiter ostendemus quod forma FE a pyramide FGE, quae maxima est, et aliae infinitae ab infinitis pyramidibus profectae paulatim in progressu coeunt, et ad ipsius AB lucidi similitudinem accedunt, donec ipsi fere lucido similem conficiant figuram. Concludimus ergo quod quo magis a quocumque lucido per qualecumque foramen radiante processerint radii, eo magis in planum, quod lucido parallelum est, profectum lumen ad ipsius lucidi similitudinem accedit. Et tandem sensu decepto, ipsi simile uidetur, et in situ conuersum, uelut ex radiorum intersectione patet. Uerum ergo fuit quod speculatio nostra conclusit.
730
Corollarium 1
abbr3 Hinc illud sequitur ut sole per qualecumque foramen radiante, quo longius a foramine radii processerint eo magis in planum circulo, qui terminus est radiantis superficiei, parallelum, proiecta lux ad circuli C; eiusdem circuli S
formam propius accedat, ac tandem sensu decepto, perfecte circularis appareat. Quandoquidem omne foramen, quod solari radio transitum praebere solet, tam respectu solaris magnitudinis quam distantiae, insensibilis sit quantitatis. 2
Similiter necesse est ut luna per qualecumque foramen radiante, quo magis a foramine radii abscesserint eo magis in planum radianti plano parallelum proiecta lux ad lunaris formae similitudinem accedat, ac tandem ipsi fere similis fiat. Hoc idem dicendum est de sole partim caligante. Nam tunc lux per foramen transmissa proiicit in planum oppositum formam dimidiati solis. Idem ipsum dicendum est de sole, uel partim exorto uel partim sub horizonte; horizante C; horizontem S C2
immerso,
735
uel etiam partim a domo aliqua occultato, ut experientia docet.
C S Clauius in
3
Quod si planum non fuerit radianti formae parallelum, proiectam lucem ipsi lucido similem non fieri monstratum est, uelut cum solis lux per foramen ingrediens, quae paulatim conica fit C; sit S
, in obliquum porrecta planum, formam efficit quae conica sectio est.
740
Corollarium 4
Illud quoque nequaquam praetereundum quod lucido et plano a foramine aequaliter distantibus proiecta in planum lux ipsi lucido aequalis apparet; lucido uero magis distante, minor; minus uero, maior, foramine tamen insensibilem respectu lucidi magnitudinem habente. Unde si solares radii seu lux tantum a foramine procederent quantum sol ipse a foramine remouetur, proiicerent circulum circulo, qui terminat radiantem superficiem, aequalem; ac si magis maiorem. Sed quoniam nunc semper minus ideo minorem.
Corollarium 5
Lucidum igitur per foramen aliquod radians infinitas proiicit pyramides quae, quoniam crescunt interuallis inter superficies non ad eandem proportionem crescentibus, ideo paulatim in unam coeunt, donec omnes una fiunt pyramis, superficierum interuallo unitae pyramidis formam insensibiliter uariante per praedicta corollaria.
Corollarium 6
745
Illa quoque iucunda speculatio non est obliuioni mandanda, quod lucidum per duo uel plura foramina radians innumeras per eadem proiicit pyramides quae quoniam crescunt ingrediuntur alia in aliam, et commistae tandem in unam coeunt, uniusque formam acquirunt, interuallo tamen ad pyramidum magnitudinem insensibili existente. Unde necesse est solis lumen per duo uel quotlibet foramina ingrediens, totidem per eadem proiicere circulares formas, quae paulatim commixtae coeunt, unumque tandem uisui ostendunt circulum. Quod quidem non aliter ostendetur quam de luce per unum transeunte foramen nuper ostensum est.
Theorema 23
Omnis a pura luce illuminata superficies secundariam lucem colori suo similem emittit.
Nisi enim ab illuminata superficie lux ipsius superficiei colori similis radiaret, rerum species sub proprio colore ad oculum non peruenirent. Quare uisus nihil sub proprio colore apprehenderet. Quod uidetur absurdum.
Corollarium
750
Quanto igitur superficiei color fuerit luci conformior, tanto fortior est secundaria lux, quae ab ipsa superficie illuminata progreditur. Unde fit ut luna, C2; a luna S; a Lunae C
albae nubes et omnis candida superficies a sole illuminatae fortiorem quam quae alterius sunt coloris lucem emittant.
Theorema 24
Radii per opacum transeuntes euidentius apparent.
Lux enim opaco circundata facile ab ipso opaco discernitur, alii uero lumini commixta cum ipsa confunditur. Quo fit ut neutra ab altera discerni queat.
755
Corollarium
Tanto igitur distinctior apparet radius, quanto fuerit locus ipsum recipiens umbrosior.
Theorema 25
Duo sunt speculo necessaria, intensa leuitas et opacitas.
Propter leuitatem enim radius in superficiem; superficie S C
760
cadens expellitur; propter opacitatem uero distinctior
et euidentior
S; C2 supra lineam ; omisit C
apparet per praedictam. Opacitas autem et in ipsa speculi superficie et ultra superficiem consideranda est.
In superficie quidem ut non sit ita colore infecta, ut colorata lux quae per praemissam ab ipsa emittitur superficie, impedimento sit radiis rei cuiuspiam imaginem repraesentantibus, quin euidentiores et distincti appareant, ut praemissa docet. Ultra superficiem uero ne perspicuum sit. Perspicuitas enim ingressum luci praebet quae quidem, ut antea, ipsius imaginis radios confundit.
765
Corollarium 1
Hinc illud sequitur ut aquae superficies, quae propter subtilissimarum partium fluxum perfecte leuis est, rerum imagines tamquam speculum repraesentet, praesertim si ipsi opacitas accedat.
Corollarium 2
Concludendum ergo quod a leuiori superficie imaginum radii fortiores referuntur et incidentium radiorum ualidiores euidentioresque quoque redeunt.
Theorema 26
770
Perpendicularis in speculum radius in seipsum reflectitur.
Cadat enim in speculum AB perpendicularis radius C; omisit S
CD
. Aio quod radius, qui a signo
D
775
reflectitur, est in ipso
CD
radio. Si enim non est, sed si possibile, reflectatur extra
CD
sitque
780
DF
et ponatur ipsi
CDF
aequalis angulus
CDE
785
,
producta
S; producto C
DE
, eritque etiam
790
DE
ad speculum inclinata sicut
DF
. Quare sicut
DC
795
reflectitur in
F
sic reflectetur in
E
. Ab uno igitur speculi puncto
800
D
, in quod signum
C
radiat, in plura fiet loca reflexio; quod per
tertium
805
; secundum C S
suppositum est absurdum. Reflexio ergo radii non alibi quam in ipsa
CD
recta consistet.
Theorema 27
810
Obliquus in speculum radius ad aequalem inclinationis angulum in plano ad speculum recto reflectitur.
Sit enim speculum AB, in quod obliquus radius CD cadat, qui reflectatur in E. Aio quod aequalis est angulus ADC inclinationis angulo reflexionis BDE, quodque CD et DE sunt in plano super speculum orthogonaliter erecto. Si enim ipsis CD et DE in plano ad speculum recto consistentibus ipse ADC angulus non sit ipsi BDE S; FDE C2 in margine ; FDE C correxit ex FNF angulo aequalis, sit maior. Radius ergo obliquus ad maiorem semper inclinationis angulum incidet quam reflectetur S C2; reflectitur C. Transferatur ergo C signum radians in signum E illuminatum, ipsum uero E in C.
Et radiabit adhuc E in C per EDC tramitem, quarto supposito uolente. Maior itaque erit BDE angulus ipso ADC. Fuerat autem minor, quod est impossibile. Non est ergo ADC angulus ipso BDE maior. Similiter ostendemus quod nec minor, igitur aequalis. Ponatur autem quod planum, in quo AB et CD lineae, sit speculo rectum. Iam et ipsa DE in eodem est plano. Si enim extra, ducatur ergo DF ad speculum inclinata, sicut DE, atque angulo FDC ipsi EDC aequali existente (hoc enim possibile est) eritque ut sicut CD in E, sic etiam in F reflectetur C; reflectatur S, quod est absurdum per tertium suppositum. Astruitur ergo quod propositum est.
Corollarium 1
Ex praemissis sequitur ut ex secundaria luce, quae tam ab illuminatis a sole superficiebus quam a planis speculis reflectitur, secundarius quoque calor generetur, atque adeo ex reflexione solaris calor accrescat.
815
Corollarium 2
tt5 Satis ergo liquet quod tam in conuexis quam in cauis speculis reflexio fit in plano per ipsius speculi centrum, radiis aequales facientibus angulos cum periferia circuli, qui plani per centrum et specularis superficiei communis est sectio. In speculis autem cylindricis, tam conuexis quam cauis, reflexio fit in plano utcumque cylindrum secante, radiis, ad terminum diametri cylindricae qui in plano secante est, coeuntibus et aequales angulos continentibus cum linea, quae communis est sectio secantis plani et cylindricae superficiei. tt6 Et quoniam secans planum aut per cylindricum axem ducitur, atque ita communis sectio erit parallelogrammum; aut parallelum basibus, atque ita communis sectio circulus est; aut obliquum basibus, atque ita communis sectio est oualis. Ideo in cylindricis tam conuexis quam cauis speculis, reflexio sub triplici dispositione uariabitur.
Theorema 28
Speculum planum a lucido quopiam illuminatum eosdem reflectit radios, quos idem lucidum ad eundem respectu speculi situm per ipsum speculum tamquam foramen proiiceret.
Sit planum speculum AB, lucidum CD, producti radii CA, DB sese in signo E secantes reflectantur, sintque AF, BG. Dico quod ipsum CD lucidum in plano speculi ad eundem ipsi AB speculo situm existens, per ipsum AB speculum, tamquam per foramen ipsos quoque AF et BG radios proiicit. Producantur enim CH, DK rectae, planum speculi LN orthogonaliter in signis LM perforantes. Ponaturque ipsi DM aequalis MK, ipsi uero CL ipsa LH. Et connexa HK, intelligatur ipsum CD lucidum ad situm KH translatum, et connectantur HA, KB sese in signo O secantes. Quoniam igitur per praedictam, angulus CAL ipsi FAN S; C2 signo posito in margine ; FAK C
820
angulo aequalis est; ipse autem
HAL
S; KAL C
ipsi
CAL
825
aequalis, ideo ipse
FAN
ipsi quoque
HAL
aequalis est. Assumpto ergo communi angulo
830
NAH
S C2; KAH C
erunt anguli
FAN
,
835
NAH
simul sumpti aequales angulis
NAH
,
HAL
840
simul sumptis.
Unde S post ~ add. quoque
FAN
,
NAH
845
simul sumpti fient duobus rectis aequales. Quare per 14am primi
HF
una recta est.
Hoc nos demonstrauimus etiam ex Proclo ad propositionem 15am libri 1i Euclidis
C S Clauius in
850
Similiter ostendemus quod una recta est
KG
. Ipsum ergo lucidum
CD
in speculum
855
AB
radians per ipsos
CA
,
DB
860
S C2; DC C
radios reflectit ipsos
AF
et
BG
865
. Idem quoque
DC
S; DE C
lucidum ad situm
KH
870
translatum per ipsum
AB
tamquam per foramen radios
HA
,
875
KB
proiiciens, et in rectum protendens eosdem
AF
,
BG
880
, quos prius radios generat.
om5 Non S; C2 signo posito in margine ; omisit C
aliter ostendemus quod quicumque radii a quibuscumque signis ipsius
CD
lucidi ex speculo
885
AB
reflectuntur, iidem radii ab iisdem signis eiusdem
CD
lucidi ad situm
HK
890
positi et per eadem plani
AB
signa, transeunt per ipsum
AB
tamquam per foramen.
895
Corollarium 1
Lucidum igitur quodlibet in planum radians speculum, idem proiicit lumen per reflexionem, quod ad eundem respectu speculi situm per ipsum speculum tamquam per foramen proiiceret.
Corollarium 2
Quicquid igitur 22a huius, quaeque post eam sequuntur corollaria de luce per foramen traiecta, concludunt, idem hic S C2; hec C
de luce a plano speculo reflexa inferri potest, quandoquidem non aliter a plano speculo lux reflectitur quam si per ipsum speculum tamquam per foramen transmitteretur, ut iam ostensum fuit.
900
Corollarium 3
Hinc etiam sequitur illud scitu iucundum, ut lux solis a speculo reddita paulatim teres fiat atque ad radiantis circuli rotunditatem proprius accedat. Neque obstat quamuis lux a sole per foramen et speculum transeat, aut ab eodem reflexa per foramen traiiciatur; aut si ingrediens et exiens per foramen utrobique ingrediatur, sicut neque obstant duo uel tria foramina solari luci, quin S; C2 supra lineam ; quoniam C
circularis paulatim fiat.
Hoc autem corollarium primum C S; patet C2 supra lineam
non aliter quam primum corollarium post 22am, similiter et reliqua
905
hic
S C2; hec C
, corollariis reliquis post 22am similia, sicut et illa demonstrantur.
Corollarium 4
Item sicut lucidum corpus per foramen sibi uicinius traiectos radios amplius dilatat maiusque spatium illuminat, ita etiam oculus in speculo plano sibi uiciniori, et maius spacium et plura uisu complectitur, quia similiter magis dilatantur radii uisuales, sicut si per foramen uicinius spectaretur.
910
Theorema 29
A conuexo speculo latior lux quam a plano, sed debilior reflectitur.
Esto conuexum speculum AB, in quod a signo C radiant CA, CB radii et in signa D, E reflectantur. Aio quod lux reflexa, quae intra ipsos AD, BE radios comprehenditur, latior est quam si a plano speculo reflecteretur. Intelligatur enim per ipsa A, B signa planum speculum FG, in quod ipsa AC, CB linearum superficies recta sit. Quo fiet ut ipsi CA, CB radii in ipsum FG speculum incidentes in ipso quoque linearum CA, CB plano reflectantur. CA igitur a plano speculo reflectetur intra ipsas AD et BE. Angulus enim CAB rectilineus maior est angulo DAF. Nam rectilineus S; omisit C
angulus
CAB
915
, cum maior sit angulo mixto
CAL
, etiam maior erit angulo reflexionis
DAM
qui aequalis est angulo incidentiae
920
CAL
. Ac proinde multo maior erit angulo rectilineo
DAF
, qui pars est anguli mixti
DAM
925
. Quare in reflexionis angulo rectilineo
HAF
, recta
AH
cadere debet intra
930
AD
,
BE
, ut fiat angulus
HAF
935
maior angulo
DAF
sicut est rectilineus angulus incidentiae
CAB
.
940
S Clauius in
Similiter CB reflectetur a plano speculo intra ipsas AD, BE lineas.Angulus enim CBG rectilineus minor est angulo CBI; EBG S C2; CBG C
.
C S Clauius in
Angulus enim
945
CBG
rectilineus minor est angulo mixto
CBI
et reflexionis angulo
EBL
950
, et multo minor angulo rectilineo
EBA
, qui maior est mixto
EBL
.
955
S2; omisit S C
S2 Clauius in
Reflectatur ergo
CA
in
960
H
, et
CB
in
K
965
signum. Eritque lux intra ipsas
AD
,
BE
lineas contenta quae a conuexo speculo, latior luce intra ipsas
970
AH
,
BK
contenta quae a plano speculo reflectitur. Quod autem debilior sit, patet per secundum suppositum, quandoquidem radii sunt
rariores
975
S; C2 supra lineam ; minores C
ab eadem luce.
Theorema 30
Si in cauum speculum a puncto quopiam tres radii incidant, unus quidem per centrum, duo uero a centro aequaliter distantes, hi ad signum unum concurrent quod in radio qui per centrum.
In cauum speculum AB a signo C cadant radii CD quidem per centrum speculi E, at S; et C
980
CF
et
CG
aeque a centro
E
985
remoti. Dico quod
CF
et
CG
radii reflexi ad signum unum concurrent in radio
990
CD
. Reflectatur enim
CF
ad
CD
995
in signo
H
, et connectantur
H
,
1000
G
. Et quoniam
CF
,
CG
1005
aeque remouentur a centro, ideo anguli
CFA
,
CGB
sunt inuicem aequales.
1010
Sed CFA est aequalis ipsi HFD per 27am, ergo angulus CGB aequalis est ipsi HFD. Sed propter aequales arcus FD et DG, ipse HFD angulus aequalis est ipsi HGD, ergo CGB angulus est aequalis ipsi HGD. Per 27am ergo ipse radius CG in signum H reflectitur. Ipsi ergo radii FH, GH reflexi ad signum H, in signo radii CD concurrunt.
Corollarium
Si ergo in cauum speculum a puncto quopiam per centrum radius incidat, ac posito polo puncto casus in superficie speculi circulus describatur, quicumque radii ab eodem signo ad eius circuli peripheriam ceciderint, omnes ad unum punctum in radio, qui per centrum, concurrent. Patet, nam tales radii aequaliter a speculi centro remouentur, quandoquidem a puncto in axe circuli ad ipsius circuli periferiam delabuntur, atque ideo cum axe et circuli semidiametro aequilatera facient triangula.Uel sic: Quandoquidem a puncto axis delabuntur in periferiam circuli, qui ex definitione poli, aequaliter ab axe, atque adeo a centro remouentur. C S Clauius in
Theorema 31
Si in cauum speculum a signo quopiam tres radii incidant, unus quidem per centrum, duo uero a centro inaequaliter remoti, horum qui remotior est, inferius cum eo, qui per centrum, concurret.
1015
In cauum speculum AB a signo C cadant radii CD, in quo centrum speculi E, at CF, CG inaequaliter a centro remoti; sitque remotior CG, et CF reflectatur ad CD in signo H. Aio quod CG reflexus infra signum H ipsi CD concurret. Connectatur enim GH et a centro E cadant ad ipsas CF et CG perpendiculares EK et EL. Deinde ipsis FH et GH productis occurrant perpendiculares EM et EN, atque ab ipsis; ipsius C S
F
et
G
signis exeant tandem ipsi
1020
CD
perpendiculares
FP
et
GO
1025
.
Eritque maior ipsius CF ad CE ratio quam ipsius GC ad CE S post ~ hab. per 8 U
. Sed propter triangulorum
similitudinem
S post ~ hab. FCP, ECK, ut CF ad FP, sic CE ad EK, per 4 UI. Ergo alternando per 16 U
1030
sicut
CF
ad
CE
, sic
1035
FP
ad
EK
et ideo ad
EM
1040
, quandoquidem
EK
et
EM
, propter aequos inflexionum angulos
1045
AFK
et
MFB
, aequas sibi inuicem esse necesse est.
Hac enim ratione:
1050
FC
S1 C; FG S
,
FM
a centro aequaliter distabunt, atque adeo perpendiculares ad ipsas ductae aequales erunt.
1055
C S Clauius in
Et sicut
GC
ad
CE
1060
, sic
GO
ad
EL
, ergo maior est
1065
FP
ad
EM
quam
GO
1070
ad
EL
.
om6 Et ideo propter triangulorum FHP, EHM S1; omisit C
S1 Clauius in
1075
similitudinem maior
FH
ad
HE
quam
1080
GO
ad
EL
. Sed
GH
1085
maior est quam
FH
, ergo a fortiori
GH
ad
1090
HE
maior quam
GO
ad
EL
1095
.
Et ideo
S; C2 signo posito in margine ; omisit C
propter similitudinem triangulorum,
GO
1100
ad
EN
maior quam
GO
ad
1105
EL
. Quare maior est
EL
quam
EN
1110
. Unde necesse fiet ut maior sit angulus
HGB
quam angulus
CGA
.
1115
Quia hac ratione: magis distabit a centro recta
CG
quam
GH
.
1120
C S Clauius in
Quamobrem
CG
reflectetur ad
CD
1125
infra signum
H
.
Quod si contigerit C2; contingeret C; contingerit S
EH
1130
ipsi
HG
perpendicularem esse, ut in secunda descriptione, similiter ostendemus quod maior
GH
ad
1135
HE
quam
GH
ad
EL
1140
. Et ideo maiorem esse
EL
quam
EH
. Quare eadem, qua supra, ratione
1145
CG
radius ad
CD
concurret infra signum
H
1150
.
Quod si contigerit EH ipsi FH perpendicularem esse, ut in tertia figura, tunc, quoniam EK et EH propter aequos inflexionum angulos aequales sunt et EL maior quam EK; ipsa uero EH maior quam EN, ideo maior est EL quam EN. Et ideo sicut antea CG ad CD infra signum H reflectetur.
Si uero perpendiculares EM et EN, ut in quarta figura, a partibus F, G ceciderint, tunc, quoniam EK et EM; EN C S
per hypothesim aequales, et
EK
1155
minor quam
EL
; sed
EM
maior quam
1160
EN
, ideo maior erit
EL
quam
EN
1165
. Quare ut prius
CG
ad
CD
infra signum
1170
H
reflectetur.
Postremo, si, ut in quinto typo, perpendicularium EM et EN, ipsa EM ad partes B, ipsa uero EN ad partes A ceciderit, tunc ductis perpendicularibus, ut in prima descriptione non aliter quam ibi, ostendemus maiorem habere rationem GO ad EN quam GO ad EL, et ideo maiorem esse EL quam EN. Quare et CG ad CD infra signum H reflectetur. Quod erat ostendendum.
Corollarium
Si ergo a signo quopiam ad cauum speculum per centrum ad duorum; secundorum S C
1175
circulorum inaequalium parallelorum polum radius ceciderit, quicumque radii ab eodem signo ad circulorum periferias ceciderint, a circulo minore ad uerticem unum in eo qui per centrum radio, a maiore uero ad signum inferius in eodem radio concurrent; eruntque ab his duobus circulis reflexi radii duae conicae superficies, quarum altera secabit alteram, et etiam sectio circulus utrique superficiei communis. Patet hoc corollarium partim ex praemissae corollario, partim ex praesenti theoremate sequenti.
Theorema 32
Si a signo quopiam in cauum speculum praeter centrum radius cadens reflectatur, atque in reflexum a centro perpendicularis agatur, quicumque radius ab eodem signo a centro remotior in speculum ceciderit, infra casum perpendicularis illi reflexo congredietur.
In speculum AB, cuius centrum C, a signo D cadat radius DE, qui reflexus sit EF, in quem a centro C perpendicularis cadat CF. Et cadat ab eodem signo D alter radius DG in speculum a centro remotior quam DE. Aio quod DG reflexus concurret ipsi EF infra signum F. Connectatur enim GF, et a signo C cadant ipsis DE, DG et GF perpendiculares CH, CK et CL. Eruntque propter aequos reflexionum angulos, ipsae CF et CH inuicem aequales. Sed CK maior quam CH, ipsa uero CL minor quam CF. Ergo CL minor quam CK. Quo fit ut angulus BGF maior sit angulo AGD. Quare DG reflexus ipsi EF infra signum F occurret. Et hoc erat demonstrandum.
Corollarium
1180
Unde pluribus radiis in cauum speculum confluentibus, primus prout proximum centro reflexus concurret ipsi proximo reflexo; secundus quoque ipsi primo in signo inferiori congredietur; et sic deinceps, et alius alii successiue in signo semper diuerso et inferiori occurret.
Theorema 33
Cauo speculo lucem reflectente, a re extra radiorum congressum umbra sicut est, intra uero conuersa proiicietur.
Catop In cauum speculum AB lux radiet per radios CA et CB, qui reflectantur, sintque AD et BE se inuicem secantes in signo F. A cauo enim speculo reflexi radii concurrunt, ut in praecedenti et Catoptricis ostensum est. Et ponatur extra concursum res GH, a qua proiecta umbra erit ED in situ rei. Terminus enim rei G termino umbrae D, terminus autem H termino E respondet. Ponatur uero intra concursum F res KL. Iam terminus rei K in signum D, terminus uero L in E proiiciet umbrae terminum. Umbra itaque DE ipsa re KL conuersa proiicitur. Quod erat ostendendum.
Theorema 34
1185
Cauum speculum rei formam in oppositum planum ad terminum quendam proiicit conuersam C; inuersam S
.
Cauum speculum AB rei CD formam recipiat per radios CE, CF, DE et DF, et reflectantur CE et CF concurrentes ad signum G, at DE et DF ad signum H extra lineam EG, ut seruentur aequi reflexionum anguli. Quoniam igitur possibile est, ut omnes radii a signo C ad speculum AB cadentes ad signum G fere concurrant, a signo autem D ad signum H; et similiter a singulis rei CD partibus in speculum confluentes radii ad singulas partes impermixte; impermixtae C S
concurrant, ideo in obiecto plano in quo
G
1190
,
H
et alia congressionum signa terminantur, forma rei
CD
conuersa spectabitur.
1195
Item intelligantur in sphaera speculi duo maiores circuli ABCD et AECF, quorum communis sectio AC. Sitque res quaedam GH, cuius terminus G sit in semicirculo ABC, terminus autem H in semicirculo AEC. Si igitur terminus G in signum speculi C radiet, et signum H eodem, iam a signo G radius reflectetur ad semicirculum ADC, ueluti ad punctum K, a signo uero H radius reflectetur ad semicirculum AFC, ut ad punctum L, quandoquidem in cauo speculo reflexio fit C; sit S
in plano per centrum et ideo in plano circuli maioris, ut ex
27a
C; 27 S
satis liquet.
1200
Id enim planum ad sphaerici speculi superficiem rectum est. Ponatur autem puncta K, L in quae a signis G, H in speculum cadentes radii concurrant, et similiter a singulis rei GH partibus in speculum perfluentes radii ad singulas concurrent partes, ita ut impermixte rei partes ad suam quamquam reflectantur partem. In plano igitur in quo KL et alia congressionum signa porrigentur, apparebit rei GH effigies conuersa. In speculum ergo quod parua est sphaerae portio, a signo quolibet ita perfluent radii, ut omnes in unum fere signum reflexi concurrant.
Theorema 35
Ex radiorum concursu possibile est ignem generari.
In cauum speculum AB a signo solaris corporis C radii cadant CD, CE, CF qui ad unum fere punctum concurrant G. Quamuis enim sicut in antepraemissis patuit, radii ab eodem signo in speculum tendentes ad idem reflexi punctum non concurrant, parum tamen abest, quin a parua caui speculi portione ad idem punctum radii conueniant; fiet etiam ut a reliquis solaris globi signis in speculum descendentes radii, et si non omnes ad idem punctum, intra tamen eiusdem loci angustiam conueniant. Quamobrem locus ille per quintum suppositum, maxime illuminabitur cumque calor lucem sequatur, atque ideo cum eadem intendatur et remittatur, idem quoque locus maxime calefiet. Quare expulso aere ignis ibi generabitur, qui fomitem ibi C; sibi S C2
admotum
1205
S1; admotam C S
accendet. Id quoque fiet si plura specula plana ita disponantur, ut receptam a sole lucem in eundem
reflectant
S1; reflectantur C S
locum. Uerum ergo id quod proponitur et ratione et experientia comprobatur.
1210
Completum
S C2; omisit C
Messanae Anno Domini 1521 mensis Octobris
die
S; omisit C2
1215
19
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Lewis & Short (Perseus, CC BY-SA). Morphology: LatinCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.