Library › Latin: Science & Medicine › Euclidis Elementa, Libri VII–X
Books VII to X of Euclid’s Elements in a medieval Latin translation. Books VII to IX are Euclid’s arithmetic books, beginning with the definitions of unit, number, part, multiple, even and odd numbers, prime numbers and the rest, and proceeding through propositions on proportional numbers, primes and perfect numbers; Book X treats incommensurable magnitudes. The sample shows the characteristic form of the propositions, with enunciation, setting out with lettered numbers and the closing formula ‘quod oportebat ostendere’.
The Elements were translated into Latin several times in the twelfth century, from Arabic and from Greek, and became the foundation of the mathematical curriculum of the medieval schools. The vocabulary of this version (for example ‘dimetibilis’, ‘measurable’) points to a literal translation, but its identity is not stated in the source. At about 40,000 words, the text gives a substantial portion of Euclid in medieval Latin.
About this edition. The Latin text comes from Corpus Corporum, the Latin text repository of the University of Zurich (edition: none, Mathematica (Corpus Corporum)), reused with attribution for non-commercial purposes (CC BY-NC-SA). Every word has been analyzed with LatinCy, a neural language model for Latin — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from Lewis & Short’s A Latin Dictionary.
Latin · Science & Medicine
Euclidis Elementa, Libri VII–X
Anonymous · Incipit Liber VII · every word parsed
1
§ (Definitiones)
(i) Unitas est secundum quod unumquodque entium unum dicitur. (ii) Numerus uero ex unitatibus concreta multitudo. (iii) Pars est numerus numeri minor maioris quando metitur maiorem. (iu) Partes uero quando non metitur. (u) Multiplex autem maior minoris quando metitur a minore. (ui) Par numerus est qui in duo equa diuisibilis. (uii) Impar uero qui minime diuisibilis in duo equa, uel qui unitate differt a pari numero.
(uiii) Pariter par numerus est qui a pari numero dimetibilis secundum parem numerum. (ix) Pariter autem impar est qui a pari numero dimetibilis secundum inparem numerum. (x) Impariter par est qui ab impari numero dimetibilis secundum parem numerum. (xi) Impariter autem impar numerus est qui ab impari numero dimetibilis secundum imparem numerum. (xii) Primus numerus est qui unitate sola dimetibilis.
(xiii) Primi ad se inuicem numeri sunt qui unitate sola dimetibiles mensura communi. (xiu) Compositus numerus est qui numero aliquo dimetibilis. (xu) Compositi autem ad se inuicem numeri sunt qui numero aliquo dimetibiles mensura communi. (xui) Numerus numerum multiplicare dicitur quando quot sunt in ipso unitates tociens componitur multiplicatus et sit aliquis. (xuii) Quando uero duo numeri multiplicantes se inuicem faciunt aliquem, factus epipedos appellatur.
5
Latera uero ipsius multiplicantes se inuicem numeri. (xuiii) Quando autem tres numeri multiplicantes se inuicem faciunt aliquem, factus stereos uocatur. Latera uero ipsius multiplicantes se inuicem numeri. (xix) Tetragonus numerus est qui equaliter equalis uel qui sub duobus equalibus numeris continetur. (xx)Cubus uero qui equaliter equalis equaliter uel qui sub tribus equalibus numeris continetur. (xxi) Numeri proportionales sunt quando primus secundi et tertius quarti uel eque fuerit multiplex uel eadem pars uel eedem partes fuerint.
(xxii) Similes epipedi et sterei numeri sunt qui proportlonalia habent latera. (xxiii) Perfectus numerus est qui sui ipsius partibus equalis est.
§ 1
Si duorum numerorum inequalium expositorum ablato semper minori a maiore, reliquus nequaquam metitur eum qui ante ipsum usque quo sumatur unitas, numeri qui e principio primi ad se inuicem erunt. Duorum enim inequalium numerorum AB et GD ablato semper minori a maiore reliquus nequaquam metiatur eum qui ante ipsum quoadusque sumatur unitas. Dico quoniam AB et GD primi ad se inuicem sunt, hoc est, quoniam numeros AB et GD unitas sola metitur.
Si enim non sunt AB et GD primi ad se inuicem, metietur aliquis ipsos numerus. Metiatur sitque E. Et GD quidem numerus AB numerum metiens relinquat se ipso minorem ZA. Numerus autem ZA, GD numerum metiens relinquat se ipso minorem numerum IG. Numerus uero IG numerum ZA metiens relinquat unitatem TA. Quoniam ergo numerus E numerum GD metitur, numerus autem GD numerum BZ metitur, et numerus ergo E numerum BZ metitur.
10
Metitur autem et totum BA, et reliquum ergo numerum AZ metietur. Numerus uero AZ numerum DI metitur, et numerus ergo E numerum DI metietur. Metitur autem et totum GD, reliquum ergo numerum GI metietur. Numerus autem GI numerum TZ metitur, et numerus ergo E numerum ZT metitur. Metitur autem et totum ZA, et reliquam ergo AT unitatem metietur numerus ens.
Quod est impossibile. Non ergo numeros AB et GD metietur aliquis numerus. Numeri ergo AB et GD primi ad se inuicem sunt. Quod oportet ostendere.
§ 2
Duobus numeris datis non primis ad se inuicem maximam communem ipsorum mensuram inuenire. Sint dati duo numeri non primi ad se inuicem AB et GD. Oportet ergo maximam ipsorum communem mensuram inuenire. Siquidem ergo numerus GD numerum AB metitur, metitur uero et se ipsum, numerus ergo GD numerorum GD et AB communis mensura est. Et manifestum quoniam et maxima, nullus enim maior quam GD numerum GD metietur.
Si uero non metitur numerus GD numerum AB, numerorum AB et GD ablato semper minori a maiore sumetur aliquis numerus qui metietur eum qui ante se, unitas enim non sumetur. Si uero non, erunt AB et GD primi ad se inuicem. Quod non subiacet. Sumetur aliquis ergo numerus qui metietur eum qui ante se. Et numerus quidem GD numerum AB metiens relinquat se ipso minorem numerum EA.
15
Numerus autem EA numerum GD metiens relinquat se ipso minorem numerum GZ. Numerus autem GZ numerum AE metiatur. Quoniam ergo numerus GZ numerum AE metitur, numerus autem AE numerum DZ metitur, et numerus ergo GZ numerum DZ metietur. Metitur autem et se ipsum, et totum ergo GD metietur. Numerus autem GD numerum BE metitur, et numerus ergo GZ numerum BE metitur.
Metitur autem et numerum EA, et totum ergo BA metietur. Metitur autem et numerum GD. Numerus ergo GZ numeros AB et GD metitur. Numerus ergo GZ numerorum AB et GD communis mensura est. Dico quoniam et maxima. Si enim non est numerus GZ numerorum AB et GD maxima communis mensura, metietur aliquis numeros AB et GD maior existens numero GZ.
Metiatur sitque I. Et quoniam numerus I numerum GD metitur, numerus autem GD numerum BE metitur, et numerus ergo I numerum BE metitur. Metitur autem et totum BA, et reliquum ergo numerum AE metietur. Numerus autem AE numerum DZ metitur, et numerus ergo I numerum DZ metietur. Metitur autem et totum DG, et reliquum ergo numerum GZ metietur. Maior minorem.
Quod est impossibile. Non ergo AB et GD numeros numerus aliquis metietur maior existens numero GZ. Numerus ergo GZ numerorum AB et GD maxima est communis mensura. Quod oportebat ostendere. (Porisma) Ex hoc ergo manifestum quoniam si numerus duos numeros metitur, et maximam ipsorum communem mensuram metietur.
§ 3
20
Tribus numeris datis non primis ad se inuicem maximam ipsorum communem mensuram inuenire. Sint tres numeri dati non primi ad se inuicem A et B et G. Oportet ergo numerorum A et B et G maximam communem mensuram inuenire. Sumatur enim duorum A et B maxima communis mensura D. Numerus ergo D numerum G uel metitur uel non metitur. Metiatur prius.
Metitur autem et numeros A et B. Numerus ergo D numerus A et B et G metitur. Numerus ergo D numerorum A et B, G communis mensura est. Dico ergo quoniam et maxima. Si enim non est numerus D numerorum A, B, G maxima communis mensura, metietur aliquis numeros A, B, G numerus maior existens numero D. Metiatur sitque E.
Et quoniam numerus E numeros A, B, G metitur, et numeros ergo A, B metietur. Et numerorum ergo A, B maximam communem mensuram metietur. Numerorum autem A, B maxima communis mensura est D. Numerus ergo E numerum D metitur. Maior minorem. Quod est impossibile. Non ergo numeros A, B, G numerus aliquis metietur maior existens numero D. Numerus ergo D numerorum A, B, G maxima est communis mensura.
Non metiatur ergo numerus D numerum G. Dico prius quoniam numeri D, G non sunt primi ad se inuicem. Quoniam enim numeri A, B, G non sunt primi ad se inuicem, metietur aliquis ipsos numerus. Numeros ergo A, B, G metiens et numeros A, B metietur et numerorum A, B maximam communem mensuram numerum D metietur. Metitur autem et numerum G.
Numeros ergo D, G numerus aliquis metietur. Numeri ergo D, G non sunt primi ad se inuicem. Sumatur ergo ipsorum maxima communis mensura numerus E. Et quoniam numerus E numerum D metitur, numerus autem D numeros A, B metitur, et numerus ergo E numeros A, B metitur. Metitur autem et numerum G, et numerus ergo E numeros A, B, G metitur.
25
Numerus ergo E numerorum A, B, G communis est mensura. Dico ergo quoniam et maxima. Si enim non est numerus E numerorum A, B, G maxima communis mensura, metietur aliquis numeros A, B, G numerus maior existens numero E. Metiatur sitque Z. Et quoniam numerus Z numeros A, B, G metitur, et numeros A, B metitur. Et numerorum A, B ergo maximam communem mensuram metietur.
Numerorum autem A, B maxima communis mensura est numerus D. Numerus ergo Z numerum D metitur. Metitur autem et numerum G. Numerus ergo Z numeros D, G metitur. Et numerorum ergo D, G maximam communem mensuram metietur. Numerorum autem D, G maxima communis mensura est numerus E. Numerus ergo Z numerum E metitur. Maior minorem. Quod est impossibile. Non ergo numeros A, B, G numerus aliquis metietur maior existens numero E.
Numerus ergo E numerorum A, B, G maxima est communis mensura. Trium ergo numerorum datorum inuenta est maxima communis mensura. Quod oportet facere. (Porisma) Ex hoc ergo manifestum quoniam si numerus tres numeros metitur, et maximam ipsorum communem mensuram metietur. Similiter autem et pluribus numeris datis non primis ad se inuicem maxima ipsorum communis mensura inuenietur et porisma (prochorisei = ) procedet.
Eodem uero modo et pluribus numeris datis maximam ipsorum communem mensuram inueniemus.
§ 4
30
Omnis numerus omnis numeri minor maioris aut pars est aut partes. Sint duo numeri A et BG sitque minor BG. Dico quoniam numerus BG numeri A aut pars est aut paries. Numeri enim A et BG aut primi ad se inuicem sunt aut non. §int prius A, BG numeri primi ad se inuicem. Diuiso ergo numero BG in eas que in ipso unitates erit queque unitas earum que in numero BG pars aliqua numeri A.
Quare partes est numerus BG numeri A. Non sint ergo A et BG primi ad se inuicem. Numerus ergo BG numerum A uel metitur uel non metitur. Siquidem ergo numerus BG numerum A metitur, pars est numerus BG numeri A. Si uero non, sumatur numerorum A et BG maxima communis mensura numerus D. Et diuidatur numerus BG in numeros numero D equales BE, EZ, ZG.
Et quoniam numerus D numerum A metitur, pars est numerus D numeri A. Equalis uero numerus D cuique numerorum BE, EZ, ZG, et unusquisque ergo numerorum BE, EZ, ZG numeri A pars est. Quare partes est numerus BG numeri A. Omnis ergo numerus omnis numeri minor maioris etc. Quod oportebat ostendere.
§ 5
Si numerus numeri pars fuerit et alter alterius eadem pars, et couterque coutriusque eadem pars erit que unus unius est. Numerus enim A numeri BG pars esto et alter numerus D alterius EZ eadem pars que numerus A numeri BG. Dico quoniam et couterque A, D coutriusque BG, EZ eadem pars est que numerus A numeri BG. Quoniam enim pars est numerus A numeri BG, eadem pars est et numerus D numeri EZ.
35
Quot ergo sunt in numero BG numeri equales numero A, totidem sunt et in numero EZ numeri equales numero D. Diuidatur numerus quidem BG in numeros numero A equales sintque BI, IG, numerus autem EZ in numeros numero D equales ET, TZ. Erit ergo equalis multitudo numerorum BI, IG multitudini numerorum ET, TZ. Et quoniam equalis est numerus quidem BI numero A, numerus autem ET numero D, numerus ergo BI numero A equalis est et numeri BI, ET numeris A, D.
Propter eadem ergo et numerus IG numero A equalis est et numeri TG, TZ numeris A, D. Quot ergo sunt in numero BG numeri equales numero A totidem sunt et in numeris BG, EZ equales numeris A, D. Quod multiplex ergo est numerus BG numeri A tam multiplex est et couterque BG, EZ coutriusque A, D. Que ergo pars est numerus A numeri BG eadem pars est et couterque A, D numerus coutriusque numeri BG, EZ.
Quod oportet ostendere.
§ 6
Si numerus numeri partes fuerit et alter alterius eedem partes, et couterque coutriusque eedem partes erit que unus unius. Numerus enim AB numeri G partes esto et alter DE alterius Z eedem partes que numerus AB numeri G. Dico quoniam et couterque AB, DE coutriusque G, Z eedem partes est que numerus AB numeri G. Quoniam enim que partes est numerus AB numeri G, eedem partes et numerus DE numeri Z.
40
Quot ergo sunt in numero AB partes numeri G totidem et in numero DE partes numeri Z. Diuidatur numerus quidem AB in partes numeri G sintque AI et IB. Numerus autem DE in eas que numeri z partes sintque DT, TE. Erit ergo equalis multitudo numerorum AI et IB multitudini numerorum DT, TE. Et quoniam que pars est numerus AI numeri G eadem pars est et numerus DT numeri Z.
Que ergo pars est numerus AI numeri G, eadem pars est et couterque AI, DT coutriusque G, Z. Propter eadem ergo et que pars est numerus IB numeri G, eadem pars est et couterque IB, TE coutriusque G, Z. Que ergo partes est numerus AB numeri G, eedem partes est et couterque AB, DE coutriusque G, Z. Quod oportebat ostendere.
§ 7
Si numerus numeri pars fuerit que ablatus ablati, et reliquus reliqui eadem pars erit que totus totius. Numerus enim AB numeri GD pars esto que ablatus AE ablati GZ. Dico quoniam et reliquus EB reliqui ZD eadem pars est que totus AB totius GD. Que enim pars est numerus AE numeri GZ eadem pars esto et numerus EB numeri GI.
Et quoniam que pars est numerus AE numeri GZ eadem pars est et numerus EB numeri GI, que ergo pars est numerus AE numeri GZ eadem pars est et numerus AB numeri IZ. Que uero pars est numerus AE numeri GZ eadem pars subiacet et numerus AB numeri GD. Que ergo pars est et numerus AB numeri IZ eadem pars est et numerus AB numeri GD.
45
Numerus ergo AB utriusque numerorum IZ, GD eadem pars est. Equalis ergo est numerus IZ numero GD. Communis auferatur GZ, reliquus ergo IG reliquo ZD est equalis. Et quoniam que pars est numerus AE numeri GZ eadem pars est et numerus EB numeri IG, equalis uero numerus IG numero ZD, que pars ergo est numerus AE numeri GZ eadem pars est et numerus EB numeri ZD.
Uerum que pars est numerus AE numeri GZ eadem pars est et numerus AB numeri GD, que ergo pars est numerus EB numeri ZD eadem pars est et numerus AB numeri GD, et reliquus ergo EB reliqui ZD eadem pars est que totus AB totius GD. Quod oportebat ostendere.
§ 8
Si numerus numeri partes fuerit que ablatus ablati, et reliquus reliqui eedem partes erit que totus totius. Numerus enim AB numeri GD partes esto que ablatus AE ablati GZ. Dico quoniam et reliquus EB reliqui ZD eedem partes est que totus AB totius GD. Iaceat enim numero AB equalis numerus IT. Que ergo partes est numerus IT numeri GD eedem partes est et numerus AE numeri GZ.
Diuidatur numerus quidem IT in eas que numeri GD partes sintque IK, KT. Numerus autem AE in eas que numeri GZ partes sintque AL, LE. Erit ergo equalis multitudo numerorum IK, KT multitudini numerorum AL, LE. Et quoniam que pars est numerus IK numeri GD eadem pars est et numerus AL numeri GZ. Maior uero numerus GD numero GZ, maior ergo et numerus IK numero AL.
50
Iaceat numero AL equalis numerus IM. Que ergo pars est numerus IK numeri GD eadem pars est et numerus IM numeri GZ, et reliquus ergo numerus MK reliqui ZD eadem pars est que totus IK totius GD. Rursum quoniam que pars est numerus KT numeri GD, eadem pars est et numerus EL numeri GZ. Maior uero numerus GD numero GZ, maior ergo et numerus TK numero EL.
Iaceat numero EL equalis numerus KN. Que ergo pars est numerus KT numeri GD eadem pars est et numerus KN numeri GZ, et reliquus ergo numerus NT reliqui ZD eadem pars est que totus KT totius GD. Demonstratus est autem et reliquus numerus MK reliqui ZD eadem pars existens que totus IK totius GD. Et couterque ergo numerus MK, NT numeri DZ eedem partes est que totus TI totius DG.
Sed IM et AL, item KN et LE, demum IT et AB equales erant. Equalis ergo couterque quidem numerus MK, NT numero EB. Numerus autem TI numero BA, et reliquus ergo numerus EB reliqui ZD eedem partes est que totus AB totius GD. Quod oportebat ostendere.
§ 9
Si numerus numeri pars fuerit et alter alterius eadem pars, et permutatim que pars est uel partes primus tertii eadem pars erit uel eedem partes et secundus quarti. Numerus enim A numeri BG pars esto et alter numerus D numeri EZ eadem pars que numerus A numeri BG. Minor uero esto numerus A numero D. Dico quoniam et permutatim que pars est numerus A numeri D uel partes eadem pars est et numerus BG numeri EZ uel partes.
55
Quoniam enim que pars est numerus A numeri BG, eadem pars est et numerus D numeri EZ. Quot ergo sunt in numero BG numeri equales numero A, totidem sunt et in numero EZ equales numero D. Diuidatur numerus quidem BG in numero A equales sintque BI, IG. Numerus autem EZ in numero D equales sintque ET, TZ. Erit ergo equalis multitudo numerorum BI, IG multitudini numerorum ET, TZ.
Et quoniam equales sunt numeri BI, IG sibi inuicem, sunt autem et numeri ET, TZ equales sibi inuicem, et est equalis multitudo numerorum BI, IG multitudini numerorum ET, TZ, que ergo pars est numerus BI numeri ET uel partes, eadem pars et numerus IG numeri TZ uel eedem partes. Quare et que pars est numerus BI numeri ET uel partes, eadem pars est et couterque numerus BG coutriusque numeri EZ uel eedem partes.
Equalis uero numerus quidem BI numero A, numerus autem ET numero D. Que ergo pars est numerus A numeri D uel partes, eadem pars est et numerus BG numeri EZ uel eedem partes. Quod oportebat ostendere.
§ 10
Si numerus numeri partes fuerit et alter alterius eedem partes, et permutatim que partes est primus tertii uel pars, eedem partes erit et secundus quarti uel eadem pars. Numerus enim AB numeri G partes esto et alter DE alterius Z eedem partes. Minor autem esto numerus AB numero DE. Dico quoniam et permutatim que partes est numerus AB numeri DE uel pars, eedem partes est et numerus G numeri Z uel eadem pars.
60
Quoniam enim que partes est numerus AB numeri G eedem partes est et numerus DE numeri Z. Quot ergo sunt in numero AB partes numeri G, totidem et in numero DE partes numeri Z. Diuidatur numerus quidem AB in eas que numeri G partes sintque AI, IB. Numerus autem DE in eas que numeri Z partes sintque DT, TE. Erit ergo equalis multitudo numerorum AI, IB multitudini numerorum DT, TE.
Et quoniam que pars est numerus AI numeri G eadem pars est et numerus DT numeri Z. Permutatim que pars est numerus AI numeri DT uel partes, eadem pars est et numerus G numeri Z uel eedem partes. Propter eadem ergo et que pars est numerus IB numeri TE uel partes, eadem pars est et numerus G numeri Z uel eedem partes.
Quare et que pars est numerus AI numeri DT uel partes, eadem pars est et numerus IB numeri TE uel eedem partes. Et que ergo pars est numerus AI numeri DT uel partes, eadem pars est et numerus AB numeri DE uel eedem partes. Uerum que pars est numerus AI numeri DT uel partes, eadem pars ostensus est et numerus G numeri Z uel eedem partes.
Et que ergo partes est numerus AB numeri DE uel pars, eedem partes est et numerus G numeri Z uel eadem pars. Quod oportet ostendere.
§ 11
65
Si fuerit sicut totus ad totum ita ablatus ad ablatum, et reliquus ad reliquum sicut totus ad totum. Esto sicut totus AB ad totum GD ita ablatus AE ad ablatum GZ. Dico quoniam et reliquus EB ad reliquum ZD est sicut totus AB ad totum GD. Et quoniam est sicut numerus AB ad numerum GD ita numerus AE ad numerum GZ, que ergo pars est numerus AB numeri GD uel partes, eadem pars est et numerus AE numeri GZ uel eedem partes. Et reliquus ergo EB reliqui ZD eadem pars est uel partes que numerus AB numeri GD. Est ergo sicut numerus EB ad numerum ZD ita numerus AB ad numerum GD. Quod oportebat ostendere.
§ 12
Si fuerint quotcumque numeri proportionales, erit sicut unus antecedentium ad unum consequentium ita omnes antecedentes ad omnes consequentes. Sint quotcumque numeri proportionales A, B, G, D; sicut numerus A ad numerum B ita numerus G ad numerum D. Dico quoniam est sicut numerus A ad numerum B ita numeri A, G ad numeros B, D. Quoniam enim est sicut numerus A ad numerum B ita numerus G ad numerum D.
Que ergo pars est numerus A numeri B uel partes, eadem pars est et numerus G numeri D uel partes. Et couterque ergo A, G coutriusque B, D eadem pars est uel eedem partes que numerus A numeri B. Est ergo sicut numerus A ad numerum B ita numeri A, G ad numeros B, D. Quod oportebat ostendere.
§ 13
70
Si quattuor numeri proportionales fuerint, et permutatim proportionales erunt. Sint quattuor numeri proportionales A, B, G, D; sicut A ad B ita G ad D. Dico quoniam et permutatim proportionales erunt, sicut A ad G ita B ad D. Quoniam enim est sicut A ad B ita G ad D, que ergo pars est numerus A numeri B uel partes, eadem pars est et numerus G numeri D uel eedem partes. Permutatim ergo que pars est numerus A numeri G uel partes, eadem pars et numerus B numeri D uel eedem partes. Est ergo sicut A ad G ita B ad D. Quod oportet ostendere.
§ 14
Si fuerint quotlibet numeri et alii ipsis equales multitudine bini sumpti et in eadem proportione, et per equale in eadem proportione erunt. Sint quotlibet numeri A, B, G, et alii ipsis equales multitudine bini sumpti in eadem proportione D, E, Z, sicut quidem est numerus A ad numerum B ita numerus D ad numerum E, sicut autem numerus B ad numerum G ita numerus E ad numerum Z.
Dico quoniam et per equale est sicut numerus A ad numerum G ita numerus D ad numerum Z. Quoniam enim est sicut numerus A ad numerum B ita numerus D ad numerum E, permutatim ergo est sicut numerus A ad numerum D ita numerus B ad numerum E. Rursum quoniam est sicut numerus B ad numerum G ita numerus E ad numerum Z.
Permutatim ergo est sicut numerus B ad numerum E ita numerus G ad numerum Z. Sicut autem numerus B ad numerum E ita numerus A ad numerum D, et sicut numerus A ad numerum D ita numerus G ad numerum Z. Permutatim ergo est sicut numerus A ad numerum G ita numerus D ad numerum Z. Quod oportebat ostendere.
75
§ 15
Si unitas numerum aliquem metitur, equaliter autem alter numerus alium aliquem numerum metitur, et permutatim equaliter unitas tertium metitur et secundus quartum. Unitas enim A numerum aliquem BG metiatur, equaliter uero alter numerus D alium aliquem numerum EZ metiatur. Dico quoniam et permutatim equaliter A unitas D numerum metitur et numerus BG numerum EZ. Quoniam enim equaliter A unitas BG numerum metitur et numerus D numerum EZ, quot ergo sunt in numero BG unitates, totidem sunt in numero EZ numeri equales numero D.
Diuidatur numerus quidem BG in eas que in ipso unitates sintque BI, IT, TG. Numerus autem EZ in numero D equales sintque EK, KL, LZ. Erit ergo equalis multitudo unitatum BI, IT, TG multitudini numerorum EK, KL, LZ. Et quoniam equales sunt BI, IT, TG unitates sibi inuicem, sunt uero et numeri EK, KL, LZ equales sibi inuicem et est equalis multitudo BI, IT, TG unitatum multitudini EK, KL, LZ numerorum.
Erit ergo sicut BI unitas ad EK numerum ita IT unitas ad KL numerum et TG unitas ad LZ. Erit ergo et sicut unus antecedentium ad unum consequentium ita omnes antecedentes ad omnes consequentes. Est ergo sicut BI unitas ad EK numerum ita numerus BG ad numerum EZ. Equalis uero BI unitas A unitati. Numerus autem EK numero D. Sicut ergo A unitas ad D numerum ita numerus BG ad numerum EZ.
Equaliter ergo A unitas D numerum metitur et numerus BG numerum EZ. Quod oportebat ostendere.
80
§ 16
Si numeri multiplicantes se inuicem fecerint aliquos, facti ex ipsis equales sibi inuicem erunt. Sint duo numeri A, B, et numerus quidem A numerum B multiplicans numerum G faciat. Numerus uero B numerum A multiplicans numerum D faciat. Dico quoniam equalis est numerus G numero D. Quoniam enim numerus A numerum B multiplicans numerum G fecit, numerus ergo B numerum G metitur secundum eas que in numero A unitates.
Metitur autem et E unitas A numerum secundum eas que in ipso unitates. Equaliter ergo E unitas A numerum metitur et numerus B numerum G, permutatim ergo equaliter E unitas B numerum metitur et numerus A numerum G. Rursum quoniam numerus B numerum A multiplicans numerum D fecit, numerus ergo A numerum D metitur secundum eas que in numero B unitates.
Metitur autem et E unitas numerum B secundum eas que in ipso unitates. Equaliter ergo E unitas numerum B metitur et numerus A numerum D. Equaliter autem E unitas numerum B metitur et numerus A numerum G. Equaliter ergo numerus A utrumque numerorum G, D metitur. Equalis ergo est numerus G numero D. Quod oportet ostendere.
§ 17
85
Si numerus duos numeros multiplicans facit aliquos, facti ex ipsis eandem habebunt proportionem multiplicatis. Numerus enim A duos numeros B, G multiplicans numeros D, E faciat. Dico quoniam est sicut numerus B ad numerum G ita numerus D ad numerum E. Quoniam enim numerus A numerum B multiplicans numerum D fecit, numerus ergo B numerum D metitur secundum eas que in numero A unitates.
Metitur autem et Z unitas A numerum secundum eas que in ipso unitates. Equaliter ergo Z unitas A numerum metitur et numerus B numerum D. Est ergo sicut Z unitas ad A numerum ita numerus B ad numerum D. Propter eadem ergo et sicut Z unitas ad A numerum ita numerus G ad numerum E, et sicut ergo numerus B ad numerum D ita numerus G ad numerum E.
Permutatim ergo est sicut numerus B ad numerum G ita numerus D ad numerum E. Quod oportet ostendere.
§ 18
Si duo numeri numerum aliquem multiplicantes fecerint aliquos, facti ex ipsis eandem habebunt proportionem multiplicantibus. Duo enim numeri A, B numerum aliquem G multiplicantes numeros D, E faciant. Dico quoniam est sicut numerus A ad numerum B ita numerus D ad numerum E. Quoniam enim numerus A numerum G multiplicans numerum D fecit, et numerus ergo G numerum A multiplicans numerum D fecit. Propter eadem ergo et numerus G numerum B multiplicans numerum E fecit. Numerus ergo G duos numeros A, B multiplicans numeros D, E fecit. Est ergo sicut numerus A ad numerum B ita numerus D ad numerum E. Quod oportet ostendere.
90
§ 19
Si quattuor numeri proportionales fuerint, ex primo et quarto factus numerus equalis erit numero ex secunda et tertia facto. Et si ex primo et quarto factus numerus equalis fuerit ei qui ex secundo et tertia, illi quattuor numeri proportionales erunt. Sint quattuor numeri proportionales A, B, G, D; sicut A ad B ita G ad D. Et A quidem numerus numerum D multiplicans numerum E faciat, numerus uero B numerum G multiplicans numerum Z faciat.
Dico quoniam equalis est numerus E numero Z. Numerus ergo A numerum G multiplicans numerum I faciat. Quoniam ergo numerus A numerum G multiplicans numerum I fecit, numerum autem D multiplicans numerum E fecit, numerus ergo A duos numeros G, D multiplicans numeros I, E fecit. Est ergo sicut numerus G ad numerum D ita numerus I ad numerum E.
Sicut autem numerus G ad numerum D ita numerus A ad numerum B. Et sicut ergo numerus A ad numerum B ita numerus I ad numerum E. Rursus quoniam numerus A numerum G multiplicans numerum I fecit necnon et numerus B numerum G multiplicans numerum Z fecit, duo ergo numeri A, B numerum aliquem G multiplicantes numeros I, Z fecerunt.
Est ergo sicut numerus A ad numerum B ita numerus I ad numerum Z. Necnon et sicut numerus A ad numerum B ita numerus I ad numerum E, et sicut ergo numerus I ad numerum E ita numerus I ad numerum Z. Numerus ergo I ad utrumque numerorum E, Z eandem habet proportionem. Equalis ergo est numerus E numero Z.
95
Esto ergo rursum equalis numerus E numero Z. Dico quoniam est sicut numerus A ad numerum B ita numerus G ad numerum D. Eisdem enim dispositis, quoniam numerus A numeros G, D multiplicans numeros I, E fecit, est ergo sicut numerus G ad numerum D ita numerus I ad numerum E. Equalis autem est numerus E numero Z. Est ergo sicut numerus I ad numerum E ita numerus I ad numerum Z.
Uerum sicut quidem numerus I ad numerum E ita numerus G ad numerum D, et sicut ergo numerus G ad numerum D ita numerus I ad numerum Z. Sicut autem numerus I ad numerum Z ita numerus A ad numerum B, et sicut ergo numerus A ad numerum B ita numerus G ad numerum D. Quod oportet ostendere.
§ 20
Minimi numeri eandem proportionem habentium ipsis metiuntur eandem proportionem habentes equaliter, maior maiorem et minor minorem. Sint minimi numeri eandem habentium proportionem numeris A, B numeri GD, EZ. Dico quoniam equaliter numerus GD numerum A metitur et numerus EZ numerum B. Numerus enim GD numeri A non est partes. Si enim possibile, esto; et numerus ergo EZ numeri B eedem partes est que numerus GD numeri A.
Quot ergo sunt in numero GD partes numeri A, totidem sunt et in numero EZ partes numeri B. Diuidatur numerus quidem GD in eas que numeri A partes sintque GI, ID. Numerus autem EZ in eas que numeri B partes sintque ET, TZ. Erit ergo equalis multitudo numerorum GI, ID multitudini numerorum ET, TZ. Et quoniam equales sunt numeri GI, ID sibi inucem, sunt autem numeri ET, TZ equales sibi inuicem, et est equalis multitudo numerorum GI, ID multitudini numerorum ET, TZ; est ergo sicut GI ad ET ita ID ad TZ.
100
Erit ergo et sicut unus antecedentium ad unum consequentium ita omnes antecedentes ad omnes consequentes. Est ergo sicut GI ad ET ita GD ad EZ. Numeri ergo GI, ET numeris GD, EZ in eadem proportione sunt minores existentes ipsis. Quod impossibile. Subiacent enim numeri GD, EZ minimi eandem proportionem habentium ipsis. Non ergo partes est numerus GD numeri A. Pars ergo.
Et numerus ergo EZ numeri B eadem pars est que numerus GD numeri A. Equaliter ergo numerus GD numerum A metitur et numerus EZ numerum B. Quod oportet ostendere.
§ 21
Primi ad se inuicem numeri minimi sunt eandem proportionem habentium ipsis. Sint primi ad se inuicem numeri A, B. Dico quoniam numeri A, B minimi sunt eandem proportionem habentium ipsis. Si enim non sunt numeri A, B minimi eandem proportionem ipsis habentium, erunt aliqui numeris A, B minores numeri in eadem proportione existentes numeris A, B. Sint numeri G, D.
Quoniam ergo minimi numeri eandem proportionem habentium metiuntur eandem proportionem habentes equaliter, maior maiorem, et minor minorem, hoc est, antecedens antecedentem et consequens consequentem, equaliter ergo numerus G numerum A metitur et numerus D numerum B. Quotiens ergo numerus G numerum A metitur tot unitates sint in numero E, et numerus ergo D numerum B metitur secundum eas que in numero E unitates.
105
(Et quoniam numerus G numerum A metitur secundum eas que in numero E unitates,) et numerus ergo E numerum A metitur secundum eas que in numero G unitates. Propter eadem ergo numerus E et numerum B metitur secundum eas que in numero D unitates. Numerus ergo E numeros A, B metitur primos existentes ad se inuicem. Quod est impossibile. Non ergo erunt aliqui numeris A, B minores numeri in eadem proportione existentes numeris A, B.
Numeri ergo A, B minimi sunt eandem proportionem habentium ipsis. Quod oportet ostendere.
§ 22
Minimi numeri eandem proportionem habentium ipsis primi ad se inuicem sunt. Sint minimi numeri eandem ipsis proportionem habentium A, B. Dico quoniam numeri A, B primi ad se inuicem sunt. Si enim non sunt numeri A, B primi ad se inuicem, metietur aliquis numerus numeros A, B. Metiatur sitque G. Et quotiens quidem numerus G numerum A metitur tot unitates sint in numero D.
Quotiens uero numerus G numerum B metitur tot unitates sint in numero E. Quoniam numerus G numerum A metitur secundum eas que in numero D unitates, numerus ergo G numerum D multiplicans numerum A fecit. Propter eadem ergo et numerus G numerum E multiplicans numerum B fecit. Numerus ergo G duos numeros D, E multiplicans numeros A, B fecit. Est ergo sicut D ad E ita A ad B.
110
Numeri ergo D, E numeris A, B in eadem proportione sunt minores existentes ipsis. Quod est impossibile. Non ergo numeros A, B numerus aliquis metietur. Numeri ergo A, B primi ad se inuicem sunt. Quod oportebat ostendere.
§ 23
Si duo numeri primi ad se inuicem fuerint, unum ipsorum metiens numerus ad reliquum primus erit. Sint duo numeri primi ad se inuicem A, B. Numerum autem A metiatur aliquis numerus G. Dico quoniam numeri G, B primi ad se inuicem sunt. Si enim non sunt numeri G, B primi ad se inuicem, metietur aliquis numeros G, B numerus. Metiatur et esto D.
Quoniam numerus D numerum G metitur, numerus autem G numerum A metitur, et numerus ergo D numerum A metitur. Metitur autem et numerum B. Numerus ergo D numeros A, B metitur primos existentes ad se inuicem. Quod est impossibile. Non ergo numeros G, B numerus aliquis metietur. Numeri ergo G, B primi ad se inuicem sunt. Quod oportet ostendere.
§ 24
115
Si duo numeri ad aliquem numerum primi fuerint, et ex ipsis factus primus erit ad eundem. Duo enim numeri A, B ad aliquem numerum G primi sint et numerus A numerum B multiplicans numerum D faciat. Dico quoniam et numeri G, D primi ad se inuicem sunt. Si enim non sunt G, D primi ad se inuicem, metietur aliquis numeros G, D numerus.
Metiatur et esto E. Et quoniam numeri G, A primi ad se inuicem sunt, numerum autem G metitur aliquis numerus E, numeri ergo A, E primi ad se inuicem sunt. Quotiens uero numerus E numerum D metitur tot unitates sint in numero Z, et numerus ergo Z numerum D metitur secundum eas que in numero E unitates. Numerus ergo E numerum Z multiplicans numerum D fecit.
Necnon et numerus A numerum B multiplicans numerum D fecit. Equalis ergo est qui ex numeris E, Z ei qui ex A, B. Si uero qui sub extremis equalis fuerit ei qui sub mediis, quattuor numeri proportionales sunt. Est ergo sicut E ad A ita B ad Z. Numeri autem A, E primi, primi autem et minimi. Minimi autem numeri eandem proportionem habentium ipsis metiuntur eandem proportionem habentes equaliter, maior maiorem et minor minorem, hoc est, antecedens antecedentem et consequens consequentem.
Numerus ergo E numerum B metitur. Metitur autem et numerum G. Numerus ergo E numeros G, B primos existentes ad se inuicem metitur. Quod est impossibile. Non ergo numeros G, D numerus aliquis metietur; G, D ergo numeri primi ad se inuicem sunt. Quod oportet ostendere.
§ 25
120
Si duo numeri primi ad se inuicem fuerint, ex uno ipsorum factus ad reliquum primus erit. Sint duo numeri primi ad se inuicem A, B et numerus A se ipsum multiplicans numerum G faciat. Dico quoniam numeri B, G primi ad se inuicem sunt. Iaceat enim numero A equalis numerus D. Quoniam numeri A, B primi ad se inuicem sunt, (equalis autem est numerus A numero D, et numeri ergo D, B ad se inuicem primi sunt.) Uterque ergo numerorum D, A ad numerum B primus est. Et ex numeris ergo D, A factus ad numerum B primus erit. Factus autem ex numeris D, A numerus est G. Numeri ergo G, B primi ad se inuicem sunt. Quod oportet ostendere.
§ 26
Si duo numeri ad duos numeros ambo ad utrumque primi fuerint, et ex ipsis facti primi ad se inuicem erunt. Duo enim numeri A, B ad duos numeros G, D, ambo ad utrumque, sint primi. Et A quidem numerus numerum B multiplicans numerum E faciat, numerus autem G numerum D multiplicans numerum Z faciat. Dico quoniam numeri E, Z primi ad se inuicem sunt.
Quoniam enim uterque numerorum A, B ad numerum G primus est, et ex numeris ergo A, B factus ad numerum G primus erit. Factus autem ex numeris A, B est numerus E. Numeri ergo E, G primi ad se inuicem sunt. (Propter eadem et numeri E, D primi ad se inuicem sunt.) Ergo uterque numerorum G, D ad numerom E primus est et ex numeris ergo G, D factus ad numerum E primus erit.
Factus autem ex numeris G, D est numerus Z. Numeri ergo E, Z primi ad se inuicem sunt. Quod oportebat ostendere.
125
§ 27
Si duo numeri primi ad se inuicem fuerint et multiplicans uterque se ipsum fecerit aliquem, facti ex ipsis primi ad se inuicem erunt. Et qui ex principio factos multiplicantes si fecerint aliquos, et illi primi ad se inuicem erunt. Et semper circa extremos hoc accidit. Sint duo numeri primi ad se inuicem A, B et A numerus se ipsum quidem multiplicans faciat G, numerum autem G multiplicans faciat D numerum.
Numerus autem B se ipsum quidem multiplicans faciat E, numerum autem E multiplicans numerum Z faciat. Dico quoniam et numeri G, E et numeri D, Z primi ad se inuicem sunt. Quoniam enim numeri A, B primi ad se inuicem sunt et numerus A se ipsum multiplicans numerum G fecit, numeri ergo G, B primi ad se inuicem sunt. Quoniam ergo numeri G, B primi ad se inuicem sunt et numerus B se ipsum multiplicans numerum E fecit, numeri ergo G, E primi ad se inuicem sunt.
Rursum quoniam numeri A, B primi ad se inuicem sunt et numerus B se ipsum multiplicans numerum E fecit, numeri ergo A, E primi ad se inuicem sunt. Et quoniam duo numeri A, G ad duos numeros B, E, ambo ad utrumque, primi sunt, et ex numeris ergo A, G factus ad eum qui ex numeris B, E primus est.
Et est qui quidem ex numeris A, G numerus D, qui uero ex numeris B, E numerus Z. Numeri ergo D, Z primi ad se inuicem sunt. Quod oportet ostendere.
130
§ 28
Si duo numeri ad se inuicem primi fuerint, et couterque ad utrumque ipsorum primus erit. Et si couterque ad unum aliquem ipsorum primus fuerit, et numeri qui e principio primi ad se inuicem erunt. Componantur enim duo numeri primi ad se inuicem AB, BG. Dico quoniam et couterque AG ad utrumque numerorum AB, BG primus est. Si enim non sunt numeri GA, AB primi ad se inuicem, metietur aliquis numeros GA, AB numerus.
Metiatur sitque D. Quoniam ergo numerus D numeros GA, AB metitur, et reliquum ergo numerum BG metietur. Metitur autem et numerum BA. Numerus ergo D numeros AB, B metitur primos existentes ad se inuicem. Quod est impossibile. Non ergo numeros GA, AB numerus aliquis metietur, numeri ergo GA, AB primi ad se inuicem sunt. Propter eadem ergo numeri AG, GB primi ad se inuicem sunt.
Numerus ergo GA ad utrumque numerorum AB, BG primus est. Sint ergo rursum numeri GA, AB primi ad se inuicem. Dico quoniam et numeri AB, BG primi ad se inuicem sunt. Si enim non sunt numeri AB, BG primi ad se inuicem, metietur numerus aliquis numeros AB, BG. Metiatur sitque D. Et quoniam numerus D utrumque numerorum AB, BG metitur, et totum ergo numerum GA metietur.
Metitur autem et numerum AB. Numerus ergo D numeros GA, AB metitur primos existentes ad se inuicem. Quod est impossibile. Non ergo numeros AB, BG numerus aliquis metietur. Numeri ergo AB, BG primi ad se inuicem sunt. Quod oportebat ostendere.
135
§ 29
Omnis numerus primus ad omnem numerum quem non metitur primus est. Esto primus numerus A et numerum B non metiatur. Dico quoniam numeri B, A primi ad se inuicem sunt. Si enim non sunt numeri B, A primi ad se inuicem, metietur aliquis ipsos numerus. Metiatur sitque G. Quoniam numerus G numerum B metitur, numerus autem A numerum B non metitur, numerus ergo G numero A non est idem. Et quoniam numerus G numeros B, A metitur, et numerum ergo A metitur primum existentem non existens ipsi idem. Quod est impossibile. Non ergo numeros B, A metietur aliquis numerus. Numeri ergo B, A primi ad se inuicem sunt. Quod oportet ostendere.
§ 30
Si duo numeri multiplicantes se inuicem fecerint aliquem, factum ex ipsis metitur aliquis primus numerus, et unum eorum qui e principio metietur. Duo enim numeri A, B multiplicantes se inuicem numerum G faciant. Numerum autem G metiatur aliquis prlmus numerus D. Dico quoniam numerus D unum numerorum A, B metitur. Numerum enim A non metiatur. Et est primus D. Numeri ergo A, D primi ad se inuicem sunt.
Et quotiens numerus D numerum G metitur tot unitates sint in numero E. Quoniam ergo numerus D numerum G metitur secundum eas que in numero E unitates, numerus ergo D numerum E multiplicans numerum G fecit. Necnon et numerus A numerum B multiplicans numerum G fecit. Equalis ergo est qui ex numeris D, E ei qui ex numeris A, B.
140
Est ergo sicut numerus D ad numerum A ita numerus B ad numerum E. Numeri uero D, A primi. Qui uero primi, et minimi. Qui uero minimi, metiuntur eandem habentes proportionem equaliter, maior maiorem et minor minorem, hoc est, antecedens antecedentem et consequens consequentem. Numerus ergo D numerum B metitur. Similiter autem ostendemus quoniam et si numerum B non metitur, numerum A metietur.
Numerus ergo D unum numerorum A, B metitur. Quod oportet ostendere.
§ 31
Omnis compositus numerus ab aliquo primo numero metitur. Esto compositus numerus A. Dico quoniam numerus A ab aliquo primo numera metitur. Quoniam enim compositus est numerus A, metietur aliquis ipsum numerus. Metiatur et esto numerus B. Et siquidem primus est numerus B, manifestum utique erit quod queritur. Si uero compositus, metietur aliquis ipsum numerus. Metiatur sitque G. Et quoniam numerus G numerum B metitur, numerus autem B numerum A metitur, numerus ergo G numerum A metitur.
Et siquidem primus est numerus G, manifestum utique erit quod queritur. Si uero compositus, metietur aliquis ipsum numerus. Huiusmodi ergo facta katanoisi, sumetur aliquis primus numerus qui metietur eum qui ante ipsum qui et A numerum metietur. Si enim non sumetur, metientur A numerum infiniti numeri quorum alter altero minor. Quod est impossibile in numeris. Sumetur ergo aliquis primus numerus qui metietur eum qui ante ipsum, qui et A numerum metietur.
145
Omnis ergo compositus numerus etc. Aliter. Esto compositus numerus A. Dico quoniam ab aliquo primo numero metitur. Quoniam enim compositus est numerus A, metietur ab aliquo numero. Metiatur sitque minimus metientium ipsum numerus B. Dico quoniam B primus est. Si enim non est B prlimus, metietur ab aliquo numero. Metiatur a numero G. Numerus ergo G numero B est minor.
Et quoniam numerus G numerum B metitur, numerus uero B numerum A metitur, et numerus ergo G numerum A metitur minor existens numero B. Quod est inconueniens. Non ergo numerus B compositus est. Primus ergo.
§ 32
Omnis numerus uel primus est uel ab aliquo primo numero metitur. Esto omnis numerus A. Dico quoniam numerus A uel primus est uel ab aliquo primo numero metitur. Siquidem ergo primus est numerus A, manifestum utique erit quod queritur. Si uero compositus, metietur ipsum aliquis primus numerus. Omnis ergo etc.
§ 33
150
Datis numeris quantiscumque minimos easdem proportiones habentium ipsis inuenire. Sint dati quotlibet numeri A, B, G. Oportet ergo inuenire minimos easdem proportiones habentium numeris A, B, G. Numeri ergo A, B, G primi ad se inuicem sunt uel non. Siquidem ergo primi ad se inuicem sunt numeri A, B, G, minimi sunt eandem proportionem habentium. Si uero non, sumatur numerorum A, B, G maxima communis mensura D.
Et quotiens numerus D unumquemque numerorum A, B, G metitur, tot unitates sint in unoquoque numerorum E, Z, I. Et unusquisque ergo numerorum E, Z, I unumquemque numerorum A, B, G metitur secundum eas que in numero D unitates. Numeri ergo E, Z, I numeros A, B, G equaliter metiuntur. Numeri ergo E, Z, I numeris A, B, G in eadem proportione sunt.
Dico ergo quoniam et minimi. Si enim non sunt numeri E, Z, I minimi eandem proportionem habentium numeris A, B, G, erunt aliqui numeris E, Z, I minores numeri in eadem proportione existentes numeris A, B, G. Sint T, K, L. Equaliter ergo numerus T numerum A metitur et uterque numerorum K, L utrumque numerorum B, G. Quotiens uero numerus T numerum A metitur, tot unitates sint in numero M.
Et uterque ergo numerorum K, L utrumque numerorum B, G metitur secundum eas que in numero M unitates. Et quoniam numerus T numerum A metitur secundum eas que in numero M unitates, numerus ergo M numerum A metitur secundum eas que in numero T unitates. Propter eadem ergo numerus M et utrumque numerorum B, G metitur secundum eas que in utroque numerorum K, L unitates.
Numerus ergo M numeros A, B, G metitur. Et quoniam numerus T numerum A metitur secundum eas que in numero M unitates, numerus ergo T numerum M muitiplicans numerum A fecit. Propter eadem ergo et numerus E numerum D multiplicans numerum A fecit. Equalis ergo est qui ex numeris E, D ei qui ex numeris T, M. Est ergo sicut E ad T ita M ad D.
155
Maior uero numerus E numero T. Maior ergo et numerus M numero D et metitur numeros A, B, G. Quod est impossibile. Subiacet enim numerus D numerorum A, B, G maxima communis mensura. Non ergo erit aliqui numeris E, Z, I minores numeri in eadem proportione existentes numeris A, B, G. Numeri ergo E, Z, I minimi sunt eandem proportionem habentium numeris A, B, G.
Quod oportet ostendere.
§ 34
Duobus numeris datis quem minimum metiuntur numerum inuenire. Sint dati duo numeri A, B. Oportet ergo inuenire quem minimum metiuntur numerum. Numeri enim A, B uel primi ad se inuicem sunt uel non. Sint prius numeri A, B primi ad se inuicem. Et numerus A numerum B multiplicans numerum G faciat. Et numerus ergo B numerum A multiplicans numerum G fecit.
Numeri ergo A, B numerum G metiuntur. Dico ergo quoniam et minimus. Si enim non, metientur aliquem numerum numeri A, B minorem existentem numero G. Metiantur sitque D. Et quotiens numerus A numerum D metitur, tot unitates sint in numero E. Quotiens uero numerus B numerum D metitur tot unitates sint in numero Z. Itaque numerus quidem A numerum E multiplicans numerum D fecit.
160
Numerus uero B numerum Z multiplicans numerum D fecit. Equalis ergo qui ex numeris A, E ei qui ex numeris B, Z. Est ergo sicut A ad B ita Z ad E. Numeri uero A, B primi. Primi uero et minimi. Qui uero minimi metiuntur eandem proportionem habentes equaliter, maior maiorem et minor minorem. Numerus ergo B numerum E metitur sicut consequens consequentem.
Et quoniam numerus A numeros B, E multiplicans numeros G, D fecit, est ergo sicut B ad E ita G ad D. Metitur uero numerus B numerum E, metitur ergo et numerus G numerum D. Maior minorem. Quod est impossibile. Non ergo numeri A, B metiuntur aliquem numerum minorem existentem numero G, quando numeri A, B primi ad se inuicem fuerint.
Numerus ergo G minimus eorum qui a numeris A, B metiuntur. Non sint ergo numeri A, B primi ad se inuicem. Et sumantur minimi numeri eandem proportionem habentium numeris A, B sintque E, Z. Equalis ergo est qui ex numeris A, E ei qui ex numeris B, Z. Et numerus A numerum E multiplicans numerum G fecit, et numerus ergo B numerum Z multiplicans numerum G fecit.
Numeri ergo A, B numerum G metiuntur. Dico ergo quoniam et minimus. Si enim non, metientur aliquem numerum numeri A, B minorem existentem numero G. Metiantur sitque D. Et quotiens quidem numerus A numerum D metitur tot unitates sint in numero I. Quotiens uero numerus B numerum D metitur tot unitates sint in numero T. Itaque numerus quidem A numerum I multiplicans numerum D fecit.
Numerus uero B numerum T multiplicans numerum D fecit. Equalis ergo est qui ex numeris A, I ei qui ex numeris B, T. Est ergo sicut numerus A ad numerum B ita numerus T ad numerum I. Sicut autem numerus A ad numerum B ita numerus Z ad numerum E. Et sicut ergo numerus Z ad numerum E ita numerus T ad numerum I.
165
Numeri autem Z, E minimi. Qui uero minimi metiuntur eandem proportionem habentes equaliter, maior maiorem et minor minorem. Numerus ergo E numerum I metitur. Et quoniam numerus A numeros I, E multiplicans numeros G, D fecit. Est ergo sicut numerus E ad numerum I ita numerus G ad numerum D. Numerus autem E numerum I metitur, et numerus ergo G numerum D metitur.
Maior minorem. (Quod est impossibile.) Non ergo numeri A, B metientur aliquem numerum minorem existentem numero G. Numerus ergo G minimus existens a numeris A, B metitur. Quod oportet ostendere.
§ 35
Si duo numeri numerum aliquem metiantur, et minimus ab ipsis mensuratus eundem metietur. Duo enim numeri A, B numerum aliquem GD metiantur. Minimus uero E. Dico quoniam et E numerus numerum GD metitur. Si enim non metitur numerus E numerum GD, numerus ergo E numerum DZ metiens relinquat se ipso minorem numerum GZ. Et quoniam numeri A, B numerum E metiuntur, numerus autem E numerum DZ metitur, et numeri ergo A, B numerum DZ metientur. Metiuntur autem et totum numerum GD, et reliquum ergo numerum GZ metientur minorem existentem numero E. Quod est impossibile. Non ergo non metitur numerus E numerum GD. Metitur ergo. Quod oportet ostendere.
§ 36
170
Tribus numeris datis quem minimum metiuntur numerum inuenire. Sint dati numeri tres A, B, G. Oportet ergo inuenire quem minimum metiuntur numerum. Sumatur ergo enim quem numeri A, B minimum metiuntur numerus D. Numerus ergo G numerum D uel metitur uel non metitur. Metiatur prius. Metiuntur uero et numeri A, B numerum D. Numeri ergo A, B, G numerum D metiuntur.
Dico ergo quoniam et minimum. Si enim non, metientur aliquem numerum numeri A, B, G minorem existentem numero D. Metiantur sitque E. Quoniam numeri A, B, G numerom E metiuntur, et numeri ergo A, B numerum E metiuntur. Et minimus ergo a numeris A, B mensuratus numerum E metietur. Minimus uero a numeris A, B mensuratus est numerus D. Numerus ergo D numerum E metietur.
Maior minorem. Quod est impossibile. Non ergo numeri A, B, G metientur aliquem numerum minorem existentem numero D. Numeri ergo A, B, G minimum metiuntur numerum D. Non metiatur ergo rursum numerus G numerum D. Et sumatur a numeris D, G minimus mensuratus E. Quoniam numeri A, B numerum D metiuntur. Numerus uero D numerum E metitur, et numeri ergo A, B numerum E metiuntur.
Metitur uero et numerus G numerum E. Et numeri ergo A, B, G numerum E metiuntur. Dico ergo quoniam et minimum. Si enim non, metientur aliquem numeri A, B, G minorem existentem numero E. Metiantur sitque Z. Quoniam numeri A, B, G numerum Z metiuntur, et numeri ergo A, B numerum Z metiuntur. Et minimus ergo a numeris A, B mensuratus numerum Z metietur.
Minimus autem a numeris A, B mensuratus est D. Numerus ergo D numerum Z metitur. Metitur uero et numerus G numerum Z. Numeri ergo D, G numerum Z metiuntur. Quare et minimus a numeris D, G mensuratus numerum Z metietur. Minimus autem a numeris D, G mensuratus est E. Numerus ergo E numerum Z metitur. Maior minorem. Quod est impossibile.
175
Non ergo numeri A, B, G numerum aliquem metientur minorem existentem numero E. Numerus ergo E minimus mensuratus a numeris A, B, G. Quod oportebat ostendere.
§ 37
Si numerus ab aliquo numero metitur, mensus omonimam partem habebit metienti. Numerus enim A ab aliquo numero B metiatur. Dico quoniam numerus A omonimam partem habet numero B. Quotiens enim numerus B numerum A metitur tot unitates sint in numero G. Quoniam numerus B numerum A metitur secundum eas que in numero G unitates, metitur autem et D unitas numerum G secundum eas que in ipso unitates.
Equaliter ergo D unitas numerum G metitur, et numerus B numerum A. Permutatim ergo D unitas numerum B metitur et numerus G numerum A. Que ergo pars est D unitas numeri B, eadem pars est numerus G numeri A. Unitas autem D numeri B pars est omonima ipsi. Et numerus ergo G numeri A pars est omonima numero B. Quare numerus A partem habet numerum G omonimam existentem numero B.
Quod oportet ostendere.
180
§ 38
Si numerus partem habuerit quamcumque, sub omonimo parti numero metietur. Numerus enim A partem habeat quamcumque numerum B et numero B parti omonimus esto numerus G. Dico quoniam numerus G numerum A metitur. Quoniam enim numerus B numeri A pars est omonima numero G. Est autem et D unitas numeri G pars omonima ipsi. Que ergo pars est D unitas numeri G, eadem pars est et numerus B numeri A. Equaliter ergo D unitas numerum G metitur et numerus B numerum A. Permutatim ergo equaliter D unitas B numerum metitur et numerus G numerum A. Numerus ergo G numerum A metitur. Quod oportet ostendere.
§ 39
Numerum inuenire qui minimus existens habeat datas partes. Sint date partes A, B, G. Oportet ergo numerum inuenire qui minimus existens habeat A, B, G partes. Sint partibus A, B, G omonimi numeri D, E, Z. Et sumatur a numeris D, E, Z minimus mensuratus numerus I. Et quoniam numerus I a numeris D, E, Z metitur, numerus I omonimas numeris D, E, Z partes habet.
Numeris autem D, E, Z omonime partes sunt A, B, G. Numerus ergo I habet partes A, B, G. Dico ergo quoniam et minimus existens. Si enim non numerus I minimus existat habens A, B, G partes, erit aliquis numero I minor numerus qui habebit A, B, G partes. Esto numerus T. Quoniam numerus T habet A, B, G partes, numerus ergo T sub omonimis numeris metietur partibus A, B, G.
185
Partibus autem A, B, G omonimi numeri sunt D, E, Z. Numerus ergo T a numeris D, E, Z metitur. Et est minor numero I. Quod est impossibile. Non ergo erit aliquis numero I minor numerus qui habeat A, B, G partes. Quod oportebat ostendere. Explicit liber UII Euclidis.
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Lewis & Short (Perseus, CC BY-SA). Morphology: LatinCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.