Library › Greek: Science & Medicine › Arithmetica
The Arithmetica of Diophantus of Alexandria is the most important work of Greek algebra. Its author's date is uncertain, though he is usually placed in the third century AD. The treatise originally had thirteen books, of which six survive in Greek (four more are preserved in Arabic translation). After an introduction explaining its notation for unknowns, powers and subtraction, it sets out graded problems solved in positive rational numbers.
Diophantus is the first known Greek writer to use a systematic abbreviated notation for algebraic quantities, and equations sought in whole or rational numbers are still called Diophantine. Rediscovered in the Renaissance, the Arithmetica shaped the rise of number theory: Pierre de Fermat wrote his famous Last Theorem in the margin of his copy of Bachet's 1621 edition of this text.
About this edition. The Greek text comes from the Eulogikon open corpus of public-domain editions (standard reference: Tannery, Diophanti opera I pp. 2–448). Every word has been analyzed with odyCy, a neural language model for Ancient Greek — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from the Liddell–Scott–Jones Greek–English Lexicon (LSJ) or, for later Greek, Sophocles’ Greek Lexicon of the Roman and Byzantine Periods.
Ancient Greek · Science & Medicine
Arithmetica
Diophantus · Part 1 · every word parsed
2 (1t)
ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Α. Τὴν εὕρεσιν τῶν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς προβλημάτων, τιμιώτατέ μοι Διονύσιε, γινώσκων σε σπουδαίως ἔχοντα μαθεῖν, [ὀργανῶσαι τὴν μέθοδον] ἐπειράθην, ἀρξάμενος ἀφʼ ὧν συνέστηκε τὰ πράγματα θεμελίων, ὑποστῆσαι τὴν ἐν τοῖς ἀριθμοῖς φύσιν τε καὶ δύναμιν. Ἴσως μὲν οὖν δοκεῖ τὸ πρᾶγμα δυσχερέστερον, ἐπειδὴ μήπω γνώριμόν ἐστιν, δυσέλπιστοι γὰρ εἰς κατόρθωσίν εἰσιν αἱ τῶν ἀρχομένων ψυχαί, ὅμως δʼ εὐκατάληπτόν σοι γενήσεται, διά τε τὴν σὴν προθυμίαν καὶ τὴν ἐμὴν ἀπόδειξιν· ταχεῖα γὰρ εἰς μάθησιν ἐπιθυμία προσλαβοῦσα διδαχήν. Ἀλλὰ καὶ πρὸς τοῖσδε γινώσκοντί σοι πάντας τοὺς ἀριθμοὺς συγκειμένους ἐκ μονάδων πλήθους τινός, φανερὸν καθέστηκεν εἰς ἄπειρον ἔχειν τὴν ὕπαρξιν τυγχανόντων δὴ οὖν ἐν τούτοις ὧν μὲν τετραγώνων, οἵ εἰσιν ἐξ ἀριθμοῦ τινος ἐφʼ ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος· οὗτος δὲ ὁ ἀριθμὸς καλεῖται πλευρὰ τοῦ τετραγώνου · ὧν δὲ κύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τὰς αὐτῶν πλευρὰς πολυπλασιασθέντων, ὧν δὲ δυναμοδυνάμεων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐφʼ ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων, ὧν δὲ δυναμοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ τετραγώνων ἐπὶ τοὺς ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτοῖς πλευρᾶς κύβους πολυπλασιασθέντων, ὧν δὲ κυβοκύβων, οἵ εἰσιν ἐκ κύβων ἐφʼ ἑαυτοὺς πολυπλασιασθέντων, ἔκ τε τῆς τούτων ἤτοι συνθέσεως ἢ ὑπεροχῆς ἢ πολυπλασιασμοῦ ἢ λόγου τοῦ πρὸς ἀλλήλους ἢ καὶ ἑκάστων πρὸς τὰς ἰδίας πλευρὰς συμβαίνει πλέκεσθαι πλεῖστα προβλήματα ἀριθμητικά· λύεται δὲ βαδίζοντός σου τὴν ὑποδειχθησομένην ὁδόν.
Ἐδοκιμάσθη οὖν ἕκαστος τούτων τῶν ἀριθμῶν συντομωτέραν ἐπωνυμίαν κτησάμενος στοιχεῖον τῆς ἀριθμητικῆς θεωρίας εἶναι· καλεῖται οὖν ὁ μὲν τετράγωνος δύναμις καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Δ ἐπίσημον ἔχον Υ, Δ Υ δύναμις· ὁ δὲ κύβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον Κ ἐπίσημον ἔχον Υ, Κ Υ κύβος· ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐφʼ ἑαυτὸν πολυπλασιασθέντος δυναμοδύναμις καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δέλτα δύο ἐπίσημον ἔχοντα Υ, Δ Υ Δ δυναμοδύναμις· ὁ δὲ ἐκ τετραγώνου ἐπὶ τὸν ἀπὸ τῆς αὐτῆς αὐτῷ πλευρᾶς κύβου πολυπλασιασθέντος δυναμόκυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὰ ΔΚ ἐπίσημον ἔχοντα Υ, ΔΚ Υ δυναμόκυβος· ὁ δὲ ἐκ κύβου ἑαυτὸν πολυπλασιάσαντος κυβόκυβος καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον δύο κάππα ἐπίσημον ἔχοντα Υ, Κ Υ Κ κυβόκυβος.
ὁ δὲ μηδὲν τούτων τῶν ἰδιωμάτων κτησάμενος, ἔχων δὲ ἐν ἑαυτῷ πλῆθος μονάδων ἀόριστον, ἀριθμὸς καλεῖται καὶ ἔστιν αὐτοῦ σημεῖον τὸ 𐅶 . ἔστι δὲ καὶ ἕτερον σημεῖον τὸ ἀμετάθετον τῶν ὡρισμένων ἡ μονὰς καὶ ἔστιν αὐτῆς σημεῖον τὸ Μ ἐπίσημον ἔχον τὸ Ο, Μ ο Ὥσπερ δὲ τῶν ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια παρομοίως καλεῖται τοῖς ἀριθμοῖς, τοῦ μὲν τρία τὸ τρίτον, τοῦ δὲ τέσσαρα τὸ τέταρτον, οὕτως καὶ τῶν νῦν ἐπονομασθέντων ἀριθμῶν τὰ ὁμώνυμα μόρια κληθήσεται παρομοίως τοῖς ἀριθμοῖς· τοῦ μὲν ἀριθμοῦ, τὸ ἀριθμοστόν, τῆς δὲ δυνάμεως, τὸ δυναμοστόν, τοῦ δὲ κύβου, τὸ κυβοστόν, τῆς δὲ δυναμοδυνάμεως, τὸ δυναμοδυναμοστόν, τοῦ δὲ δυναμοκύβου, τὸ δυναμοκυβοστόν, τοῦ δὲ κυβοκύβου, τὸ κυβοκυβοστόν· ἕξει δὲ ἕκαστον αὐτῶν ἐπὶ τὸ τοῦ ὁμωνύμου ἀριθμοῦ σημεῖον γραμμὴν διαστέλλουσαν τὸ εἶδος. Ἐκθέμενος οὖν σοι τὴν ἑκάστου τῶν ἀριθμῶν ἐπωνυμίαν, ἐπὶ τοὺς πολυπλασιασμοὺς αὐτῶν μεταβήσομαι· ἔσονται δέ σοι καταφανεῖς διὰ τὸ προδεδηλῶσθαι σχεδὸν διὰ τῆς ὀνομασίας. Ἀριθμὸς μὲν ἐπὶ ἀριθμὸν πολυπλασιασθεὶς ποιεῖ δύναμιν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, κύβον, ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοδύναμιν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμόκυβον, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κυβόκυβον.
Δύναμις δὲ ἐπὶ μὲν δύναμιν, δυναμοδύναμιν, ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμόκυβον, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κυβόκυβον. Κύβος δὲ ἐπὶ κύβον, κυβόκυβον. Πᾶς δʼ ἀριθμὸς ἐπὶ τὸ ὁμώνυμον αὐτοῦ μόριον πολυπλασιασθεὶς μονάδα ποιεῖ. Τῆς οὖν μονάδος ἀμεταθέτου οὔσης καὶ ἑστώσης ἀεί, τὸ πολυπλασιαζόμενον εἶδος ἐπʼ αὐτὴν αὐτὸ τὸ εἶδος ἔσται. Τὰ δʼ ὁμώνυμα μόρια ἐφʼ ἑαυτὰ πολυπλασιαζόμενα ποιήσει ὁμώνυμα μόρια τοῖς ἀριθμοῖς· οἷον τὸ μὲν ἀριθμοστὸν ἐπὶ τὸ ἀριθμοστόν, δυναμοστὸν ποιεῖ, ἐπὶ δὲ δυναμοστόν, κυβοστόν, [ἐπὶ δὲ κυβοστόν, δυναμοδυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδυναμοστόν, δυναμοκυβοστόν, ἐπὶ δὲ τὸ δυναμοκυβοστόν, κυβοκυβοστόν,] καὶ τοῦτο ὁμωνύμως συμβήσεται. Ἀριθμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν δύναμιν, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ κύβον, δύναμιν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, κύβον, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δυναμοδύναμιν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμόκυβον.
10
Δυναμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δύναμιν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, κύβον, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δυναμοδύναμιν. Κυβοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, δύναμιν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον. κύβον. Δυναμοδυναμοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, κυβοστόν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμόν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, δύναμιν.
Δυναμοκυβοστὸν δὲ ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοδυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, κυβοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, ἀριθμοστόν, ἐπὶ δὲ κυβόκυβον, ἀριθμόν. Τὸ δὲ κυβοκυβοστὸν ἐπὶ μὲν ἀριθμόν, δυναμοκυβοστόν, ἐπὶ δὲ δύναμιν, δυναμοδυναμοστόν, ἐπὶ δὲ κύβον, κυβοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμοδύναμιν, δυναμοστόν, ἐπὶ δὲ δυναμόκυβον, ἀριθμοστόν. Λεῖψις ἐπὶ λεῖψιν πολλαπλασιασθεῖσα ποιεῖ ὕπαρξιν, λεῖψις δὲ ἐπὶ ὕπαρξιν ποιεῖ λεῖψιν, καὶ τῆς λείψεως σημεῖον Ψ ἐλλιπὲς κάτω νεῦον, ⩚ . Καὶ τῶν πολλαπλασιασμῶν σοι σαφηνισθέντων, φανεροί εἰσιν οἱ μερισμοὶ τῶν προκειμένων εἰδῶν.
καλῶς οὖν ἔχει ἐναρχόμενον τῆς πραγματείας συνθέσει καὶ ἀφαιρέσει καὶ πολλαπλασιασμοῖς τοῖς περὶ τὰ εἴδη γεγυμνάσθαι, καὶ πῶς εἴδη ὑπάρχοντα καὶ λείποντα μὴ ὁμοπληθῆ προσθῇς ἑτέροις εἴδεσιν, ἤτοι καὶ αὐτοῖς ὑπάρχουσιν, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχουσι καὶ λείπουσι, καὶ πῶς ἀπὸ ὑπαρχόντων εἰδῶν καὶ ἑτέρων λειπόντων ὑφέλῃς ἕτερα ἤτοι ὑπάρχοντα, ἢ καὶ ὁμοίως ὑπάρχοντα καὶ λείποντα. Μετὰ δὲ ταῦτα ἐὰν ἀπὸ προβλήματός τινος γένηται εἴδη τινὰ ἴσα εἴδεσι τοῖς αὐτοῖς, μὴ ὁμοπληθῆ δέ, ἀπὸ ἑκατέρων τῶν μερῶν δεήσει ἀφαιρεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον γένηται. ἐὰν δέ πως ἐν ὁποτέρῳ ἐνυπάρχῃ ἢ ἐν ἀμφοτέροις ἐν ἐλλείψεσί τινα εἴδη, δεήσει προσθεῖναι τὰ λείποντα εἴδη ἐν ἀμφοτέροις τοῖς μέρεσιν, ἕως ἂν ἑκατέρων τῶν μερῶν τὰ εἴδη ἐνυπάρχοντα γένηται, καὶ πάλιν ἀφελεῖν τὰ ὅμοια ἀπὸ τῶν ὁμοίων, ἕως ἂν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος καταλειφθῇ. Φιλοτεχνείσθω δὲ τοῦτο ἐν ταῖς ὑποστάσεσι τῶν προτάσεων, ἐὰν ἐνδέχηται, ἕως ἂν ἓν εἶδος ἑνὶ εἴδει ἴσον καταλειφθῇ· ὕστερον δέ σοι δείξομεν καὶ πῶς δύο εἰδῶν ἴσων ἑνὶ καταλειφθέντων τὸ τοιοῦτον λύεται. Νῦν δʼ ἐπὶ τὰς προτάσεις χωρήσωμεν ὁδόν, πλείστην ἔχοντες τὴν ἐπʼ αὐτοῖς τοῖς εἴδεσι συνηθροισμένην ὕλην. πλείστων δʼ ὄντων τῷ ἀριθμῷ καὶ μεγίστων τῷ ὄγκῳ, καὶ διὰ τοῦτο βραδέως βεβαιουμένων ὑπὸ τῶν παραλαμβανόντων αὐτὰ καὶ ὄντων ἐν αὐτοῖς δυσμνημονευτῶν, ἐδοκίμασα τὰ ἐν αὐτοῖς ἐπιδεχόμενα διαιρεῖν, καὶ μάλιστα τὰ ἐν ἀρχῇ ἔχοντα στοιχειώδως ἀπὸ ἁπλουστέρων ἐπὶ σκολιώτερα διελεῖν ὡς προσῆκεν.
οὕτως γὰρ εὐόδευτα γενήσεται τοῖς ἀρχομένοις, καὶ ἡ ἀγωγὴ αὐτῶν μνημονευθήσεται, τῆς πραγματείας αὐτῶν ἐν τρισκαίδεκα βιβλίοις γεγενημένης. α. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ. Ἔστω δὴ ὁ δοθεὶς ἀριθμὸς ὁ ρ , ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μ ο μ . εὑρεῖν τοὺς ἀριθμούς. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α · ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μ ομ · συναμφότεροι ἄρα γίνονται 𐅶 α Μ ομ · δέδονται δὲ Μ ο ρ . Μ ἄρα ρ ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β Μ ο μ . καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. ἀφαιρῶ ἀπὸ τῶν ρ , Μ ο μ , [καὶ 〈ἀπὸ〉 τῶν β ἀριθμῶν καὶ τῶν μ μονάδων ὁμοίως μονάδαςμ ·] λοιποὶ 𐅶 β ἴσοι Μ ο ξ . ἕκαστος ἄρα γίνεται 𐅶 , Μ ο λ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο λ , ὁ δὲ μείζων Μ ο ο , καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. β. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν δεῖ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ξ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγω γ πλ . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α .
ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ , καὶ ἔστιν ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος τριπλασίων. δεῖ λοιπὸν τοὺς δύο ἴσους εἶναι Μ οξ · ἀλλʼ οἱ δύο συντεθέντες 𐅶 εἰσι δ . 𐅶 ἄρα δ ἴσοι Μ ο ξ . ὁ 𐅶 ἄρα Μ ο ιε . ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μ ο ιε , ὁ δὲ μείζων Μ ο με . γ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ καὶ ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γ πλ. ᾖ καὶ ἔτι Μ ο δ ὑπερέχῃ. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ μείζων ἄρα 𐅶 γ καὶ Μ οδ · καὶ ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν γ πλ. ἔτι καὶ Μ ο δ ὑπερέχει. λοιπὸν τοὺς δύο θέλω ἴσους εἶναι Μ οπ · ἀλλʼ οἱ δύο συντεθέντες 𐅶 εἰσι δ καὶ Μ ο δ . 𐅶 ἄρα δ καὶ Μ ο δ ἴσοι Μ ο π . καὶ ἀφαιρῶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιπαὶ ἄρα Μ ο οϛ ἴσαι 𐅶 δ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ιθ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ ο ιθ , ὁ δὲ μείζων Μ ο ξα , [προστιθεμένων τῶν δ Μ ο ὧν ἀφεῖλον ἀπὸ τῶν π Μ ο . ἀφεῖλον γὰρ ὥστε εὑρεῖν πόσων Μ ο ἔσται ἕκαστος ἀριθμός, ὕστερον δὲ τῷ μείζονι ἀριθμῷ προστίθημι τὰς δ Μ ο , μετὰ τὸ γνῶναι πόσων ἕκαστος]. δ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν δοθῇ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι ε πλ.
20
, τὴν δὲ ὑπεροχὴν αὐτῶν ποιεῖν Μ ο κ . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 ε . λοιπὸν θέλω 𐅶 ε ὑπερέχειν 𐅶 α , Μ οκ · ἀλλʼ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν ἐστιν 𐅶 δ · οὗτοι ἴσοι Μ ο κ . ἔσται ὁ ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ ο ε , ὁ δὲ μείζων Μ ο κε . καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος ὢν ε πλ. , ἡ δὲ ὑπεροχὴ γίνεται Μ ο κ . ε. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκατέρου τῶν διῃρημένων τὰ δοθέντα μὴ τὰ αὐτὰ μέρη συντεθέντα ποιῇ τὸν δοθέντα ἀριθμόν. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον ἀριθμὸν δίδοσθαι ὥστε εἶναι ἐν τῷ μεταξὺ τόπῳ τῶν γινομένων δύο ἀριθμῶν ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος ληφθῇ τὰ δοθέντα μὴ τὰ αὐτὰ μέρη. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ α ου ἀριθμοῦ γ ον καὶ τὸ τοῦ β ου ε ον ἐπὶ τὸ αὐτὸ συντεθέντα ποιῇ Μ ο λ . Ἔταξα τὸ τοῦ β ου ε ον , 𐅶 α · αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ε · τὸ ἄρα τοῦ α ου γ ον ἔσται Μ ο λ ⩚ 𐅶 α · αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ ο ϙ ⩚ 𐅶 γ . λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ ορ · ἀλλʼ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 β καὶ Μ οϙ · ταῦτα ἴσα Μ ο ρ . καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπαὶ ἄρα Μ ο ι ἴσαι 𐅶 β . [ὁ 𐅶 ἄρα ἔσται Μ ο ε .] ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ β ου ε ον 𐅶 α , ἔσται Μ ο ε , αὐτὸς ἄρα Μ ο κε · τὸ δὲ τοῦ α ου γ ον , Μ ο λ ⩚ 𐅶 α , ἔσται Μ ο κε , αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ ο οε .
καὶ μένει τὸ τοῦ α ου γ ον καὶ τὸ τοῦ β ου ε ον Μ ο λ , [ἅπερ κοινῇ συντεθέντα ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν]. ϛ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ πρώτου μέρος δοθὲν τοῦ τοῦ ἑτέρου μέρους δοθέντος ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ. Δεῖ δὴ τὸν δοθέντα ἀριθμὸν ἐλάσσονα εἶναι τοῦ γινομένου ἀριθμοῦ ἐὰν τοῦ ἐξ ἀρχῆς ἐπιταχθέντος ληφθῇ τὸ δοθὲν μέρος ἐν ᾧ ἐστιν ἡ ὑπεροχή. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς ὅπως τὸ τοῦ α ου δ ον τοῦ τοῦ β ου ϛ ου ὑπερέχῃ Μ ο κ . Ἔταξα τὸ τοῦ β ου ϛ ον , 𐅶 α . αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ϛ · τὸ ἄρα τοῦ α ου δ ον ἔσται 𐅶 α καὶ Μ ο κ , αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 δ καὶ Μ ο π . λοιπὸν θέλω τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ ορ · ἀλλʼ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 ι καὶ Μ οπ · ταῦτα ἴσα Μ ο ρ . ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν 𐅶 ι ἴσοι Μ ο κ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸ τοῦ β ου ϛ ον , 𐅶 α · ἔσται Μ ο β , αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ ο ιβ · τὸ δὲ τοῦ α ου δ ον , 𐅶 α καὶ Μ οκ · ἔσται Μ ο κβ , αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ ο πη . καὶ μένει τὸ τοῦ α ου δ ον τοῦ τοῦ β ου ϛ ου ὑπέρεχον Μ ο κ , [οἵτινες κοινῇ συντεθέντες ποιοῦσι τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν]. ζ.
Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν τὸν ρ καὶ τὸν κ , καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γ πλ. Τετάχθω ὁ ζητούμενος 𐅶 α · κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ , λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μ ορ · ἐὰν δὲ τὸν κ , λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μ ο κ . καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γ πλ. · τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, τρὶς δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ ⩚ Μ ο τ . ταῦτα ἴσα 𐅶 α ⩚ Μ ο κ . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις· γίνεται 𐅶 γ ἴσοι 𐅶 α καὶ Μ ο σπ . καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιπὸν 𐅶 β ἴσοι Μ ο σπ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ρμ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν ζητούμενον ἀριθμὸν 𐅶 α , ἔσται ἄρα Μ ο ρμ . κᾂν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω τὸν ρ , λοιπαὶ Μ ομ · ἐὰν δὲ τὸν κ , λοιπαὶ Μ ο ρκ . καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια. η. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον ἐλάσσονα εἶναι τοῦ λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσσονα. Ἐπιτετάχθω δὴ τῷ ρ καὶ τῷ κ προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γ πλ. . Τετάχθω ὁ προστιθέμενος ἑκατέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α .
κᾂν μὲν τῷ ρ προστεθῇ, ἔσται 𐅶 α Μ ο ρ ἐὰν δὲ τῷ κ , γίνεται 𐅶 α Μ ο κ . καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γ πλ. · τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἔσται τοῖς μείζοσι. τρὶς δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ Μ οξ · ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μ ο ρ . ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 β ἴσοι Μ ο μ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο κ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον ἑκατέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α , ἔσται Μ ο κ . κἂν μὲν τῷ ρ προστεθῇ, γίνονται Μ ο ρκ · ἐὰν δὲ τῷ κ , γίνονται Μ ο μ . καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια. θ. Ἀπὸ δοθέντων δύο ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τοὺς λοιποὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον. Δεῖ δὴ τὸν διδόμενον λόγον μείζονα εἶναι τοῦ λόγου οὗ ἔχει ὁ μείζων τῶν δοθέντων πρὸς τὸν ἐλάσσονα. Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ κ καὶ τοῦ ρ ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ϛ πλ. Τετάχθω ὁ ἀφαιρούμενος ἀφʼ ἑκατέρου ἀριθμοῦ, 𐅶 α . κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μ ο ρ ⩚ 𐅶 α · ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ , λοιπαὶ Μ ο κ ⩚ 𐅶 α . καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι ϛ πλ. · ϛ κις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσιν, ϛ κις δὲ τὰ ἐλάσσονα ποιεῖ Μ ο ρκ ⩚ 𐅶 ϛ · ταῦτα ἴσα Μ ο ρ ⩚ 𐅶 α . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 ε ἴσοι Μ ο κ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο δ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις.
ἔταξα τὸν ἀφαιρούμενον ἀφʼ ἑκατέρου ἀριθμοῦ 𐅶 α , ἔσται Μ ο δ . κᾂν μὲν ἀπὸ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, λοιπαὶ Μ ο ϙϛ · ἐὰν δὲ ἀπὸ τοῦ κ , λοιπαὶ Μ ο ιϛ . καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα ἑξαπλάσια. ι. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς, τῷ μὲν ἐλάσσονι αὐτῶν προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ μείζονος ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὸν γενόμενον πρὸς τὸν λοιπὸν λόγον ἔχειν δεδομένον. Ἐπιτετάχθω τῷ μὲν κ προσθεῖναι, ἀπὸ δὲ τοῦ ρ ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων δ πλ. Τετάχθω ὁ προστιθέμενος καὶ ἀφαιρούμενος ἑκατέρῳ ἀριθμῷ 𐅶 α . κᾂν μὲν τῷ κ προστεθῇ, γίνεται 𐅶 α Μ οκ · ἐὰν δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῇ, γίνεται Μ ο ρ ⩚ 𐅶 α . καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι δ πλ. · δ κις ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, δ κις δὲ τὰ ἐλάσσονα γίνεται Μ ο υ ⩚ 𐅶 δ · ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μ ο κ . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. λοιποὶ 𐅶 ε ἴσοι Μ ο τπ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο οϛ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν προστιθέμενον καὶ ἀφαιρούμενον ἀφʼ ἑκατέρου ἀριθμοῦ 𐅶 α , ἔσται Μ ο οϛ . κᾂν μὲν τῷ κ Μ ο οϛ προστεθῶσι, γίνονται Μ ο ϙϛ · ἐὰν δὲ τοῦ ρ ἀφαιρεθῶσι, λοιπαὶ Μ ο κδ . καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων ὄντα τετραπλάσια. ια.
30
Δύο δοθέντας ἀριθμοὺς ὃν μὲν προσθεῖναι, τὸν δὲ ἕτερον ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ, καὶ ποιεῖν τοὺς γενομένους πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχειν δεδομένον. Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν κ προσθεῖναι, τὸν δὲ ρ ἀφελεῖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ καὶ ποιεῖν τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων γ πλ. . Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α . κᾂν μὲν τούτῳ προσθῶμεν Μ ο κ , γίνεται 𐅶 α Μ οκ · ἐὰν δὲ ἀπὸ τούτου ἀφαιρεθῶσι Μ ο ρ , λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μ ο ρ . καὶ δεήσει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων εἶναι γ πλ. · τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι. ἀλλὰ τρὶς τὰ ἐλάσσονα γίνεται 𐅶 γ ⩚ Μ ο τ . 𐅶 ἄρα γ ⩚ Μ ο τ ἴσα ἐστὶ 𐅶 α Μ ο κ . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Μ ο τκ ἄρα ἴσα εἰσὶν 𐅶 β , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ρξ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μ ο ρπ , ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο ξ . καὶ μένει τὰ μείζονα τῶν ἐλασσόνων τριπλάσια. ιβ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς δίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς δίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως ᾖ β πλ.
, ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως ᾖ γ πλ. . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων ὁ ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως ἔσται 𐅶 β · ὁ ἐλάσσων ἄρα τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως ἔσται Μ ο ρ ⩚ 𐅶 β · καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ τριπλασίων ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως, ἔσται Μ ο τ ⩚ 𐅶 ϛ . λοιπόν ἐστι καὶ τοὺς τῆς β ας διαιρέσεως συντεθέντας ποιεῖν Μ ορ · ἀλλὰ συντεθέντες ποιοῦσι Μ ο τ ⩚ 𐅶 ε · ταῦτα ἴσα Μ ο ρ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο μ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν μείζονα τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως 𐅶 β , ἔσται Μ οπ · τὸν δὲ ἐλάσσονα 〈τῶν ἐκ〉 τῆς αὐτῆς διαιρέσεως Μ ο ρ ⩚ 𐅶 β , ἔσται Μ οκ · τὸν δὲ μείζονα τὸν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως Μ ο τ ⩚ 𐅶 ϛ , ἔσται Μ οξ · τὸν δὲ ἐλάσσονα τὸν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως 𐅶 α , ἔσται Μ ο μ . καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. ιγ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς τρίς, ὅπως ὁ εἷς τῶν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον, ὁ δὲ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς δευτέρας διαιρέσεως πρὸς ἕνα τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἔτι ὁ λοιπὸς τῶν ἐκ τῆς τρίτης διαιρέσεως πρὸς τὸν λοιπὸν τὸν ἐκ τῆς πρώτης διαιρέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς τρίς, ὅπως ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς β ας ᾖ γ πλ.
, ὁ δὲ μείζων τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς γ ης ᾖ β πλ. , καὶ ἔτι ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γ ης διαιρέσεως τοῦ ἐλάσσονος τῶν ἐκ τῆς α ης ᾖ δ πλ. . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γ ης διαιρέσεως 𐅶 β · καὶ ὁ ἄρα μείζων τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως ἔσται 𐅶 β . καὶ ἐπεὶ ὅλη ἡ διαίρεσίς ἐστι Μ ο ρ , ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως ἔσται Μ ο ρ ⩚ 𐅶 β . καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ γ πλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως, ἔσται Μ ο τ ⩚ 𐅶 ϛ · ὁ ἄρα ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως ἔσται 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο ς . καὶ ἐπεί ἐστιν αὐτοῦ δ πλ. ὁ μείζων τῶν ἐκ τῆς γ ης διαιρέσεως, ἔσται 𐅶 κδ ⩚ Μ ο ω . λοιπόν ἐστι καὶ τὴν γ ην διαίρεσιν συντεθεῖσαν ποιεῖν Μ ορ · ἀλλὰ συντεθεῖσα ποιεῖ 𐅶 κε ⩚ Μ ο ω . ταῦτα ἴσα Μ ο ρ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο λϛ . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς γ ης διαιρέσεως Μ ο λϛ , ὁ δὲ μείζων ξδ . ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς α ης διαιρέσεως Μ ο ιϛ , ὁ δὲ μείζων πδ . ὁ δὲ ἐλάσσων τῶν ἐκ τῆς β ας διαιρέσεως 〈Μ ο 〉 κη , ὁ δὲ μείζων οβ . καὶ δῆλον ὡς ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιδ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχῃ δεδομένον. Δεῖ δὴ τὸ ὑποτιθέμενον πλῆθος τῶν μονάδων ἑνὸς τῶν ἀριθμῶν μεῖζον εἶναι τοῦ ὁμωνύμου τοῦ διδομένου λόγου.
Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς τὸν ἐκ τῆς συνθέσεως λόγον ἔχειν γ πλ. · Τετάχθω ὁ μὲν εἷς αὐτῶν 𐅶 α , ὁ δὲ ἕτερος, κατὰ τὸν προσδιορισμόν, πλείων Μ ογ · ἔστω Μ ο ιβ . καὶ ἔστι τὸ μὲν ὑπʼ αὐτῶν 𐅶 ιβ , ἡ δὲ σύνθεσις αὐτῶν 𐅶 α Μ ο ιβ . λοιπόν ἐστιν 𐅶 ιβ γ πλ. εἶναι 𐅶 α Μ ο ιβ · τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα [ἐστὶ] τοῖς μείζοσι· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο δ . ἔσται ὁ μὲν αὐτῶν Μ ο δ , ὁ δὲ Μ ο ιβ . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος παρὰ θατέρου λαβὼν τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμόν, λόγον ἔχῃ πρὸς τὸν ὑπολειφθέντα τὸν ἐπιταχθέντα. Ἐπιτετάχθω δῂ τὸν μὲν α ον παρὰ τοῦ β ου λαβόντα Μ ο λ , γίνεσθαι αὐτοῦ β πλ. , τὸν δὲ β ον παρὰ τοῦ α ου λαβόντα Μ ο ν , γίνεσθαι αὐτοῦ γ πλ. . Τετάχθω ὁ β ος 𐅶 α καὶ ὧν δίδωσι Μ ολ · ὁ ἄρα α ος ἔσται 𐅶 β ⩚ Μ ο λ , ἵνα λαβὼν παρὰ τοῦ β ου τὰς Μ ο λ , γίνηται β πλ. αὐτοῦ. λοιπόν ἐστιν καὶ τὸν β ον παρὰ τοῦ α ου λαβόντα Μ ο ν , γίνεσθαι αὐτοῦ γ πλ. · ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ α ος Μ ο ν , λοιπὸν ἔχει 𐅶 β ⩚ Μ οπ · λαβὼν δὲ αὖ ὁ β ος τὰς Μ ο ν , γίνεται 𐅶 α Μ ο π . λοιπόν ἐστιν 𐅶 α Μ ο π γ πλ. εἶναι 𐅶 β ⩚ Μ οπ · τρὶς ἄρα τὰ ἐλάσσονα ἴσα ἐστὶ τοῖς μείζοσι, καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ξδ . καὶ ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο ϙη , ὁ δὲ β ος Μ ο ϙδ . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιϛ.
Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τῶν ἐπιταττομένων τριῶν τὸ ἥμισυ μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α ον μετὰ τοῦ β ου συντεθέντας ποιεῖν Μ ο κ , τὸν δὲ β ον μετὰ τοῦ γ ου ποιεῖν Μ ο λ , τὸν δὲ γ ον μετὰ τοῦ α ου ποιεῖν Μ ο μ . Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 α . καὶ ἐπεὶ ὁ α ος καὶ ὁ β ος ποιοῦσι Μ ο κ , ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 α ἀφέλω Μ ο κ , ἕξω τὸν γ ον 𐅶 α ⩚ Μ οκ · διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν α ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο λ , ὁ δὲ β ος 𐅶 α ⩚ Μ ομ · λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἀριθμοὺς γίνεσθαι ἴσους 𐅶 α · ἀλλʼ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ ⩚ Μ οϙ · ταῦτα ἴσα 𐅶 α · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο με . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο ιε , ὁ δὲ β ος Μ ο ε , ὁ δὲ γ ος Μ ο κε . καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. ιζ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως σὺν τρεῖς συντιθέμενοι ποιῶσι τοὺς ἐπιταχθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τῶν τεσσάρων τὸ τρίτον μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν. Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ α ου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας ποιεῖν Μ ο κ , τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ β ου τρεῖς ποιεῖν Μ ο κβ , τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γ ου τρεῖς ποιεῖν Μ ο κδ , τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ δ ου τρεῖς ποιεῖν Μ ο κζ . Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες 𐅶 α . καὶ ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 α ἀφέλω τοὺς α ους τρεῖς. τουτέστι Μ ο κ , λοιπὸν ἕξω τὸν δ ον 𐅶 α ⩚ Μ οκ · διὰ τὰ αὐτὰ καὶ ὁ μὲν α ος [ἔσται] 𐅶 α ⩚ Μ ο κβ , ὁ δὲ β ος 𐅶 α ⩚ Μ ο κδ , ὁ δὲ γ ος 𐅶 α ⩚ Μ ο κζ .
40
λοιπόν ἐστι τοὺς δ συντεθέντας ἀριθμοὺς ἴσους γίνεσθαι 𐅶 α . ἀλλʼ οἱ δ συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 δ ⩚ Μ ο ϙγ · ταῦτα ἴσα 𐅶 α . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο λα . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο θ , ὁ δὲ β ος Μ ο ζ , ὁ δὲ γ ος Μ ο δ , ὁ δὲ δ ος Μ ο ια . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ιη. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως σὺν δύο λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσι τῷ ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α ον καὶ τὸν β ον τοῦ γ ου ὑπερέχειν Μ ο κ , τὸν δὲ β ον καὶ τὸν γ ον τοῦ α ου ὑπερέχειν Μ ο λ , τὸν δὲ γ ον καὶ τὸν α ον τοῦ β ου ὑπερέχειν Μ ο μ . Τετάχθωσαν οἱ τρεῖς 𐅶 β . καὶ ἐπεὶ ὁ α ος καὶ ὁ β ος τοῦ γ ου ὑπερέχουσιν Μ ο κ , κοινοῦ προστεθέντος τοῦ γ ου , οἱ τρεῖς, δίς ἐστιν ὁ γ ος καὶ ἡ ὑπεροχὴ Μ ο κ . ἐὰν ἄρα ἀπὸ τῶν τριῶν, τουτέστιν 𐅶 β , ἀφέλω Μ ο κ , ἕξω δὶς τὸν γ ον 𐅶 β ⩚ Μ οκ · ἅπαξ ἄρα ὁ γ ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ι . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν α ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ιε , ὁ δὲ β ος 𐅶 α ⩚ Μ ο κ . λοιπόν ἐστιν τοὺς τρεῖς ἴσους εἶναι 𐅶 β · ἀλλʼ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ ⩚ Μ ο με · ταῦτα ἴσα 𐅶 β . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο με . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο λ , ὁ δὲ β ος Μ ο κε , ὁ δὲ γ ος λε . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. [Ἄλλως.
] Ἐπεὶ ὁ α ος καὶ ὁ β ος τοῦ γ ου ὑπερέχουσι Μ ο κ , ἔστω ὁ γ ος 𐅶 α · συναμφότερος ἄρα ὅ τε α ος καὶ ὁ β ος ἔσται 𐅶 α Μ ο κ . πάλιν ἐπεὶ ὁ β ος καὶ ὁ γ ος τοῦ α ου ὑπερέχουσι Μ ο λ , τάσσω τὸν β ον τοσούτων Μ ο ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τοῦ τε κ καὶ λ , τουτέστι Μ ο κε · καὶ ἐπεὶ ὁ α ος καὶ ὁ β ος ἐστιν 𐅶 α Μ ο κ , ὧν ὁ β ος ἐστιν Μ ο κε , λοιπὸς ἄρα ὁ α ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ε . λοιπὸν δεῖ καὶ τὸν γ ον μετὰ τοῦ α ου , τοῦ β ου ὑπερέχειν Μ ομ · ἀλλὰ ὁ α ος μετὰ τοῦ γ ου ἐστὶν 𐅶 β ⩚ Μ οε · ἴσοι ἄρα εἰσὶ Μ ο ξε . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις. 𐅶 ἄρα β ἴσοι Μ ο ο . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο λε . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν α ον , 𐅶 α ⩚ Μ οε · ἔσται Μ ολ · τὸν δὲ β ον Μ ο κε · τὸν δὲ γ ον 𐅶 α · ἔσται Μ ο λε . ιθ. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως οἱ τρεῖς λαμβανόμενοι τοῦ λοιποῦ ὑπερέχωσιν ἐπιταχθέντι ἀριθμῷ. Δεῖ δὴ τῶν ἐκ τῆς ὑπεροχῆς τεσσάρων τὸ ἥμισυ μεῖζον εἶναι ἑκάστου αὐτῶν. Ἐπιτετάχθω δὴ τοὺς μὲν ἀπὸ τοῦ α ου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ δ ου ὑπερέχειν Μ ο κ , τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ β ου τρεῖς τοῦ α ου ὑπερέχειν Μ ο λ , τοὺς δὲ ἀπὸ τοῦ γ ου τρεῖς ὁμοίως τοῦ β ου ὑπερέχειν Μ ο μ , καὶ ἔτι τοὺς ἀπὸ τοῦ δ ου τρεῖς κατὰ τὸ ἑξῆς συντεθέντας τοῦ γ ου ὑπερέχειν Μ ο ν . Τετάχθωσαν οἱ τέσσαρες 𐅶 β . καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ α ου τρεῖς τοῦ δ ου ὑπερέχουσι Μ ο κ , ᾧ δὲ ὑπερέχουσιν οἱ α ου τρεῖς τοῦ δ ου , τούτῳ ὑπερέχουσι καὶ οἱ τέσσαρες, δὶς τοῦ δ ου , καί εἰσιν οἱ τέσσαρες, 𐅶 β , 𐅶 ἄρα β , δὶς τοῦ δ ου ὑπερέχουσι Μ οκ · ὁ ἄρα β πλ.
τοῦ δ ου ἔσται 𐅶 β ⩚ Μ ο κ , αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ι . διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ὁ μὲν α ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ιε , ὁ δὲ β ος 𐅶 α ⩚ Μ ο κ , καὶ ἔτι ὁ γ ος 𐅶 α ⩚ Μ ο κε . λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας ἴσους εἶναι 𐅶 β · ἀλλʼ οἱ τέσσαρές εἰσιν 𐅶 δ ⩚ Μ οο · ταῦτα ἴσα 𐅶 β · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο λε . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο κ , ὁ δὲ β ος Μ ο ιε , ὁ δὲ γ ος Μ ο ι , ὁ δὲ δ ος Μ ο κε . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. [Ἄλλως.] Ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ α ου τρεῖς τοῦ δ ου ὑπερέχουσι Μ ο κ , τετάχθω ὁ δ ος 𐅶 α · οἱ τρεῖς ἄρα ἔσονται 𐅶 α Μ ο κ . πάλιν ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ β ου τρεῖς τοῦ α ου ὑπερέχουσι Μ ο λ , τετάχθω συναμφότερος ὅ τε β ος καὶ ὁ γ ος Μ ο τοσούτων ὅσων ἐστὶν ὁ ἥμισυς τῶν δύο ὑπεροχῶν, (λέγω δὴ τοῦ κ καὶ τοῦ λ ) τουτέστι Μ ο κε . καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ α ου τρεῖς εἰσιν 𐅶 α Μ ο κ , ὧν ὁ β ος καὶ ὁ γ ος Μ ο κε , λοιπὸς ἄρα ὁ α ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ε . καὶ ἐπεὶ οἱ ἀπὸ τοῦ β ου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ α ου Μ ο λ , οἱ δὲ ἀπὸ τοῦ γ ου τρεῖς ὑπερέχουσι τοῦ β ου Μ ο μ , συναμφότερος ἄρα ὁ γ ος καὶ ὁ δ ος ἔσται Μ ο λε · λοιπὸς ἄρα ὁ γ ος ἔσται Μ ο λε ⩚ 𐅶 α . ἔστι δὲ καὶ ὁ β ος καὶ ὁ γ ος Μ ο κε , ὧν ὁ γ ος Μ ο λε ⩚ 𐅶 α · λοιπὸς ἄρα ὁ β ος ἔσται 𐅶 α ⩚ Μ ο ι . λοιπόν ἐστι τοὺς ἀπὸ τοῦ δ ου τρεῖς τοῦ γ ου ὑπερέχειν Μ ον · ἀλλʼ οἱ τρεῖς συντεθέντες ποιοῦσιν 𐅶 γ ⩚ Μ ο ιε , ὁ δὲ γ ος ἐστὶ Μ ο λε ⩚ 𐅶 α .
δεῖ δὴ καὶ 𐅶 γ ⩚ Μ ο ιε ὑπερέχειν Μ ο λε ⩚ 𐅶 α , Μ ο ν , ὥστε Μ πε ⩚ 𐅶 α ἴσαι εἰσὶν 𐅶 γ ⩚ Μ ο ιε , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο κε . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν α ον 𐅶 α ⩚ Μ οε · ἔσται Μ οκ · ὁ δὲ β ος ὁμοίως Μ ο ιε , ὁ δὲ γ ος Μ ο ι , ὁδὲ δ ος Μ ο κε . κ. Τὸν ἐπιταχθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἑκάτερος τῶν ἄκρων προσλαβὼν τὸν μέσον πρὸς τὸν λοιπὸν τῶν ἄκρων λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ρ διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ α ος καὶ ὁ β ος τοῦ γ ου ᾖ γ πλ. , ὁ δὲ β ος καὶ ὁ γ ος τοῦ α ου ᾖ δ πλ. . Τετάχθω ὁ γ ος 𐅶 α · καὶ ἐπεὶ ὁ α ος καὶ ὁ β ος τοῦ γ ου ἐστὶ γ πλ. , τετάχθωσαν οἱ δύο 𐅶 γ . οἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν 𐅶 δ · οὗτοι ἴσοι Μ ορ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο κε . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔταξα τὸν γ ον 𐅶 α · ἔσται Μ ο κε · τὸν δὲ α ον καὶ τὸν β ον 𐅶 γ · ἔσονται Μ ο οε . πάλιν ἐπεὶ ὁ β ος καὶ ὁ γ ος τοῦ α ου εἰσὶ δ πλ. , τετάχθω ὁ α ος 𐅶 α . ἔσται ἄρα ὁ β ος καὶ ὁ γ ος 𐅶 δ · οἱ τρεῖς ἄρα εἰσὶν 𐅶 ε , ἀλλὰ καὶ Μ ορ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 , Μ ο κ . ἔσται ἄρα ὁ α ος Μ οκ · ὁ δὲ β ος καὶ ὁ γ ος Μ ο π , ὧν ὁ γ ος Μ ο κε , λοιπὸς ἄρα ὁ β ος ἔσται Μ ο νε . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κα. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ μέγιστος τοῦ μέσου ὑπερέχῃ τῷ τοῦ ἐλαχίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ μέσος τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχῃ τῷ τοῦ μεγίστου δοθέντι μέρει, ὁ δὲ ἐλάχιστος δοθέντι ἀριθμῷ τοῦ τοῦ μέσου δοθέντος μέρους.
Δεῖ δὴ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου τοσούτῳ μέρει τοῦ μεγίστου ὑπερέχειν, ὥστε τὸν ὁμώνυμον τοῦ τοιούτου μέρους ἐπὶ τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου πρὸς τὸν ἐλάχιστον πολλαπλασιαζόμενον ποιεῖν ἐν αὐτῷ πλῆθος ἀριθμῶν πλεῖον ἢ ἐν τῷ μέσῳ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γ ῳ μέρει, τὸν δὲ μέσον τοῦ ἐλαχίστου τῷ τοῦ μεγίστου γ ῳ μέρει, τὸν δὲ ἐλάχιστον ὑπερέχειν Μ ο ι τοῦ τοῦ μέσου γ ον μέρους. Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων 𐅶 α καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ τοῦ μέσου γ ον , Μ οι · ὁ ἄρα μέσος ἔσται 𐅶 γ , ἵνα ἔχῃ ὁ ἐλάχιστος τὸ γ ον τοῦ μέσου καὶ Μ ο ι . ἢ καὶ οὕτως· τετάχθω ὁ μέσος 𐅶 γ · καὶ ἐπεὶ θέλω τὸν ἐλάχιστον ὑπερέχειν τοῦ γ ου μέρους αὐτοῦ τοῦ μέσου, Μ ο ι , ἔσται 𐅶 α καὶ Μ ο ι . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν μέσον τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχειν τῷ τοῦ α ου γ ῳ μέρει· ἀλλʼ ὁ μέσος τοῦ ἐλαχίστου ὑπερέχει 𐅶 β ⩚ Μ οι · ταῦτα ἄρα γ ον μέρος ἐστὶ τοῦ μεγίστου· αὐτὸς ἄρα ὁ μέγιστος ἔσται 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο λ . δεήσει ἄρα καὶ τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γ ῳ μέρει· ἀλλὰ ὁ μέγιστος τοῦ μέσου ὑπερέχει 𐅶 γ ⩚ Μ ο λ . ταῦτα ἄρα γ ον ἐστὶ μέρος τοῦ ἐλαχίστου· ὁ ἄρα ἐλάχιστος ἔσται 𐅶 θ ⩚ Μ οϙ · ἀλλὰ καὶ 𐅶 α Μ ο ι ηὑρέθη· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ιβ 𐅵 ʹ. ἔσται ἄρα ὁ μὲν γ ος Μ ο κβ 𐅵 ʹ, ὁ δὲ μέσος Μ ο λζ 𐅵 ʹ, ὁ δὲ μέγιστος Μ ο με , καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. [Ἄλλως.
50
] Εὑρεῖν κ. τ. ἑ. Δεῖ δὴ τὸ διδόμενον τοῦ μεγίστου μέρος τηλικοῦτον δίδοσθαι, ὥστε προστιθέμενον τῷ ἐλαχίστῳ, ποιεῖν τοὺς ἐν αὐτῷ ἀριθμοὺς ἐλάσσονας τῶν ἐξ ἀρχῆς λαμβανομένων τοῦ μέσου. Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α καὶ ὧν ὑπερέχει τοῦ τοῦ μέσου γ ου μέρους, Μ οι · ἔσται ἄρα ὁ μέσος 𐅶 γ , ἵνα ὑπερέχῃ ὁ ἐλάχιστος Μ ο ι τοῦ τοῦ μέσου γ ου μέρους. πάλιν ἐπεὶ θέλω τὸν μέγιστον τοῦ μέσου ὑπερέχειν τῷ τοῦ ἐλαχίστου γ ῳ μέρει, ἐὰν προσθῶ τῷ μέσῳ τὸ τοῦ ἐλαχίστου γ ου μέρος, ἕξω τὸν μέγιστον 𐅶 γ γ Μ ο γ γ . λοιπὸν δεῖ [καὶ] τὸν μέσον ἴσον εἶναι τῷ ἐλαχίστῳ καὶ τῷ τοῦ μεγίστου γ ῳ μέρει· ἀλλʼ ὁ ἐλάχιστος μετὰ τοῦ γ ου μέρους τοῦ μεγίστου, 𐅶 εἰσιν β θ καὶ Μ ο ια θ . ταῦτα ἴσα τοῖς τοῦ μέσου 𐅶 γ . ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. 𐅶 ἄρα α ⩚ θ ἴσος ἐστὶ Μ ο ια θ . πάντα θ κις . 𐅶 ἄρα η ἴσοι Μ ο ρ . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ιβ 𐅵 ʹ. καὶ ἡ αὐτὴ ἀπόδειξις τῇ ἐπάνω. κβ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ διδῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α ον τῷ β ῳ διδόναι ἑαυτοῦ τὸ γ ον , τὸν δὲ β ον τῷ γ ῳ τὸ δ ον , καὶ ἔτι τὸν γ ον τῷ α ῳ τὸ ε ον , καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν.
Τετάχθω ὁ α ος , 𐅶 τινων γ ον ἐχόντων μέρος, ἐπεὶ γ ον δίδωσιν· ἔστω δὴ καὶ 𐅶 γ . ὁ δὲ β ος , Μ ο τινῶν δ ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δ ον δίδωσιν· ἔστω δὴ Μ ο δ , καὶ μὴν δὴ ὁ β ος δοὺς καὶ λαβὼν γίνεται 𐅶 α Μ ο γ . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν α ον δόντα καὶ λαβόντα γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ γ ον , 𐅶 α , λαβὼν δὲ Μ ο γ ⩚ 𐅶 α , γίνεται 𐅶 α Μ ο γ . Μ ο ἄρα γ ⩚ 𐅶 α , ε ον μέρος εἰσὶ τοῦ γ ου · αὐτὸς ἄρα ἐστὶ Μ ο ιε ⩚ 𐅶 ε . δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ ον , δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ ε ον , λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ β ου τὸ δ ον , Μ ο α , γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ ε ον , Μ ο γ ⩚ 𐅶 α , λοιπός ἐστι Μ ο ιβ ⩚ 𐅶 δ · λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ β ου τὸ δ ον , Μ ο α , γίνεται Μ ο ιγ ⩚ 𐅶 δ . ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μ ογ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο ϛ , ὁ δὲ β ος Μ ο δ , ὁ δὲ γ ος Μ ο ε . καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως. κγ.
Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω τὸν μὲν α ον τῷ β ῳ διδόναι τὸ γ ον , τὸν δὲ β ον τῷ γ ῳ τὸ δ ον , τὸν δὲ γ ον τῷ δ ῳ τὸ ε ον , καὶ ἔτι τὸν δ ον τῷ α ῳ τὸ ϛ ον , καὶ γίνεσθαι ἴσους μετὰ τὴν ἀντίδοσιν. Τετάχθω ὁ μὲν α ος , 𐅶 τινων γ ον μέρος ἐχόντων, ἐπεὶ γ ον δίδωσιν· ἔστω 𐅶 γ · ὁ δὲ β ος , Μ ο τινῶν δ ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ δ ον δίδωσιν· ἔστω Μ ο δ . ὁ ἄρα β ος , δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ δ ον , Μ ο α , λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ α ου τὸ γ ον , 𐅶 α , γίνεται 𐅶 α Μ ο γ . δεήσει ἄρα καὶ τὸν α ον , δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ γ ον , 𐅶 α , λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ δ ου τὸ ϛ ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · ἀλλὰ δοὺς μὲν 𐅶 α , λοιποὺς ἔχει 𐅶 β . δεήσει ἄρα λαβόντα αὐτὸν τοῦ δ ου τὸ ϛ ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · Μ ο ἄρα γ ⩚ 𐅶 α , ϛ ον μέρος εἰσὶ τοῦ δ ου · αὐτὸς ἄρα ὁ δ ος ἔσται Μ ο ιη ⩚ 𐅶 ϛ . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν δ ον , δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ ϛ ον , λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ γ ου τὸ ε ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ ϛ ον , Μ ο γ ⩚ 𐅶 α , λοιπός ἐστι Μ ο ιε ⩚ 𐅶 ε . δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ τοῦ γ ου ε ον γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · ἀλλὰ ἐὰν λάβῃ 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο ιβ , γίνεται 𐅶 α Μ ο γ , ὥστε 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο ιβ, ε ον μέρος εἰσὶ τοῦ γ ου · αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 λ ⩚ Μ ο ξ . δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ ον , δόντα μὲν ἑαυτοῦ τὸ ε ον , λαβόντα δὲ παρὰ τοῦ β ου τὸ δ ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · ἀλλὰ δοὺς μὲν ἑαυτοῦ τὸ ε ον , 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο ιβ , λοιποὺς ἔχει 𐅶 κδ ⩚ Μ ο μη · λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ β ου τὸ δ ον , γίνεται 𐅶 κδ ⩚ Μ ο μζ .
ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μ ογ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ν κγ ων . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν α ος ρν , ὁ δὲ β ος ϙβ , ὁ δὲ γ ος ρκ , ὁ δὲ δ ος ριδ · περιῃρήσθω τὸ μόριον· ἔσται δηλαδὴ ὁ μὲν α ος Μ ο ρν , ὁ δὲ β ος ϙβ , ὁ δὲ γ ος ρκ , ὁ δὲ δ ος ριδ . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κδ. Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λάβῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γ ον , τὸν δὲ β ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ δ ον , τὸν δὲ γ ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ ε ον , καὶ γίνεσθαι ἴσους. Τετάχθω ὁ α ος 𐅶 α · οἱ δὲ λοιποὶ δύο, Μ ο τινῶν τοῦ προχείρου ἕνεκεν γ ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γ ον διδόασιν· ἔστω Μ ο γ . οἱ ἄρα τρεῖς ἔσονται 𐅶 α Μ ο γ , καὶ μένει ὁ α ος λαβὼν παρὰ τῶν λοιπῶν δύο τὸ γ ον , 𐅶 α Μ ο α . δεήσει ἄρα καὶ τὸν β ον παρὰ τῶν 〈λοιπῶν〉 δύο ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δ ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ οα · πάντα δ κις · δ κις ἄρα ὁ β ος προσλαβὼν τοὺς δύο, τρίς ἐστιν ὁ β ος προσλαβὼν τοὺς τρεῖς· τρὶς ἄρα ὁ β ος προσλαβὼν τοὺς τρεῖς γίνεται 𐅶 δ Μ οδ · ἐὰν ἄρα ἀπὸ τούτων ἀφέλω τοὺς τρεῖς, λοιποὶ 𐅶 γ Μ ο α τρίς ἐστιν ὁ β ος · αὐτὸς ἄρα ὁ β ος ἔσται· 𐅶 α Μ ο γ .
δεήσει ἄρα καὶ τὸν γ ον παρὰ τῶν λοιπῶν δύο ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ ε ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ οα · πάντα ὁμοίως ε κις . καὶ συνάγεται διὰ τῶν ὁμοίων ὁ γ ος 𐅶 α Μ ο 𐅵 ʹ. λοιπόν ἐστι τοὺς τρεῖς συντεθέντας ἴσους γενέσθαι 𐅶 α Μ ογ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιγ ιβ ων · καὶ ἀφαιρουμένου τοῦ μορίου, ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο ιγ , ὁ δὲ β ος Μ ο ιζ , ὁ δὲ γ ος Μ ο ιθ . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κε. Εὑρεῖν τέσσαρας ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνῃ μέρος τὸ ἐπιταχθέν, καὶ γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν α ον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνειν τὸ γ ον , τὸν δὲ β ον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς τὸ δ ον , τὸν δὲ γ ον ὁμοίως τὸ ε ον , τὸν δὲ δ ον τὸ ϛ ον , καὶ γίνεσθαι ἴσους. Τετάχθω ὁ α ος 𐅶 α · οἱ δὲ λοιποὶ τρεῖς Μ ο τινῶν γ ον μέρος ἐχουσῶν, ἐπεὶ γ ον διδόασιν· ἔστωσαν Μ ο γ . ὁ ἄρα α ος παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαμβάνων τὸ γ ον , γίνεται 𐅶 α Μ ο α . δεήσει ἄρα καὶ τὸν β ον παρὰ τῶν λοιπῶν τριῶν ὡς ἑνὸς λαβόντα τὸ δ ον , γίνεσθαι 𐅶 α Μ ο α .
60
πάντα πάλιν ὁμοίως δ κις · καὶ συνάγεται διὰ τῶν αὐτῶν, ὁ μὲν β ος 𐅶 α Μ ο γ ʹ, ὁ δὶ γος 𐅶 α Μ ο 𐅵 ʹ, ὁ δὲ δ ος 𐅶 α Μ ο γ ε ων . λοιπόν ἐστι τοὺς τέσσαρας συντεθέντας ἴσους γίνεσθαι 𐅶 α Μ ογ · καὶ συνάγεται ὁ 𐅶 Μ ο μζ , ἐν μορίῳ μονάδος ϙ ῳ . ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο μζ , ὁ δὲ β ος Μ οζ , ὁ δὲ γ ος Μ ο ϙβ , ὁ δὲ δ ος Μ ο ρα . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κϛ. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ἑκάτερον πολλαπλασιάσας ποιῇ ὃν μὲν τετράγωνον, ὃν δὲ πλευρὰν τοῦ τετραγώνου. Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε ς καὶ ὁε · καὶ ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α . κᾂν μὲν ἐπὶ τὰς ς Μ ο πολλαπλασιασθῇ, ποιεῖ 𐅶 ς , κᾂν δὲ ἐπὶ τὰς Μ ο ε , ποιεῖ 𐅶 ε . δεῖ δὴ τούτων τὸν μὲν εἶναι τετράγωνον, τὸν δὲ πλευρὰν αὐτοῦ. ἐὰν τοίνυν τοὺς 𐅶 ε τετραγωνίσω, γίνονται Δ Υ κε ἴσαι 𐅶 ς . πάντα παρὰ 𐅶 · 𐅶 ἄρα κε ἴσοι Μ ο ς . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 , Μ ο η , καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως. κζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τῶν εὑρισκομένων τὸν ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος τοῦ συναμφοτέρου τετράγωνον τοῦ ὑπʼ αὐτῶν ὑπερέχειν τετραγώνῳ.
ἔστι δὲ τοῦτο πλασματικόν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μ ο κ , τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν ποιεῖν Μ ο ϙϛ . Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β . καὶ ἐπεὶ τὸ σύνθεμα αὐτῶν ἐστι Μ ο κ , ἐὰν τοῦτο τέμω δίχα, ἔσται ἑκάτερος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως, τοῦ 𐅵 ʹ τοῦ συνθέματος, Μ ο ι . κᾂν τὸ ἥμισυ τῆς ὑπεροχῆς, τουτέστιν 𐅶 α , ἑνὶ μὲν τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως προσθῶ, τοῦ δὲ λοιποῦ ἀφέλω, μένει πάλιν τὸ σύνθεμα Μ ο κ , ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β . τετάχθω οὖν ὁ μείζων 𐅶 α καὶ Μ ο ι τῶν ἡμίσεων τοῦ συνθέματος· ὁ ἄρα ἐλάσσων ἔσται Μ ο ι ⩚ 𐅶 α . καὶ μένει τὸ μὲν σύνθεμα Μ ο κ , ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ὑπʼ αὐτῶν ποιεῖν Μ ο ϙϛ · ἀλλʼ ὁ ὑπʼ αὐτῶν ἐστι Μ ο ρ ⩚ Δ Υα · ταῦτα ἴσα Μ ο ϙϛ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . ἔσται ἄρα ὁ μὲν μείζων Μ ο ιβ , ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο η . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τοὺς δὶς ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνους τοῦ ἀπὸ συναμφοτέρου αὐτῶν τετραγώνου ὑπερέχειν τετραγώνῳ. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μ ο κ , τὴν δὲ σύνθεσιν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ ο ση . Τετάχθω δὴ ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β .
καὶ ἔστω ὁ μείζων 𐅶 α καὶ Μ ο ι , τῶν ἡμίσεων πάλιν τοῦ συνθέματος, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο ι ⩚ 𐅶 α . καὶ μένει πάλιν τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Μ ο κ , ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β . λοιπόν ἐστι καὶ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ ο ση · ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖ Δ Υ β Μ ο ς . ταῦτα ἴσα Μ ο ση , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μὲν μείζων Μ ο ιβ , ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο η . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κθ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις αὐτῶν καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν σύνθεσιν αὐτῶν ποιεῖν Μ ο κ , τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ ο π . Τετάχθω ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β . ἔσται ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 α Μ ο ι , ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο ι ⩚ 𐅶 α , καὶ μένει πάλιν τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν Μ ο κ , ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 β . λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖν Μ οπ · ἀλλʼ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ἐστὶν 𐅶 μ · ταῦτα ἴσα Μ ο π . καὶ συνάγεται πάλιν ὁ μὲν μείζων Μ ο ιβ, ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο η . καὶ πάλιν ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λ.
Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν καὶ ὁ πολλαπλασιασμὸς ποιῇ δοθέντας ἀριθμούς. Δεῖ δὴ τὸν τετράκις ὑπʼ αὐτῶν μετὰ τοῦ ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ποιεῖν τετράγωνον. ἔστι δὲ καὶ τοῦτο πλασματικόν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν μὲν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ ο δ , τὸν δὲ πολλαπλασιασμὸν Μ ο ϙϛ . Τετάχθω τὸ σύνθεμα αὐτῶν 𐅶 β · ἔχομεν δὲ καὶ τὴν ὑπεροχὴν Μ ο δ . ἔσται ὁμοίως ὁ μείζων 𐅶 α Μ ο β , ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α ⩚ Μ ο β , καὶ μένει τὸ μὲν σύνθεμα αὐτῶν 𐅶 β , ἡ δὲ ὑπεροχὴ Μ ο δ . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν πολλαπλασιασμὸν αὐτῶν ποιεῖν Μ ο ϙϛ · ἀλλʼ ὁ πολλαπλασιασμὸς αὐτῶν ἐστι Δ Υ α ⩚ Μ οδ · ταῦτα ἴσα Μ ο ϙϛ . καὶ γίνεται πάλιν ὁ μὲν μείζων Μ ο ιβ , ὁ δὲ ἐλάσσων Μ ο η . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λα. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντας δεδομένον, ὅπως καὶ ἡ σύνθεσις τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , τὴν δὲ σύνθεσιν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι ε πλ. . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ . λοιπόν ἐστι τὸ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων 〈συναμφοτέρου εἶναι ε πλ. · ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων〉 ποιεῖ Δ Υ ι , τὸ δὲ αὐτῶν σύνθεμα 𐅶 δ · ὥστε Δ Υ ι ε πλ. εἰσιν 𐅶 δ . 𐅶 ἄρα κ ἴσοι εἰσὶ Δ Υ ι , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β .
ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο β , ὁ δὲ μείζων Μ ο ϛ . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. λβ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ἡ σύνθεσις τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , τὸ δὲ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ι πλ. . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ . λοιπὸν θέλω τὸ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ι πλ. · ἀλλὰ τὸ σύνθεμα τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ποιεῖ Δ Υ ι , ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 β . Δ Υ ἄρα ι ι πλ. εἰσιν 𐅶 β . καὶ πάντα παρὰ 𐅶 . 𐅶 ἄρα ι ἴσοι εἰσὶ Μ ο κ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . καὶ ἔσται πάλιν ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο β , ὁ δὲ μείζων Μ ο ϛ . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. λγ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ.
70
, τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι ϛ πλ. . Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ . λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι ϛ πλ. · ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων εἰσὶ Δ Υ η , συναμφότερος δὲ 𐅶 δ . Δ Υ ἄρα η ϛ πλ. εἰσιν 𐅶 δ · 𐅶 ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶ Δ Υη · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο γ . 〈καὶ ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο γ , ὁ δὲ μείζων Μ ο θ .〉 καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λδ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιβ πλ. . Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ . λοιπόν ἐστι καὶ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ιβ πλ. · ἀλλὰ ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ἐστὶ Δ Υη · αὐταὶ ἄρα ιβ πλ. εἰσιν 𐅶 β . 𐅶 ἄρα κδ ἴσοι εἰσὶ Δ Υη · καὶ γίνεται πάλιν ὁ 𐅶 Μ ο γ . καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. [ Πόρισμ α.] Ὁμοίως δὲ διὰ τῶν αὐτῶν εὑρεθήσονται καὶ ἀριθμοὶ δύο πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντες δεδομένον, ὥστε τὸν ὑπʼ αὐτῶν πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχειν δεδομένον, καὶ πάλιν δύο ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχοντες δεδομένον, ὥστε τὸν ὑπʼ αὐτῶν πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχειν δεδομένον.
λε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος πρὸς τὸν μείζονα λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τοῦ μείζονος εἶναι ϛ πλ. . Τετάχθω πάλιν ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 γ . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τοῦ μείζονος εἶναι ϛ πλ. · ἀλλʼ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονός ἐστι Δ Υα · Δ Υ ἄρα α ϛ πλ. ἐστὶν 𐅶 γ . 𐅶 ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶ Δ Υα · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ιη . ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο ιη , ὁ δὲ μείζων Μ ο νδ . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς αὐτὸν τὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μὲν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος ϛ πλ. . Ἔσται ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 γ , ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α , καὶ μένει ὁ μείζων τοῦ ἐλάσσονος γ πλ.
. λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον αὐτοῦ τοῦ ἐλάσσονος εἶναι ϛ πλ. · Δ Υ ἄρα α ϛ πλ. ἐστὶν 𐅶 α . 𐅶 ἄρα ϛ ἴσοι Δ Υα · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ϛ . ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο ϛ , ὁ δὲ μείζων Μ ο ιη . καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. λζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον συναμφοτέρου εἶναι β πλ. . Ἔσται πάλιν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 γ , ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον συναμφοτέρου εἶναι β πλ. · ἀλλʼ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνός ἐστι Δ Υ α , συναμφότερος δὲ 𐅶 δ . Δ Υ ἄρα α β πλ. ἐστὶν 𐅶 δ . 𐅶 ἄρα η ἴσοι εἰσὶ Δ Υα · 〈καὶ〉 γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο η . καὶ ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο η , ὁ δὲ μείζων Μ ο κδ . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. λη. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνος πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ.
, τὸν δὲ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ϛ πλ. . Ἔσται πάλιν ὁμοίως ὁ μὲν μείζων 𐅶 γ , ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος τετράγωνον τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ϛ πλ. · Δ Υ ἄρα α ϛ πλ. ἐστὶν 𐅶 β . 𐅶 ἄρα ιβ ἴσοι εἰσὶ Δ Υα · ὁ ἄρα 𐅶 ἔσται Μ ο ιβ ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο ιβ , ὁ δὲ μείζων Μ ο λϛ . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. [ Πόρισμ α.] Ὁμοίως δὲ διὰ τῶν αὐτῶν εὑρεθήσονται ἀριθμοὶ δύο ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος πρὸς τὸν ἐλάσσονα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ πάλιν δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς αὐτὸν τὸν μείζονα λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ὁμοίως δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον, καὶ ἔτι δύο ἀριθμοὶ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως καὶ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος τετράγωνος πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. λθ. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσευρεῖν ἕτερον ἀριθμὸν ὅπως τῶν τριῶν ἐκκειμένων σὺν δύο συντεθέντες καὶ ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες ποιῶσι τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ.
Ἔστωσαν οἱ δοθέντες δύο ἀριθμοὶ ὅ τε γ καὶ ὁ ε , καὶ δέον ἔστω προσευρεῖν ἕτερον ἀριθμὸν ὅπως σὺν δύο συντεθέντες καὶ ἐπὶ τὸν λοιπὸν πολλαπλασιασθέντες, ποιῶσι τρεῖς ἀριθμοὺς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ. Ἔστω ὁ ζητούμενος 𐅶 α . καὶ ἐὰν μὲν συντεθῇ μετὰ Μ ο ε , γίνεται 𐅶 α Μ οε · ἐὰν δὲ πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ τὸν λοιπόν, τουτέστι τὸν γ , γίνονται 𐅶 γ Μ ο ιε . πάλιν ἐὰν 𐅶 α συντεθῇ μετὰ Μ ο γ , γίνεται 𐅶 α Μ ογ · ἐὰν δὲ πολλαπλασιασθῇ ἐπὶ Μ ο ε , γίνεται 𐅶 ε Μ ο ιε . καὶ ἔτι ἐὰν Μ ο ε συντεθῶσι μετὰ Μ ο γ , καὶ αἱ γινόμεναι Μ ο η πολλαπλασιασθῶσιν ἐπὶ 𐅶 α , γίνονται 𐅶 η . Ὅτι μὲν οὖν οὐδέποτε ἔσται μέγιστος ὁ τῶν 𐅶 γ Μ ο ιε , φανερόν· μείζων γὰρ αὐτοῦ ἐστιν ὁ τῶν 𐅶 ε Μ ο ιε · ὁ ἄρα 𐅶 γ Μ ο ιε ἤτοι μέσος ἐστὶν ἢ ἐλάσσων· ὁ δὲ τῶν 𐅶 ε Μ ο ιε ἤτοι μέγιστός ἐστιν ἢ μέσος· ὁ δὲ τῶν 𐅶 η καὶ μέγιστος καὶ μέσος καὶ ἐλάχιστος δύναται τυγχάνειν, τῷ ἄδηλον εἶναι τὴν τοῦ 𐅶 ὑπόστασιν. Τετάχθω οὖν πρῶτον μέγιστος μὲν ὁ τῶν 𐅶 ε καὶ Μ ο ιε , ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν 𐅶 γ Μ ο ιε , μέσος δὲ δηλονότι ὁ τῶν 𐅶 η . Ἐὰν δὲ ὦσιν ἀριθμοὶ τρεῖς ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος συντεθέντες διπλάσιοί εἰσι τοῦ μέσου· καὶ ἔστιν ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος 𐅶 η Μ ολ · ταῦτα ἴσα 𐅶 ιϛ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιε δ . τοσούτου ἔσται ὁ ζητούμενος καὶ ποιῶν τὰ τῆς προτάσεως. Ἀλλὰ δὴ ἔστω μέγιστος μὲν ὁ τῶν 𐅶 ε Μ ο ιε , μέσος δὲ ὁ τῶν 𐅶 γ Μ ο ιε , ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν 𐅶 η .
80
Ἐὰν δὲ ὦσι τρεῖς ἀριθμοὶ ἐν ἴσῃ ὑπεροχῇ, ᾧ ὑπερέχει ὁ μέγιστος τὸν μέσον, τούτῳ ὑπερέχει ὁ μέσος τὸν ἐλάχιστον· ὑπερέχει δὲ ὁ μὲν μέγιστος τὸν μέσον, 𐅶 β · ὁ δὲ μέσος τὸν ἐλάχιστον, Μ ο ιε ⩚ 𐅶 ε . Μ ο ἄρα ιε ⩚ 𐅶 ε ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιε ζ . τοσούτου ἔσται ὁ ζητούμενος καὶ ποιῶν τὸ πρόβλημα. Ἀλλὰ δὴ ἔστω μέγιστος μὲν ὁ τῶν 𐅶 η , μέσος δὲ ὁ τῶν 𐅶 ε Μ ο ιε , ἐλάχιστος δὲ ὁ τῶν 𐅶 γ Μ ο ιε . Ἐπεὶ οὖν πάλιν ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστος διπλάσιοί εἰσι τοῦ μέσου, ἀλλὰ ὁ μέγιστος καὶ ὁ ἐλάχιστός εἰσιν 𐅶 ια Μ ο ιε , ταῦτα διπλάσιά εἰσι τῶν τοῦ μέσου· ὁ δὲ μέσος ἐστὶν 𐅶 ε Μ ο ιε . 𐅶 ἄρα ι Μ ο λ ἴσοι εἰσὶν 𐅶 ια Μ ο ιε · ἔσται ἄρα ὁ ζητούμενος Μ ο ιε , καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως. ΔΙΟΦΑΝΤΟΥ ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΩΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ Β.
82 (1t)
α. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ σύνθεσις αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν σύνθεσιν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν σύνθεσιν αὐτῶν τῆς τῶν ἀπʼ αὐτῶν συνθέσεως εἶναι μέρος ι ον . Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ δὲ μείζων 𐅶 β · γίνεται ἡ μὲν σύνθεσις αὐτῶν 𐅶 γ , ἡ δὲ σύνθεσις τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων Δ Υε · δεήσει ἄρα 𐅶 γ μέρος ι ον εἶναι Δ Υ ε . 𐅶 ἄρα λ ἴσοι εἰσὶ Δ Υ ε , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ϛ. ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο ϛ , ὁ δὲ μείζων Μ ο ιβ , καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. β. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ αὐτῶν πρὸς τὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν τῆς τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχῆς εἶναι μέρος ϛ ον .
Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ δὲ μείζων 𐅶 β · καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 α , ἡ δὲ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴ Δ Υ γ . δεήσει ἄρα 𐅶 α , ϛ ον μέρος εἶναι Δ Υ γ . 𐅶 ἄρα ϛ ἴσοι Δ Υ γ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο β , ὁ δὲ μείζων Μ ο δ , καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. γ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἵνα ὁ ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ πρὸς συναμφότερον ἢ πρὸς τὴν ὑπεροχὴν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ πρότερον τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τοῦ συναμφοτέρου εἶναι ϛ πλ. . Τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι 𐅶 α καὶ 𐅶 β · δύνανται δὲ οὗτοι προβάλλεσθαι καὶ ἐν λόγῳ δοθέντι. Ἔσται ἄρα ὁ μὲν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ αὐτῶν Δ Υ β , ὁ δὲ συναμφότερος 𐅶 γ · δεήσει ἄρα Δ Υ β ϛ πλ. εἶναι 𐅶 γ . 𐅶 ἄρα ιη ἴσοι εἰσὶν Δ Υβ · πάντα παρὰ 𐅶 . Μ ο ἄρα ιη ἴσαι εἰσὶν 𐅶 β , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο θ . ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο θ , ὁ δὲ β ος Μ ο ιη · καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. Ἐὰν δὲ ἐπιταχθῇ τὸν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῆς ὑπεροχῆς εἶναι ϛ πλ. , ἔσται πάλιν ὁ μὲν ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ Δ Υ β , ἡ δὲ ὑπεροχὴ 𐅶 α . 𐅶 πάλιν ϛ ἴσοι Δ Υ β , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο γ . ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο γ , ὁ δὲ β ος Μ ο ϛ , καὶ ποιοῦσι πάλιν τὸ πρόβλημα.
δ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι ι πλ. . Τετάχθω πάλιν ὃς μὲν 𐅶 α , ὃς δὲ 𐅶 β . Ἔσται ἄρα ὁ μὲν συγκείμενος ἐκ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων, Δ Υ ε , ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν 𐅶 α · δεήσει ἄρα Δ Υ ε ι πλ. εἶναι 𐅶 α . Δ Υ ἄρα ε ἴσαι εἰσὶν 𐅶 ι , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β . ἔσται ὁ μὲν α ος Μ ο β , ὁ δὲ β ος Μ ο δ , καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. ε. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων πρὸς συναμφότερον λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων συναμφοτέρου εἶναι ϛ πλ. . Καὶ πάλιν τετάχθωσαν οἱ ζητούμενοι, ὃς μὲν 𐅶 α , ὃς δὲ 𐅶 β , καὶ γίνεται ἡ μὲν ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων, Δ Υ γ , συναμφότερος δὲ 𐅶 γ · [δεήσει ἄρα Δ Υ γ 𐅶 πλ. εἶναι 𐅶 γ ]. Δ Υ ἄρα γ ἴσαι εἰσὶν 𐅶 ιη , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο ϛ . καὶ φανερὰ ἡ ἀπόδειξις. ϛ.
Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν ὑπεροχῇ δοθείσῃ, ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερέχῃ δοθέντι ἀριθμῷ. Δεῖ δὴ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι συναμφοτέρου αὐτοῦ τε τοῦ τῆς ὑπεροχῆς καὶ τοῦ διδομένου τῶν ἀπʼ αὐτῶν πρὸς τὴν αὐτῶν ὑπεροχήν. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ ο β , τὴν δὲ ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν ὑπερέχειν Μ ο κ . Τετάχθω δὴ ὁ ἐλάσσων 𐅶 α · ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μ οβ · καὶ μένει ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Μ ο β , ἡ δὲ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων ὑπεροχὴ 𐅶 δ Μ οδ · δεήσει ἄρα 𐅶 δ Μ ο δ ὑπερέχειν Μ ο β , Μ ο κ . ὥστε 𐅶 δ Μ ο δ ἴσοι εἰσὶ Μ ο κβ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο δ 𐅵 ʹ. ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο δ 𐅵 ʹ, ὁ δὲ μείζων Μ ο ϛ 𐅵 ʹ, καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ζ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν δοθέντι ἀριθμῷ μείζων ᾖ ἢ ἐν λόγῳ. Ἐπιτετάχθω τὴν ὑπεροχὴν τῶν ἀπʼ αὐτῶν τετραγώνων τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν εἶναι γ πλ. , καὶ ἔτι ὑπερέχειν Μ ο ι . Δεῖ δὴ τὸν ἀπὸ τῆς ὑπεροχῆς αὐτῶν τετράγωνον ἐλάσσονα εἶναι συναμφοτέρου τοῦ τε γ πλ. τῆς ὑπεροχῆς καὶ τῶν δοθεισῶν Μ ο ι . Τετάχθω ἡ μὲν ὑπεροχὴ αὐτῶν Μ ο β , ὁ δὲ ἐλάσσων 𐅶 α · ὁ ἄρα μείζων ἔσται 𐅶 α Μ οβ · δεήσει ἄρα 𐅶 δ Μ ο δ γ πλ.
90
εἶναι Μ ο β καὶ ἔτι ὑπερέχειν Μ ο ι . τρὶς ἄρα Μ ο β μετὰ Μ ο ι ἴσαι εἰσὶν 𐅶 δ Μ οδ · ἀλλὰ τρὶς Μ ο β μετὰ Μ ο ι γίνονται Μ ο ιϛ · ταῦτα ἴσα 𐅶 δ Μ ο δ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο γ . ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων ἀριθμὸς Μ ο γ , ὁ δὲ μείζων Μ ε , καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. η. Τὸν ἐπιταχθέντα τετράγωνον διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν ιϛ διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους. Καὶ τετάχθω ὁ α ος Δ Υ α , ὁ ἄρα ἕτερος ἔσται Μ ο ιϛ ⩚ Δ Υα · δεήσει ἄρα Μ ο ιϛ ⩚ Δ Υ α ἴσας εἶναι □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 ῶν ὅσων δήποτε ⩚ τοσούτων Μ ὅσων ἐστὶν ἡ τῶν ιϛ Μ ο πλευρά· ἔστω 𐅶 β ⩚ Μ ο δ . αὐτὸς ἄρα ὁ □ ος ἔσται Δ Υ δ Μ ο ιϛ ⩚ 𐅶 ιϛ · ταῦτα ἴσα Μ ο ιϛ ⩚ Δ Υ α . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις καὶ ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια. Δ Υ ἄρα ε ἴσαι 𐅶 ιϛ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 ιϛ πέμπτων. ἔσται ὁ μὲν [Start of a fraction] κε/σνϛ [End of a fraction] , ὁ δὲ [Start of a fraction] κε/ρμδ [End of a fraction] , καὶ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσι [Start of a fraction] κε/υ [End of a fraction] , ἤτοι Μ ο ιϛ , καὶ ἔστιν ἑκάτερος τετράγωνος. Ἄλλως.
Ἔστω δὴ πάλιν τὸν ιϛ τετράγωνον διελεῖν εἰς δύο τετραγώνους. Τετάχθω πάλιν ἡ τοῦ α ου πλευρὰ 𐅶 α , ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου 𐅶 ῶν ὅσων δήποτε ⩚ Μ ο ὅσων ἐστὶν ἡ τοῦ διαιρουμένου πλευρά· ἔστω δὴ 𐅶 β ⩚ Μ ο δ . ἔσονται ἄρα οἱ □ οι , ὃς μὲν Δ Υ α , ὃς δὲ Δ Υ δ Μ ο ιϛ ⩚ 𐅶 ιϛ . βούλομαι τοὺς δύο λοιπὸν συντεθέντας ἴσους εἶναι Μ ο ιϛ . Δ Υ ἄρα ε Μ ο ιϛ ⩚ 𐅶 ιϛ ἴσαι εἰσὶ Μ ο ιϛ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ε/ιϛ [End of a fraction] . ἔσται ἡ μὲν τοῦ α ου π λ. [Start of a fraction] ε/ιϛ [End of a fraction] · αὐτὸς ἄρα ἔσται [Start of a fraction] κε/σνϛ [End of a fraction] · ἡ δὲ τοῦ β ου π λ. [Start of a fraction] ε/ιβ [End of a fraction] · αὐτὸς ἄρα ἔσται [Start of a fraction] κε/ρμδ [End of a fraction] · καὶ ἡ ἀπόδειξις φανερά. θ. Τὸν δοθέντα ἀριθμόν, ὃς σύγκειται ἐκ δύο τετραγώνων, μεταδιελεῖν εἰς δύο ἑτέρους τετραγώνους. Ἔστω τὸν ιγ , συγκείμενον ἔκ τε τοῦ δ καὶ θ τετραγώνων, μεταδιελεῖν εἰς ἑτέρους δύο τετραγώνους. Εἰλήφθωσαν τῶν προειρημένων τετραγώνων αἱ π λ. , Μ ο β , Μ ο γ , καὶ τετάχθωσαν αἱ τῶν ἐπιζητουμένων τετραγώνων π λ. , ἣ μὲν 𐅶 α Μ ο β , ἣ δὲ 𐅶 ὅσων δήποτε ⩚ Μ ο ὅσων ἐστὶν ἡ τοῦ λοιποῦ πλευρά. ἔστω 𐅶 β ⩚ Μ ογ · καὶ γίνονται οἱ τετράγωνοι, ὃς μὲν Δ Υ α 𐅶 δ Μ ο δ , ὃς δὲ Δ Υ δ Μ ο θ ⩚ 𐅶 ιβ . λοιπόν ἐστι τοὺς δύο συντεθέντας ποιεῖν Μ ιγ .
ἀλλʼ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσιν Δ Υ ε Μ ο ιγ ⩚ 𐅶 η · ταῦτα ἴσα Μ ο ιγ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ε/η [End of a fraction] . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις· ἔταξα τὴν τοῦ α ου π λ. , 𐅶 α Μ οβ · ἔσται [Start of a fraction] ε/ιη [End of a fraction] · τὴν δὲ τοῦ β ου π λ. 𐅶 β ⩚ Μ ογ · ἔσται ἑνός. αὐτοὶ δὲ οἱ □ οι ἔσονται, ὃς μὲν [Start of a fraction] κε/τκδ [End of a fraction] , ὃς δὲ ἑνός. καὶ οἱ δύο συντεθέντες ποιοῦσι [Start of a fraction] κε/τκε [End of a fraction] , ἃ συνάγει τὰς ἐπιταχθείσας Μ ο ιγ . ι. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς τετραγώνους ἐν ὑπεροχῇ τῇ δοθείσῃ. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν αὐτῶν εἶναι Μ ο ξ . Τετάχθω οὗ μὲν ἡ πλευρὰ 𐅶 α , οὗ δὲ 𐅶 α καὶ Μ ο ὅσων δήποτε θέλεις, μόνον ἵνα μὴ ὁ ἀπὸ τῶν Μ ο □ ος ὑπεράρῃ τὴν ὑπεροχὴν τὴν δοθεῖσαν, [μήτε μὴν ἴσος ᾖ]· οὕτω γὰρ ἑνὸς εἴδους ἑνὶ [εἴδει] ἴσου καταλειπομένου, συσταθήσεται τὸ πρόβλημα. ἔστω 𐅶 α Μ ογ · αὐτοὶ ἄρα οἱ τετράγωνοι ἔσονται, Δ υ α καὶ Δ υ α 𐅶 ϛ Μ οθ · ἡ δὲ ὑπεροχὴ αὐτῶν, 𐅶 ϛ Μ οθ · ταῦτα ἴσα Μ ο ξ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο η 𐅵 ʹ. ἔσται ἡ μὲν τοῦ α ου πλευρὰ Μ ο η 𐅵 ʹ, ἡ δὲ τοῦ β ου Μ ο ια 𐅵 ʹ· αὐτοὶ δὲ οἱ □ οι ἔσονται ὃς μὲν Μ ο οβ δ , ὃς δὲ Μ ο ρλβ δ , καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως.
ια. Δυσὶ δοθεῖσιν ἀριθμοῖς προσθεῖναι τὸν αὐτὸν ἀριθμόν, καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τετράγωνον. Ἔστω δὴ τῷ β καὶ τῷ γ καὶ ἔστω ὁ προστιθέμενος 𐅶 α . ἔσται ἄρα ὁ μὲν 𐅶 α Μ ο β , ὁ δὲ 𐅶 α Μ ο γ , ἴς. □ · καὶ τοῦτο τὸ εἶδος καλεῖται διπλοισότης· ἰσοῦται δὲ τὸν τρόπον τοῦτον. ἰδὼν τὴν ὑπεροχήν, ζήτει δύο ἀριθμοὺς ἵνα τὸ ὑπʼ αὐτῶν ποιῇ τὴν ὑπεροχήν· εἰσὶ δὲ Μ ο δ καὶ Μ οος δ . τούτων ἤτοι τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵 ʹ. ἐφʼ ἑαυτὸ ἴσον ἐστὶ τῷ ἐλάσσονι, ἢ τῆς συνθέσεως τὸ 𐅵 ʹ ἐφʼ ἑαυτὸ ἴσον τῷ μείζονι. ἀλλὰ τῆς ὑπεροχῆς τὸ 𐅵 ʹ ἐφʼ ἑαυτό ἐστι [Start of a fraction] ξδ/σκε [End of a fraction] · ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μ ο β , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ξδ/ϙζ [End of a fraction] . τῆς δὲ συνθέσεως τὸ 𐅵 ʹ ἐφʼ ἑαυτό ἐστι [Start of a fraction] ξδ/σπθ [End of a fraction] · ταῦτα ἴσα τῷ μείζονι, τουτέστιν 𐅶 α Μ ο γ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 πάλιν [Start of a fraction] ξδ/ϙζ [End of a fraction] . ἔσται ἄρα ὁ προστιθέμενος [Start of a fraction] ξδ/ϙζ [End of a fraction] , καὶ φανερὰ τὰ τῆς προτάσεως. Ἵνα δὲ μὴ εἰς διπλὴν ἰσότητα ἐμπέσῃ, δεικτέον οὕτως· Τῷ β καὶ τῷ γ προσευρεῖν τινα ἀριθμόν, ὃς ἑκατέρῳ προστεθεὶς ποιεῖ □ ον · ζητῶ πρότερόν τινα ἀριθμόν, ὃς προσλαβὼν Μ ο β ποιεῖ □ ον , ἢ καὶ τίς ἀριθμὸς προσλαβὼν Μ ο γ ποιεῖ □ ον .
ἀφʼ οἵου δʼ ἂν □ ου ἀφέλω τὰς Μ ο , οὗτος ἔσται ὁ ζητούμενος· ἔστω δὴ ἐπὶ τῶν Μ ο β , καὶ ἀφῃρήσθωσαν ἀπὸ Δ Υα · λοιπὸν ἔσται Δ Υ α ⩚ Μ ο β , καὶ δῆλον ὡς, ἐὰν προσλάβῃ Μ ο β , ποιεῖ □ ον · λοιπόν ἐστι καὶ γ Μ ο αὐτὸν προσλαβόντα ποιεῖν □ ον · ἀλλʼ ἐὰν προσλάβῃ Μ ο γ , γίνεται Δ Υ α Μ οα · ταῦτα ἴσα □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μ ο τοσούτων ὥστε τὴν τῆς Δ Υ ὑπόστασιν ὑπερβάλλειν αὐτὰς τὰς προεκτεθειμένας τῆς λείψεως Μ οας , οἷον ὡς ἐπὶ τοῦ παρόντος τὰς Μ οβ · οὕτως γὰρ ἂν πάλιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος ἑνὶ ἴσον καταλειφθήσεται. ἔστω δὴ ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μ οδ · αὐτὸς ἄρα ἔσται ὁ □ ος , Δ Υ α Μ ο ιϛ ⩚ 𐅶 η . ταῦτα ἴσα Δ Υ α Μ ο α . κοινὴ προσκείσθω ἡ λεῖψις, καὶ ἀφῃρήσθω ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιποὶ 𐅶 η ἴσοι Μ ο ιε , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] η/ιε [End of a fraction] . ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ προστιθέμενος [Start of a fraction] ξδ/ϙζ [End of a fraction] . ιβ. Ἀπὸ δύο δοθέντων ἀριθμῶν ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ θ καὶ τοῦ κα ἀφελεῖν τὸν αὐτὸν ἀριθμὸν καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.
100
Οἷον δʼ ἂν τετράγωνον ἀφέλω ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν, τάσσω τὸν λοιπόν· οὗτος γὰρ ἀφαιρούμενος καταλείπει τὸν τετράγωνον· ἔστω οὖν ὁ ἀπὸ τῶν Μ ο θ ἀφαιρούμενος τετράγωνος, Δ Υα · λοιπὸν Μ ο θ ⩚ Δ Υ α . δεήσει ἄρα καὶ ἀπὸ Μ ο κα ἀφελεῖν Μ ο θ ⩚ Δ Υ α καὶ ποιεῖν □ ον . ἀλλʼ ἐὰν ἀπὸ Μ ο κα ἀφέλω Μ ο θ ⩚ Ο Υ α , λοιπὸν Δ Υ α Μ ο ιβ · ταῦτα ἴσα □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μ ο τοσούτων ὥστε τὸν ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνον πλείονας ποιεῖν τῶν Μ ο ιβ · οὕτω γὰρ πάλιν ἐν ἑκατέρῳ τῶν μερῶν ἓν εἶδος ἑνὶ ἴσον καταλειφθήσεται· ἔστω δὴ Μ οδ · αὐτὸς ἄρα ὁ □ ος ἔσται Δ Υ α Μ ο ιϛ ⩚ 𐅶 η · ταῦτα ἴσα Δ Υ α Μ ο ιβ . ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· λοιποὶ 𐅶 η ἴσοι Μ οδ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] η/δ [End of a fraction] . αἱ μὲν θ Μ ο συνάγουσιν οβ η α , τουτέστι [Start of a fraction] ξδ/φοϛ [End of a fraction] · ἡ δὲ λεῖψις τῆς Δ Υ α ἀφαιρεῖ ἀπʼ αὐτῶν [Start of a fraction] ξδ/ιϛ [End of a fraction] , καὶ ποιεῖ τὰ τῆς προτάσεως. ιγ. Ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν δύο δοθέντας ἀριθμοὺς καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον. 〈Ἐπιτετάχθω δὴ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ ἀριθμοῦ ἀφελεῖν τὸν ϛ καὶ τὸν ζ , καὶ ποιεῖν ἑκάτερον τῶν λοιπῶν τετράγωνον.〉 Τετάχθω ὁ ζητούμενος 𐅶 α · καὶ ἐὰν μὲν ἀπὸ τούτου ἀφέλω Μ ο ϛ , λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μ ο ϛ ἴσος □ , ἐὰν δὲ Μ ο ζ , λοιπὸς 𐅶 α ⩚ Μ ο ζ ἴσος □ · καὶ πάλιν ἐπὶ τούτου ὁμοίως ἐστὶν ἡ διπλοισότης.
Ἐπειδήπερ ἡ ὑπεροχή, Μ ο οὔσα α , περιέχεται ὑπὸ Μ ο β καὶ Μ ο 𐅵 ʹ, καὶ συνάγεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ιϛ/ρκα [End of a fraction] , καὶ ποιεῖ τὸ πρόβλημα. Ἵνα δὲ μὴ εἰς διπλὴν ἴσωσιν ἐξέρχηται, ζητητέον οὕτως· ζητῶ πρότερον ἀπὸ τίνος ἀριθμοῦ, ἐὰν ἀφέλω Μ ο ϛ , ποιεῖ □ ον . ᾧ δʼ ἂν □ ῳ δηλονότι προσθῶ τὰς Μ ο ϛ , ἐκεῖνος ἔσται ὁ ζητούμενος. ἔστω δὴ Δ Υα · ἔσται ἄρα ὁ ζητούμενος Δ Υ α Μ οϛ · καὶ δῆλον ὡς ἐὰν ἀπὸ τούτου ἀφέλω Μ ο ϛ , ὁ λοιπὸς ἔσται □ ος . δεήσει ἄρα καὶ Μ ο ζ ἀφελεῖν ἀπὸ τῆς Δ Υ α Μ ο ϛ καὶ ποιεῖν □ ον . Δ Υ ἄρα α ⩚ Μ ο α ἴς. □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μ ο β . αὐτὸς ἄρα ὁ □ ος ἔσται Δ Υ α Μ ο δ ⩚ 𐅶 δ · ταῦτα ἴσα Δ Υ α ⩚ Μ ο α . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] δ/ε [End of a fraction] . ἔσται ὁ ζητούμενος [Start of a fraction] ιϛ/ρκα [End of a fraction] , καὶ ποιεῖ τὸ πρόβλημα. ιδ. Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς προσλαβὼν ἑκάτερον τῶν διῃρημένων, ποιεῖ τετράγωνον. Ἔστω τὸν κ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς.
Ἔκθου δύο ἀριθμοὺς ὥστε τοὺς ἀπʼ αὐτῶν □ ους ἐλάσσονας εἶναι Μ οκ · ἔστω δὴ ὁ β καὶ ὁγ · καὶ προστεθέντος ἑκατέρῳ 𐅶 α , ἔσονται οἱ ἀπὸ τούτων □ οι , ὃς μὲν Δ Υ α 𐅶 δ Μ ο δ , ὃς δὲ Δ Υ α 𐅶 ϛ Μ ο θ . ἐὰν ἄρα ἀπὸ ἑκατέρου ἀφέλω τὴν Δ Υ , τουτέστι τὸν □ ον , ἕξομεν τοὺς ἐπιζητουμένους, οἳ προσλαμβάνοντες δηλονότι □ ον , ποιοῦσι □ ον . ἀλλʼ ἐὰν ἀφέλω Δ Υ α , λοιποὶ ἔσονται, ὁ μὲν 𐅶 δ Μ ο δ , ὁ δὲ 𐅶 ϛ Μ ο θ . δεήσει ἄρα τὴν σύνθεσιν αὐτῶν, τουτέστιν 𐅶 ι Μ ο ιγ , ἴσους εἶναι Μ ο κ· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ι/ζ [End of a fraction] · ἔσται ὁ μὲν [Start of a fraction] ι/ξη [End of a fraction] , ὁ δὲ [Start of a fraction] ι/ρλβ [End of a fraction] , καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ιε. Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς δύο ἀριθμοὺς καὶ προσευρεῖν αὐτοῖς τετράγωνον, ὃς λιπὼν ἑκάτερον ποιεῖ τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω πάλιν τὸν κ διελεῖν εἰς δύο ἀριθμούς. καὶ τετάχθω ὁ ζητούμενος □ ος ἀπὸ π λ. 𐅶 α καὶ Μ ο τοσούτων ὥστε τὸν ἀπʼ αὐτῶν μὴ ὑπερβάλλειν τὸν κ . ἔστω δὴ 𐅶 α Μ ο β . ὁ ἄρα □ ος ἔσται Δ Υ α 𐅶 δ Μ οδ · καὶ δῆλον ὡς λιπὼν 𐅶 δ Μ ο δ , καταλείπει □ ον · καὶ ὁμοίως λιπὼν 𐅶 β Μ γ , καταλείπει □ ον , Δ Υ α 𐅶 β Μ ο α . τάσσω οὖν διὰ ταῦτα τὸν μὲν α ον 𐅶 δ Μ ο δ , τὸν δὲ β ον 𐅶 β Μ ο γ , τὸν δὲ ζητούμενον Δ Υ α 𐅶 δ Μ ο δ , καὶ λιπὼν ἑκάτερον, ποιεῖ □ ον .
λοιπὸν δεῖ τοὺς δύο ἴσους εἶναι τῷ διαιρουμένῳ· ἀλλʼ οἱ δύο ποιοῦσιν 𐅶 ϛ Μ οζ · ταῦτα ἴσα Μ ο κ . ἀπὸ ὁμοίων ὅμοια· καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ϛ/ιγ [End of a fraction] . ἔσται ὁ μὲν α ος [Start of a fraction] ϛ/οϛ [End of a fraction] , ὁ δὲ β ος [Start of a fraction] ϛ/μδ [End of a fraction] , ὁ δὲ □ ος [Start of a fraction] λϛ/χκε [End of a fraction] . καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. ιϛ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι ὅπως ἑκάτερος αὐτῶν μετὰ τοῦ ἐπιταχθέντος τετραγώνου ποιῇ τετράγωνον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν μείζονα τοῦ ἐλάσσονος εἶναι γ πλ. , ἑκάτερον δʼ αὐτῶν μετὰ Μ ο θ ποιεῖν τετράγωνον. Ἀφʼ οὗ δʼ ἂν □ ου ἀπὸ πλήθους 𐅶 ῶν καὶ Μ ο 〈 γ 〉 ἀφέλω Μ ο θ , οὗτος ἔσται εἷς τῶν ζητουμένων. ἔστω οὖν ὁ ἐλάσσων Δ Υ α 𐅶 ϛ , ὁ ἄρα μείζων ἔσται Δ Υ γ 𐅶 ιη . δεήσει ἄρα καὶ τοῦτον, προσλαβόντα Μ ο θ , ποιεῖν □ ον . ἀλλὰ προσλαβόντα Μ ο θ , γίνονται Δ Υ γ 𐅶 ιη Μ ο θ . ταῦτα ἴσα □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 β ⩚ Μ ο γ , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο λ . ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων Μ ο ͵ απ , ὁ δὲ μείζων ͵ γσμ , καὶ ποιοῦσι μετὰ Μ ο θ τὰ τῆς προτάσεως. ιζ.
[Εὑρεῖν τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ἕκαστος τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθὲν καὶ ἔτι δοθέντα ἀριθμόν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν α ον τῷ β ῳ διδόναι τὸ ε ον καὶ ἔτι Μ οϛ · τὸν δὲ β ον τῷ γ ῳ τὸ ϛ ον καὶ Μ ο ζ , τὸν δὲ γ ον τῷ α ῳ τὸ ζ ον καὶ Μ ο η . Τετάχθω ὁ μὲν α ος 𐅶 ε , ὁ δὲ β ος ὁμοίως 𐅶 ϛ . καὶ μένει ὁ β ος λαβὼν μὲν παρὰ τοῦ α ου 𐅶 α Μ ο ϛ , 𐅶 ζ Μ ο ϛ . δοὺς δὲ τῷ γ ῳ τὸ ϛ ον , 𐅶 α , καὶ Μ ο ζ , γί. 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο α . ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ α ος τὸ ἑαυτοῦ ε ον καὶ ἔτι Μ ο ϛ , γί. 𐅶 δ ⩚ Μ ο ϛ . δεήσει ἄρα καὶ λαβόντα αὐτὸν παρὰ τοῦ γ ου τὸ ζ ον καὶ Μ ο η , γίνεσθαι 𐅶 ϛ ⩚ Μ οα · ἀλλʼ ἐὰν 𐅶 δ ⩚ Μ ο ϛ προσλάβωσιν 𐅶 β Μ ο ε , γίνονται 𐅶 ϛ ⩚ Μ οα · 𐅶 ἄρα β καὶ Μ ο ε μέρος ζ ον εἰσι τοῦ γ ου καὶ ἔτι Μ ο η . ἐὰν ἄρα ἀπὸ 𐅶 β Μ ο ε , ἀφέλω Μ ο η , λοιπὸν 𐅶 β ⩚ Μ ο γ ζ ον μέρος εἰσὶ τοῦ γ ου · αὐτὸς ἄρα ἔσται 𐅶 ιδ ⩚ Μ ο κα . λοιπὸν ἄρα δεήσει καὶ τοῦτον λαβόντα μὲν παρὰ τοῦ μέσου τὸ ϛ ον καὶ Μ ο ζ , δόντα δὲ τὸ ζ ον καὶ Μ ο η , γίνεσθαι 𐅶 ϛ ⩚ Μ οα · ἀλλὰ δοὺς μὲν τὸ ζ ον καὶ Μ ο η , λοιπός ἐστιν 𐅶 ιβ ⩚ Μ ο κϛ , λαβὼν δὲ παρὰ τοῦ μέσου τὸ ζ ον καὶ Μ ο ζ , γί.
110
𐅶 ιγ ⩚ Μ ο ιθ · ταῦτα ἴσα 𐅶 ϛ ⩚ Μ ο α , καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ζ/ιη [End of a fraction] . ἔσται ὁ μὲν α ος [Start of a fraction] ζ/ϙ [End of a fraction] , ὁ δὲ β ος [Start of a fraction] ζ/δη [End of a fraction] , ὁ δὲ γ ος [Start of a fraction] ζ/ρε [End of a fraction] , καὶ οὗτοι ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως.] ιη. [Τὸν δοθέντα ἀριθμὸν διελεῖν εἰς ἀριθμοὺς τρεῖς, ὅπως ἕκαστος τῶν ἐκ τῆς διαιρέσεως τῷ ἑξῆς ἑαυτοῦ δῷ μέρος τὸ ἐπιταχθὲν καὶ ἔτι δοθέντα ἀριθμόν, ἵνα δόντες καὶ λαβόντες γένωνται ἴσοι. Ἐπιτετάχθω δὴ τὸν π διελεῖν εἰς τρεῖς ἀριθμοὺς ὅπως ὁ α ος τῷ β ῳ διδῷ τὸ ε ον καὶ ἔτι Μ ο ϛ , ὁ δὲ β ος τῷ γ ῳ τὸ ϛ ον καὶ Μ ο ζ , ὁ δὲ γ ος τῷ α ῳ τὸ ζ ον καὶ Μ ο η , ἵνα μετὰ τὴν ἀντίδοσιν γένωνται ἴσοι …………..] 〈Ἄλλως τὸ ιζ ον .〉 [Τετάχθω ὁ α ος 𐅶 ε καὶ ὁ β ος Μ ο ιβ , καὶ μένει ὁ β ος λαβὼν μὲν παρὰ τοῦ α ου τὸ ε ον , 𐅶 α , καὶ Μ ο ϛ , γινόμενος 𐅶 α Μ ο ιη · δοὺς δὲ τῷ γ ῳ τὸ ϛ ον καὶ ἔτι Μ ο ζ , γίνεται 𐅶 α Μ οθ · λοιπόν ἐστι καὶ τοὺς λοιποὺς δόντας καὶ λαβόντας γίνεσθαι 𐅶 α Μ ο θ . ἀλλὰ δοὺς μὲν ὁ α ος ἑαυτοῦ τὸ ε ον καὶ Μ ο ϛ λοιπός ἐστιν 𐅶 δ ⩚ Μ ο ϛ .
δεήσει ἄρα αὐτὸν καὶ λαβόντα τὸ ζ ον τοῦ γ ου καὶ Μ ο η , γίνεσθαι 𐅶 α Μ οθ · ἀλλʼ ἐὰν λάβῃ Μ ο ιε ⩚ 𐅶 γ , γίνεται 𐅶 α Μ ο θ . Μ ο ἄρα ιε ⩚ 𐅶 γ , ζ ον μέρος εἰσὶ τοῦ γ ου καὶ ἔτι Μ ο η . ἐὰν ἄρα ἀπὸ Μ ο ιε ⩚ 𐅶 γ ἀφέλωμεν Μ ο η , ἕξομεν τὸ τοῦ γ ου ζ ον , Μ ο ζ ⩚ 𐅶 γ · αὐτὸς ἄρα ἔσται Μ ο μθ ⩚ 𐅶 κα . λοιπόν ἐστι καὶ τοῦτον λαβόντα μὲν παρὰ τοῦ μέσου τὸ ϛ ον καὶ Μ ο ζ , δόντα δὲ τῷ α ῳ τὸ ζ ου καὶ Μ ο η , γίνεσθαι 𐅶 α καὶ Μ ο θ . ἀλλὰ δοὺς καὶ λαβὼν γί. Μ ο μγ ⩚ 𐅶 ιη · ταῦτα ἴσα 𐅶 α Μ ο θ . καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ιθ/λδ [End of a fraction] . ἔσται ὁ μὲν α ος [Start of a fraction] ιθ/ρο [End of a fraction] , ὁ δὲ β ος [Start of a fraction] ιθ/σκη [End of a fraction] , ὁ δὲ γ ος [Start of a fraction] ιθ/σιζ [End of a fraction] .] ιθ. Εὑρεῖν τρεῖς τετραγώνους ὅπως ἡ ὑπεροχὴ τοῦ μεγίστου καὶ τοῦ μέσου πρὸς τὴν ὑπεροχὴν τοῦ μέσου καὶ τοῦ ἐλαχίστου λόγον ἔχῃ δεδομένον. Ἐπιτετάχθω δὴ τὴν ὑπεροχὴν τῆς ὑπεροχῆς εἶναι γ πλ. . Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων Δ Υ α , ὁ δὲ μέσος Δ Υ α 𐅶 β Μ ο α , ἀπὸ π λ. δηλονότι 𐅶 α Μ οα · ὁ ἄρα μέγιστος ἔσται Δ Υ α 𐅶 η Μ ο δ . δεήσει ἄρα καὶ Δ Υ α 𐅶 η Μ ο δ ἴς. εἶναι □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 〈 α 〉, ἵνα ἔχω τὴν Δ Υ , καὶ ἔτι Μ ο τοσούτων ὥστε τὰ λοιπὰ ἐν τῷ □ ῳ γινόμενα εἴδη τῶν 𐅶 καὶ τῶν Μ ο μὴ ὑπερβάλλειν κατὰ τὸ πλῆθος τοὺς 𐅶 η καὶ Μ ο δ ἑκάτερα, ἀλλὰ τὸ μὲν ἐλλείπειν, τὸ δὲ πλεονάζειν.
ἔστω δὴ Μ ογ · αὐτὸς ἄρα ὁ □ ος ἔσται Δ Υ α 𐅶 ϛ Μ οθ · ταῦτα ἴσα Δ Υ α 𐅶 η Μ οδ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 Μ ο β 𐅵 ʹ. ἐπὶ τὰς ὑποστάσεις. ἔσται ὁ μέγιστος Μ ο λ δ , ὁ δὲ ἐλάχιστος Μ ο ϛ δ , ὁ δὲ μέσος Μ ο ιβ δ , καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. κ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ τοῦ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, προσλαβὼν τὸν λοιπόν, ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ α ος 𐅶 α , ὁ δὲ β ος Μ ο α 𐅶 β , ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ α ου □ ος , προσλαβὼν τὸν β ον , ποιῇ □ ον . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ β ου □ ον , προσλαβόντα τὸν α ον , ποιεῖν □ ον · ἀλλʼ ὁ ἀπὸ τοῦ β ου □ ος , προσλαβὼν τὸν α ον , ποιεῖ Δ Υ δ 𐅶 ε Μ οα · ταῦτα ἴσα □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 β ⩚ Μ οβ · αὐτὸς ἄρα ἔσται Δ Υ δ Μ ο δ ⩚ 𐅶 η · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ιγ/γ [End of a fraction] . ἔσται ὁ μὲν α ος [Start of a fraction] ιγ/γ [End of a fraction] , ὁ δὲ β ος [Start of a fraction] ιγ/ιθ [End of a fraction] , καὶ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα. κα. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, λείψει τοῦ λοιποῦ, ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ ἐλάσσων 𐅶 α καὶ Μ ο ὅσων δήποτε· ἔστω δὴ Μα · ὁ δὲ μείζων τοῦ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ ου παρὰ Δ Υ α , ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ ος ⩚ τοῦ μείζονος ποιῇ □ ον .
καὶ ἐπεὶ ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ ος ἐστιν Δ Υ α 𐅶 β Μ ο α , ὁ ἄρα μείζων ἔσται τῶν μετὰ τὴν Δ Υ , 𐅶 β Μ ο α . καὶ μένει ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ ος , ⩚ τοῦ μείζονος, ποιῶν □ ον . δεῖ δὲ καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος, Δ Υ δ 𐅶 δ Μ ο α , ⩚ τοῦ ἐλάσσονος, ποιεῖν □ ον · ἀλλʼ ὁ ἀπὸ τοῦ μείζονος □ ος , ⩚ τοῦ ἐλάσσονος, ποιεῖ Δ Υ δ 𐅶 γ · ταῦτα ἴσα □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 γ · καὶ γίνεται ὁ 𐅶 [Start of a fraction] ε/γ [End of a fraction] . ἔσται ὁ μὲν ἐλάσσων [Start of a fraction] ε/η [End of a fraction] , ὁ δὲ μείζων [Start of a fraction] ε/ια [End of a fraction] , καὶ ποιοῦσι τὰ τῆς προτάσεως. κβ. Εὑρεῖν δύο ἀριθμοὺς ὅπως ὁ ἀπὸ ἑκατέρου αὐτῶν τετράγωνος, προσλαβὼν συναμφότερον, ποιῇ τετράγωνον. Τετάχθω ὁ μὲν ἐλάσσων 𐅶 α , ὁ δὲ μείζων 𐅶 α Μ ο α , ἵνα ὁ ἀπὸ τοῦ ἐλάσσονος □ ος , τουτέστι Δ Υ α , προσλαβοῦσα συναμφότερον, τουτέστιν 𐅶 β Μ ο α , ποιῇ □ ον . λοιπόν ἐστι καὶ τὸν ἀπὸ τοῦ μείζονος □ ον προσλαβόντα συναμφότερον ποιεῖν □ ον · ἀλλʼ ὁ μὲν ἀπὸ τοῦ μείζονος □ ος προσλαβὼν συναμφότερον γίνεται Δ Υ α 𐅶 δ Μ οβ · ταῦτα ἴς. □ ῳ . πλάσσω τὸν □ ον ἀπὸ 𐅶 α ⩚ Μ ο β .
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Liddell, Scott & Jones (Perseus, CC BY-SA). Morphology: odyCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.