Library › Latin: Science & Medicine › Epitome Almagesti
The Epitome of the Almagest begun by Georg Peurbach and completed by his pupil Johannes Regiomontanus, dedicated to Cardinal Bessarion, who had urged Peurbach to undertake it. In the dedication Regiomontanus laments that in his time teachers and students of the best disciplines are so rare, blaming not the difficulty of the subject but men’s corrupted nature, inclined to vice and indifferent to virtue and good arts, unlike the ancients who strove to enrich posterity with learning. The thirteen books then restate the Almagest concisely, with improved proofs and critical observations.
Printed at Venice in 1496, the Epitome became the standard introduction to Ptolemaic astronomy for the generation of Copernicus, who studied it closely. It combined a thorough mastery of Ptolemy with critical remarks on his lunar theory and other problems, and so helped prepare the ground for the astronomical reforms of the sixteenth century. The dedication to Bessarion also documents the cardinal’s patronage of Greek and mathematical studies, which brought Peurbach and Regiomontanus into contact with Greek manuscripts of Ptolemy.
About this edition. The Latin text comes from Corpus Corporum, the Latin text repository of the University of Zurich (edition: Corpus 29, Ptolemaeus Latinus (Corpus Corporum)), reused with attribution for non-commercial purposes (CC BY-NC-SA). Every word has been analyzed with LatinCy, a neural language model for Latin — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from Lewis & Short’s A Latin Dictionary.
Latin · Science & Medicine
Epitome Almagesti
Regiomontanus · ⟨III⟩ ⟨Liber III⟩ · every word parsed
1
Tercius incipit.
⟨III.1⟩ 1. Ingressum Solis in punctum equinoctii instrumenti adiutorio colligere.
Disponatur quadrans ABC in superficie meridiana sicut in 22 primi huius ostensum est, et cum eo prope equinoctii tempus, quod facile ex meridianis altitudinibus conicies, obserua. Note namque prius tibi sunt per obseruationes tuas regionis tue latitudo, maxima Solis declinatio, etiam ad singula puncta ecliptice declinationes ipse. Ideo si aliquo die altitudo meridiana fuerit precise complementum altitudinis poli in tua regione, scito eo die in meridie equinoctium esse. Per altitudines autem meridianas proxime minorem et maiorem complemento altitudinis poli, si nulla altitudo meridiana precise equalis sit complemento altitudinis poli, reperies horam ingressus Solis in punctum equinoctii sic. Si fuerit iuxta uernale, pro quolibet minuto differentie minoris altitudinis meridiane et complementi altitudinis poli, unam horam accipe, horisque a meridie precedente equinoctium numeratis fit talis ingressus. Si autem iuxta autumnale fuerit, tot horis a meridie precedente equinoctium computatis quot sunt minuta differentie maioris altitudinis meridiane et complementi altitudinis poli, fiet ingressus in equinoctium. Tali tamen obseruationi autumnali magis conuenit quod tunc aer purior sit. Ingressus uero in puncta tropica difficilioris sunt obseruationis propterea quod tunc declinatio Solis parum et insensibiliter uarietur, propter quod fere ad quatuor dies eadem altitudo Solis meridiana maneat. Sed ingressus in equinoctii puncta magis huic rei commodi sunt quod tunc declinatio Solis plurimum uarietur sic ut altitudo meridiana in die 24 minutis unius gradus uel augeatur uel minuatur.
⟨III.2⟩ 2. Anni quantitatem per obseruationem elicere.
5
Diuersi diuersas circa anni quantitatem considerationes habuere. Uetustissimi enim Egiptiorum annum solarem reditionem Solis ad aliquam stellarum fixarum esse dicebant, inueneruntque id fieri in 365 diebus, quarta diei, et 130ma parte diei. Uerum hec anni assignatio non conuenit propterea quod stelle fixe motum separatum habeant a motu totius, parique ratione reuersio Solis ad Saturnum aut Iouem annus dici deberet. Ideoque Ipparchus et Ptolemeus dixerunt annum esse reditum Solis in aliquod punctum equinoctii aut solstitii. Quantum itaque temporis est ab ingressu Solis in punctum equinoctii autumnalis usque proximum eius ingressum in idem punctum tantum quantitatis annus habere dicitur. Uerum propter instrumentorum quibus talis ingressus deprehenduntur fallatiam, uix potest uera anni quantitas inueniri nisi per multorum annorum spatium, quantoque inter duas obseruationes maius temporis interuallum interciderit tanto ueratius hanc anni quantitatem reperire poterimus. Hinc Ipparchus reperit quantitatem anni 365 dierum et quarte unius. Ptolemeus uero reperit annum 365 dierum et quartae minus 300ma parte diei hac uia procedens. Sumit obseruationem Ipparchi qua subtiliter, ut dicit, equinoctium autumnale considerauit in anno 32do reuolutionis tertie secundum Calippum, fuitque a morte Alexandri anno 178uo Egiptio. Et dicit eam fuisse die tertia ex 5 superadditis hora noctis medie in Alexandria, cuius crastinum fuit dies quarta superadditarum. Summit deinde obseruationem suam qua anno 463o Egiptio a morte Alexandri equinoctium autumnale considerauit, dicitque eam fuisse nona die mensis Athyr, qui est tercius Egiptiorum, post ortum Solis fere per unam horam. Interuallum autem inter ambas obseruationes fuit 285 anni Egiptii, 70 dies, et quarta et 20ma diei. Quia itaque in hoc interuallo fuerunt 285 reuersiones Solis et si annus constitisset ex 365 diebus et quarta unius, oportuisset ipsum interuallum fuisse 285 anni Egiptii, 71 dies, et quarta unius, sed non fuit interuallum nisi 285 anni, 70 dies, 7 hore, et quinta unius. Ergo anni quantitas minor est 365 diebus et 6 horis. Differentia uero inter hec interualla est 23 hore et quatuor quinte unius, que sunt 19 20me unius diei. Proporcio autem 19 ad 20 est uelut 285 annorum ad 300 annos, quare conclusit Ptolemeus quod in 300 annis solaribus deficiet unus dies a numero dierum quem facerent 300 anni si annus ex 365 diebus et quarta unius constaret. Ideoque ueram anni quantitatem constare dixit ex 365 diebus et quarta unius minus 300ma parte diei. Hanc eandem quantitatem reperit uia simili per obseruationes plures.
Deinde Albategni anno a morte Alexandri 1206to, scilicet post Ptolomeum annis 743, obseruans, suam considerationem cum Ptolomei consideracionibus comparando, reperit in 106 annis unum diem deficere a numero dierum quem 106 anni constituunt dum quilibet ex 365 diebus et quarta constet, ideoque dixit annum esse 365 dierum et quarta unius minus 106ta parte diei, que est 13 minuta hore et tres quinte unius minuti. Nam consideratio Albategni fuit post predictam Ptolemei autumnalem considerationem annis 743 Egiptiis, 178 diebus, medietate et quarta diei minus duabus quintis unius hore. Ptolemeus enim in Alexandria considerauit; Albategni uero in Aracta que orientalior est in gradibus 10. Et equalitas Albategni fuit ante Solis ortum horis 4 et tribus quartis unius fere respectu sui meridiani; Ptolemei uero respectu meridiani Albategni fuit post ortum hora una et duabus tertiis unius. Sic ultra dies integros in interuallo fient hore 17 et tres quinte unius fere. Anni autem solares 743, unoquoque ex 365 diebus et quarta constante, sunt 743 anni Egiptii, et 185 dies, 18 hore, qui excedunt ipsum interuallum in 7 diebus et 25 minutis hore, que si diuisa fuerint per 743 annos solares, fiet ut uni anno proueniant 13 minuta hore et tres quinte unius minuti. Posuit igitur annum solarem 365 dies, 5 horas, 46 minuta, et duas quintas unius.
Propter huiusmodi diuersitatem in quantitate anni a uariis reperta, similibus tamen uiis et instrumentis quesita, Thebit causam huius diuersitatis inquirens permotus fuit ut motum octaue sphere, quem trepidationis dicimus, super duobus circulis paruis, in quibus capita Arietis et Libre mobilia circumferrentur, poneret. Qua positione tam uariationes declinationum ecliptice quam anni uarias quantitates saluare nititur, ut patet [in] huius motus qualitatem contemplanti. Dixitque anni quantitatem non esse tempus ab equinoctio ad simile equinoctium, nec a solstitio ad simile solstitium, sed reditum Solis ab aliquo puncto ecliptice mobilis in idem siue reuersionem Solis ab aliqua stella fixa ad eandem, quod dixit fieri in 365 diebus, 6 horis, 9 minutis, et 12 secundis.
⟨III.3⟩ 3. Medium motum Solis tabulare.
Ex premissa cognoscitur quanto tempore Sol medio motu suo circulum, idest 360 gradus, perficit. Per tot igitur dies et fractiones suas si 360 gradus diuiseris, habebis medium motum Solis in una die. Hunc Ptolemeus posuit 59 minuta, 8 secunda, 17 tertia, 13 quarta, 12 quinta, et 31 sexta. Ex hoc facile tabulas compones.
10
⟨III.4⟩ 4. Duos esse modos quibus motus planete equalis in orbe suo diuersus appareat in orbe signorum.
Unus est secundum orbem ecentricum tantum, alius secundum orbem concentricum cum epiciclo. Sit enim orbis ecentricus ABGD, cuius centrum E sit extra centrum mundi Z. Dyameter eius transiens per longitudinem longiorem A et propiorem D et per ambo centra sit AEZD. Dico si planeta moueatur equaliter in orbe ABGD, tunc motus eius apparebit diuersus super centro mundi Z. Sint enim AB et GD arcus equales. Ductis lineis EB, EG, ZB, et ZG, constabit per ultimam sexti angulos AEB et DEG esse equales. Sed AEB est maior angulo AZB, et GED est minor angulo GZD. Igitur angulus GZD maior est angulo AZB. Sed in tempore equali secat hos angulos propterea quod arcus AB equalis est arcui GD. Igitur motus equalis respectu E centri fiet diuersus respectu Z centri.
Item sit concentricus planete ABGD super centro mundi E, et in circumferentia huius concentrici sit centrum orbis epicicli A et circumferentia epicicli ZHTK. Et diameter transiens per centrum mundi, centrum epicicli et longitudinem longiorem epicicli Z et propiorem T sit ZATEG. Dico si centrum epicicli A moueatur equaliter in concentrico ABGD et planeta moueatur equaliter in circumferentia ZHTK, motus eius equalis in hiis apparebit diuersus super centro E. Nam ductis lineis EH EK, si planeta motus sit per arcum epicicli ZH, motus eius in epiciclo addet super motum centri epicicli in concentrico arcum anguli AEH. Et si motus sit per arcum epicicli TK, motus eius in epiciclo minuet de motu centri epicicli in concentrico arcum anguli AEK. Addet itaque super motum equalem per unam medietatem epicicli, scilicet ZHT, et per alteram, scilicet TKZ, minuet ab eodem. Sic in una medietate epicicli motus apparens maior est medio; in altera uero minor.
Hinc palam est secundum uiam ecentrici maior est motus apparens in longitudine propiori quam in longiori. Secundum uiam autem concentrici cum epiciclo, potest tam in longitudine longiori quam in propiori motus maior accidere. In figura enim ecentrici angulus GZD maior est angulo AZB. In figura autem epicicli dum centrum epicicli ab A uersus B moueatur, si motus planete sit a Z uersus H, maior est motus in longitudine longiori, sed si tunc motus planete esset a Z uersus K, minor esset motus in longitudine longiori et maior in propiori.
⟨III.5⟩ 5. Sumptis duobus arcubus in medietate ecentrici equalibus, qui longitudini propiori uicinior fuerit maiorem in centro terre subtendit angulum. Ex hoc constat quanto planeta longitudini propiori uicinior fuerit tanto motus eius apparens maior erit.
15
In ecentrico ABGD, cuius centrum E, diameter per longitudines longiorem et propiorem transiens sit AEZG, in qua centrum terre Z. Duo arcus TH BK sint equales. Unde angulus HET equalis erit angulo KEB. Dico angulum KZB maiorem esse angulo HZT propterea quod arcus KB longitudini propiori sit uicinior. TZ et BZ continuate occurrant periferie ecentrici in L et D. Ductisque lineis HL et KD et perpendicularibus super eas ZP et ZQ, quia angulus HLT est equalis angulo KDB per 25 tertii et angulus ZPL equalis angulo ZQD, igitur per 4 sexti proporcio ZD ad ZL sicut ZQ ad ZP. Sed ZD maior est ZL per 7 tertii, ergo ZQ maior est ZP. Linea autem HZ maior est linea KZ per eandem 7 tertii. Ergo per 8 quinti proporcio HZ ad ZQ maior est quam proporcio KZ ad ZQ, et per eandem HZ ad ZP maior est quam HZ ad ZQ. Igitur proporcio HZ ad ZP maior est proportione KZ ad ZQ. Quare ex ratione sinuum seu cordarum angulus ZKQ maior est angulo ZHP, ideoque duo anguli ZKQ et ZDQ simul maiores sunt duobus ZHP et ZLP. Igitur per 32 primi angulus KZB maior est angulo HZT, quod fuit ostendendum. Corrolarium manifestum est.
⟨III.6⟩ 6. Sumptis duobus arcubus in medietate epicicli superiori equalibus, qui longitudini longiori uicinior fuerit maiorem in centro terre subtendit angulum.
Sit epiciclus ABG super centro E diametro AEG transeunte per longitudinem longiorem A, propiorem G et centrum terre Z. Sumpti sint in parte superiori duo arcus HT et BK equales, HT quidem uicinior ad longitudinem longiorem. Dico angulum HZT maiorem esse angulo BZK. Secent enim TZ et KZ epiciclum inferius in L et M, et super continuatas HL et BM cadant perpendiculares ZP et ZQ. Sunt itaque HLT et BMK anguli equales per 25 tercii, ideoque eorum contrapositi ZLP et ZMQ sunt equales. P autem et Q sunt recti. Ergo per 4 sexti MZ ad LZ proportio est sicut ZQ ad ZP. Sed MZ est maior LZ per 8 tercii, igitur ZQ est maior ZP. Sed et ZH est maior ZB per eandem 8 tercii. Quare per 8 quinti HZ ad ZQ proportio maior est quam BZ ad ZQ; HZ autem ad ZP maior quam HZ ad ZQ per eandem. Igitur HZ ad ZP maior est quam BZ ad ZQ. Igitur ex ratione sinuum angulus ZBQ maior est angulo ZHP. Sed extrinseci eorum BMK et HLT sunt equales. Igitur residui duo intrinseci sunt inequales, scilicet angulus HZT maior angulo BZK, quod est intentum.
Ex his manifestum est tam per modum ecentrici quam epicicli stellam in temporibus equalibus in orbe signorum inequales arcus describere.
⟨III.7⟩ 7. Secundum modum ecentrici maxima differentia inter motum equalem et apparentem continget in puncto transitus medii, quem determinat linea motus apparentis super diametro per ambo centra eunte stans perpendiculariter.
20
Sit ecentricus ABGD, per cuius centrum E et per centrum mundi Z et longitudinem longiorem A et propiorem G transeat diameter AG. Linea motus apparentis stans super AG orthogonaliter sit ZB. Ductaque BE angulus diuersitatis inter motum equalem et apparentem est EBZ. Motus enim equalis tunc est angulus AEB, sed apparens est AZB. Fiant etiam duo alii anguli diuersitatum apud duo puncta T et K, qui sint ETZ et EKZ. Dico angulum B maximum horum esse. Continuetur enim BZ in D, et ducantur TD, ED, et KD. Quia per 7 tercii TZ est longior ZD, igitur per 19 primi erit angulus TDZ maior angulo DTZ. Sed EDT equalis est angulo ETD per diffinitionem circuli et quintam primi. Igitur residuus ZDE maior est residuo ETZ. Sed EDZ equalis est angulo EBZ. Igitur angulus EBZ maior est angulo ETZ. Similiter probabis EBZ maiorem esse EKZ.
Uel sic ostende. Sint H T puncta in arcu AB. Ductis EK et EL perpendicularibus super HZ et TZ, per penultimam primi patet EZ longiorem esse EK et EK longiorem EL. Sed EB, EH, et ET sunt equales, ergo per 8 quinti proportio TE ad EL maior est proportione HE ad EK, et HE ad EK proportio maior proporcione BE ad EZ. Ideoque ex ratione sinus angulus B est maior angulo H, et angulus H maior angulo T.
Ex hoc infertur: quanto linea motus apparentis puncto transitus medii uicinior fuerit tanto differentia inter motum equalem et apparentem est maior. Idem ostendere poteris de punctis inter B et G.
Hinc etiam constat arcum a longitudine longiori, idest puncto motus minoris, ad punctum transitus medii esse maiorem arcu a puncto transitus medii ad longitudinem propiorem, idest punctum motus maioris, in duplo maxime diuersitatis. Nam quanto angulus AEB est maior angulo AZB tanto eciam angulus GZB maior est angulo GEB. Ideo angulus AEB maior est angulo GEB in duplo anguli EBZ, quod est intentum.
⟨III.8⟩ 8. Secundum modum epicicli dum centrum epicicli in concentrico planetaque in epiciclo equecito circueant fueritque motus minor in longitudine longiori, maxima differentia inter motum equalem et apparentem continget dum linea motus apparentis a puncto longitudinis longioris quarta circuli distiterit.
25
Sit concentricus ABGD super centro E, sitque A locus centro epicicli dum planeta fuerit in longitudine longiori epicicli. Z uero sit locus centri epicicli dum linea EN motus apparentis distiterit ab A per quartam circuli seu angulum rectum AEN. Dico angulum ZEN, qui est diuersitas inter motum equalem et apparentem, esse omnium maximum. H sit longitudo longior epicicli. Propter motus proporcionales oportet angulum HZN esse equalem angulo ZEA. Ergo per 28 primi ZN equedistat AE. Ideo per 29 anguli coalterni AEN et ZNE sunt equales. Igitur ZNE quoque rectus erit. Quare per corolarium 15 tercii linea EN est contingens epiciclum, ideo fiet angulus ZEN maximus. Item sit centrum epicicli in duobus aliis punctis, puta T et K. Oportebit similiter angulum HTL esse equalem angulo TEA et HKM equalem angulo KEA propter positionem motuum equalium. Sic angulus HTL maior fiet angulo HKM, ideoque per 8 tertii EM longior fiet EL quod arcus HM minor sit arcu HL. Et ex hoc angulus TEL maior erit angulo KEM.
Palam est ergo: quanto linea motus apparentis fuerit puncto transitus medii uicinior tanto diuersitas inter motum equalem et apparentem est maior. Uoco autem punctum transitus medii B in concentrico quem indicat linea EN orthogonaliter stans super AG. Idem posset ostendi si puncta T et K essent inter Z et G.
Hinc iterum palam est: tempus quod est a puncto motus minoris ad punctum transitus medii maius est tempore quod est a puncto transitus medii ad punctum motus maioris in duplo tempore maxime diuersitatis. Quo enim angulus AEZ maior est angulo ZEG eo etiam angulus HZN maior est angulo NZE. Sed AEZ maior est angulo ZEG in duplo anguli ZEN. Igitur et cetera.
⟨III.9⟩ 9. Si tres motus equales sint, uidelicet stelle in ecentrico, epicicli in concentrico, stelleque in epiciclo, motu tamen eius in longitudine longiori existente minori, fuerintque ecentricus et concentricus eiusdem magnitudinis et semidiameter epicicli equalis distantie centrorum, quicquid diuersitatis secundum unum modorum accidit continget etiam secundum reliquum.
Sit concentricus ABG super centro D, et huic equalis sit ecentricus EZH super centro T. Diameter communis per longitudinem longiorem et propiorem amboque centra transiens sit EG. Concentrici arcus ad libitum sit AB. Super B tanquam centro epicicli descriptus sit epiciclus secundum quantitatem semidiametri BK equalis linee DT. Huius epicicli sectio cum ecentrico sit Z. Dico quod locus stelle secundum utrumque modorum erit in sectione tali. Nam propter equalitatem motuum semper sunt tres arcus AB, KZ, et EZ similes. Quadrilaterum etiam BZTD opposita latera habet equalia. Igitur semper est equidistantium laterum dum centrum epicicli extra A et G fuerit. Quare KBZ, BDA, et ZTE anguli semper sunt equales, ideoque motus apparens semper determinabitur linea DZ. Quare secundum utrumque modum locus stelle apparens est in puncto Z, unaque motus equalis et apparentis differentia. Nam secundum modum ecentrici differentia talis est angulus TZD, et secundum modum epicicli in concentrico ipsa est angulus BDZ. Ipsi autem sunt coalterni. Palam itaque est quod secundum epicicli modum stella ecentricum describit nec usquam ab eo discedet.
30
⟨III.10⟩ 10. Idem etiam accidet si circuli ecentricus et concentricus inequalis magnitudinis fuerint dum saltem proportio semidiametrorum ecentrici et concentrici sit sicut proporcio distantie centrorum ad semidiametrum epicicli.
Sit ecentricus ABG super centro D, diametro AG, in qua centrum mundi sit E, longitudo longior A, propior G, sitque stella in puncto ecentrici B. Palam est quod locus eius apparens est super linea EB et angulus diuersitatis motus equalis et apparentis est DBE. Sit deinde EH equedistans DB, et secundum quantitatem semidiametri EK sumptam ad libitum imaginor concentricum. Secundum modum itaque epicicli in concentrico, quando stella est in B, centrum epicicli erit in K propter motuum equalitatem et angulos ADB AEK equales. Sit igitur semidiameter epicicli KH tante quantitatis ut proporcio AD ad EK sit sicut proportio DE ad KH. Item sit KZ equedistans EA. Erit igitur secundum modum epicicli locus stelle in Z. Dico Z esse in directo linee EB ita ut EBZ sit linea una. Ducatur linea EZ. Quia ZK et EA equedistant, erit angulus KZE equalis suo coalterno AEZ. Item quia KE equedistat BD et ZK equedistat ED, igitur per 34 primi angulos oppositos equales esse oportet, scilicet BDE et EKZ. Sed et laterum proporcio est una quia BD ad EK sicut DE ad KZ. Quare per 6 sexti triangulus BDE est equiangulus triangulo EKZ, quare angulus KZE equalis est angulo DEB. Sed iam angulus KZE equalis fuit angulo AEZ. Igitur angulus DEB est equalis angulo AEZ, quare EB et EZ sunt linea una, quod fuit ostendendum.
Unde et angulus ZEK equalis est suo coalterno, scilicet angulo EBD, scilicet angulus diuersitatis secundum modum epicicli angulo diuersitatis secundum modum ecentrici. Patet itaque quod semper secundum quamlibet duarum radicum locus stelle apparens determinatur per lineam EB et diuersitas in utraque est una siue ecentricus concentrico maior sit siue minor.
⟨III.11⟩ 11. Iuxta modum ecentrici diuersitates motuum equalis et apparentis eedem sunt dum linea loci apparentis in orbe signorum a longitudine longiore et propiore equaliter distiterit.
Ut sit ecentricus ABGD super centro E. Centrum orbis signorum sit Z. Diameter per longiorem et propiorem sit AEZG, sintque anguli AZB, DZG, HZG equales. Dico tres angulos diuersitatis, scilicet B, H et D, esse equales. Est enim per 5 primi angulus B equalis angulo D. Sed et duo trianguli EHZ et EDZ sunt equalium laterum. Nam EH equalis ED ex ratione circuli, et ZH equalis ZD per 7 tercii. In punctis tamen A et G nulla erit motuum diuersitas.
35
Conuersa huius etiam patet. Sint anguli B et H equales. Dico angulos AZB et GZH esse equales. Nam si alter eorum maior esset, resecto eo ad equalitatem alterius, per hanc undecimam sequitur contra septime huius corolarium quod quanto linea apparentis motus puncto transitus medii uicinior fuerit non tanto differentiam diuersitatis maiorem esse, quod est impossibile.
Palam etiam est lineam transitus medii semper angulum motus apparentis inter puncta earundem diuersitatum contenti per equa secare.
⟨III.12⟩ 12. Iuxta modum epicicli idem etiam accidere.
Sit concentricus AGF super centro mundi D, punctus F locus centri epicicli dum stella fuerit in longitudine longiori epicicli, G uero dum in propiori. Item sint tria loca centri epicicli A, L, O in sitibus quibus linee motuum apparentium equaliter distiterint ab longitudine longiori et propiori in orbe signorum, ita ut linee motuum apparentium sint DZ, DN, DQ, ut tres anguli ZDF, NDG, QDG sint equales. Dico angulos diuersitatum, scilicet ADZ, LDN et ODQ, esse equales. Ex positione motuum equalium oportet AZ, LN et OQ equedistare diametro FG. Igitur tres anguli AZH, MNL, OPQ sunt equales quia eorum coalternus et intrinseci positi sunt equales. Hinc trianguli tres ZAH, NLM, QOP per 5 et 32 primi sunt equianguli. Sed latera ZA, NL, QO sunt equalia, igitur per quartam sexti ZH, NM et QP sunt equalia. Sed que fiunt ex ZD in DH et MD in DN et ex PD in DQ sunt equalia eo quod unumquodque horum equale sit ei quod fit ex ED in DT, ut patet ex 35 tercii. Quare si ZH, MN, PQ per equalia diuidantur, tunc per sextam secundi communemque scientiam probabis tres lineas ZD, MD, PD esse sibi inuicem equales. Sunt igitur trianguli ZAD, MLD, POD equalium laterum, scilicet quodlibet suo relatiuo. Per 8 primi concludes propositum, scilicet angulos ADZ, LDM, ODP esse equales.
Conuersam quoque huius ostendes: si anguli ADZ, LDN, ODQ sint equales, etiam angulos FDZ, GDN, et GDQ esse equales. Quoniam si alter maior esset, resecto ad equalitatem alterius per hanc 12 sequeretur contrarium corolarii octaue huius, quod est impossibile.
40
Ex hoc patet motum equalem, qui est angulus ADL in hac disposicione, equalem esse motui apparenti, qui est angulus ZDN, qui equaliter diuiditur linea eunte ad duos transitus medios. Item linea a centro mundi epiciclum secante et stella posita in duobus punctis sectionum equales habebit diuersitates motuum equalis et apparentis, ut linea DZ secante epiciclum in Z et H siue stella fuerit in H siue Z, angulus diuersitatis est ADZ. Tunc autem erit in H quando centrum epicicli situabitur in L. Erunt enim tunc H et N punctus unus. Angulus motus equalis a longitudine longiore, scilicet EAZ, maior est angulo motus apparentis, qui est AZD seu ZDT, in angulo ADZ, qui est diuersitatis. Preterea angulus motus equalis a longitudine propiori, qui est LDG seu DLN, minor est angulo motus apparentis ab eadem longitudine propiori, scilicet angulo MNL seu MDG, in angulo NDL, qui est eiusdem quantitatis cum angulo ADZ. Sic quantum in situ A unus excedit alium tanto in situ L excedetur ab alio dum a longitudine uiciniori fuerit computacio.
Ex premissis constat quod possibile est quod in diuersitate motus apparentis in aliqua stella causa fiat secundum unum modum tantum, uelut secundum modum ecentrici aut secundum modum epicicli in concentrico, in aliqua fiat secundum ambos. In Sole tamen una tantum diuersitas reperta est, uidelicet quod tempus a minore motu eius ad medium maius est tempore a medio eius motu ad maiorem semper. Ideo satis est assignare ei unum horum modorum tantum. Sed quia modus ecentrici planior et leuior est completurque uno motu tantum, modus autem epicicli duobus motibus indiget, ideo conuenientius est Soli ecentricum assignare.
⟨III.13⟩ 13. Proportionem semidiametri ecentrici Solis ad centrorum distantiam locumque longitudinis longioris ecentrici indagare.
Hipparchus inuenit tempus ab ingressu Solis in punctum equinoccii uernalis usque ad solsticium estiuum 94 dies et medium, a solstitio estiuo ad equinoctium autumnale 92 dies et medium. Similiter dicit se reperisse Ptolemeus. Ex his inuenit ecentricitatem et locum augis hoc modo. Sit orbis signorum ABGD super centro E, A quidem punctum uernale, B estiuale, G autumnale, D hiemale. Et quia tempus ab equinoctio uernali ad autumnale fuit plus anni medietate, ex hoc patuit augem ecentrici esse in medietate ecliptice ABG. Similiter quia tempus ab equinoctio uernali ad solstitium estiuum fuit maius tempore ab estiuo solstitio in equinoctium autumnale, ex hoc cognitum fuit augem ecentrici Solis esse in quarta zodiaci AB. Sit igitur in hac parte Z centrum ecentrici, et super eo ecentricus TKLM. Sintque due linee equedistantes duabus AG et BD secantes se in Z, NQ quidem equedistans AG et FR equedistans BD, ductaque linea EZ occurrat orbi signorum in H. Queritur quantitas linee EZ et arcus BH. Ex dictis constat quod Sol perambulat arcum TK in 94 diebus et medio et arcum KL in 92 duobus et medio. Ergo ex tabula medii motus Solis uterque horum arcuum notus erit. Sed FT est equalis FL, ideo FT notus. Et FN est quarta circuli; ideo NT notus fiet. Etiam ex notis TF et TK noscetur FK, ideo sinus arcuum TN et FK noti, qui sunt equales lineis ZC et CE. Ex quibus propter rectum angulum C nota erit ypotenusa EZ talium partium qualium ZF est sinus totus. Inuenit autem Ptolemeus eam 2 partes, 29 minuta, et medium fere qualium ZF est 60. Sic proporcio semidiametri ad ecentricitatem est ut 24 ad unum fere. Ideo maximam diuersitatem posuit 2 gradus 23 minuta. Ex lateribus trigoni ECZ noscetur angulus ZEC, cuius arcus est AH, distantia augis Solis a principio Arietis, quem Ptolemeus reperit 65 gradus et medium, sicut et Ipparchus reperit. Ex hoc conclusit Ptolemeus augem Solis immobilem et fixam respectu punctorum equalitatis uernalis et autumnalis.
Albategni reperit ecentricitatem predictam 2 partium, 4 minutorum, 45 secundorum et arcum BH 7 graduum 43 minutorum. Arzarchel autem, licet motum medium uariauerit, tamen eandem quam Albategni inuenit ecentricitatem, sed arcum BH 12 graduum 10 minutorum, quod certe mirum apparet cum Arzarchel post Albategni fuerit. Uide igitur cuius obseruacioni fidem habeas. Albategni ab equinoctio uernali ad solstitium estiuum inuenit 93 dies et horas 14 fere, sed ab equinoctio uernali ad autumnale 186 dies, 14 horas, 45 minuta; ideoque posuit maximam equationem Solis 1 gradus, 59 minuta, 10 secunda. Arzarchel post Albategni 193 annis quatuor considerationes fecit circa puncta 4 media inter puncta equalitatis et solstitiorum, et reperit BH esse 12 partes 10 minuta. Ideo coactus fuit dicere quod centrum ecentrici Solis moueretur in circulo quodam paruo uelut in Mercurio habetur.
45
⟨III.14⟩ 14. Aliter idem reperire.
Quia non sine magna difficultate per instrumentum haberi potest ingressus Solis in puncta tropica propter declinationem que in ea parte minimum uariatur, ideo per tria alia loca quorum obseruacio poterit esse certior, illud idem cogitauimus inuestigare. Uelut sint nobis per instrumentorum obseruacionem dati introitus Solis in ambo equinoctia, item in principium alterius signi uicini punctis equinoctiorum. Sit itaque ecentricus Solis HLT super centro Z. Centrum mundi sit E, aux H, oppositum augis O. LET sit linea distinguens loca Solis in ingressibus in punctum uernale T, autumnale L. Item Q sit punctus ingressus in principium Tauri aut medietatis eius, quod ideo eligo quod per instrumentum illud facilius deprehendi potest quam ingressus in principium Cancri. Ductis lineis QEP, TP, et perpendiculari PR super TL, quia tempus quo Sol perambulat arcum TQ est notum ex obseruationibus, ideo arcus TQ notus. Simili racione arcus LT notus ex noto tempore quo Sol perambulat arcum LOT. Item quia angulus TEQ est notus ex motu apparente per obseruaciones cognito et angulus intrinsecus QPT propter arcum QT, igitur reliquus intrinsecus PTL notus fiet. Quare arcus PL datus erit. Hinc ambo arcus PT et PQ dati, et corda PT, similiter corda PQ, notarum fiet partium qualium est OH diameter circuli duplum sinus totius. Preterea ex angulo QET seu sibi contra posito PER, nota fiet proporcio EP ad PR. Similiter ex angulo PTL, nota fiet proporcio TP ad PR. Quare et nota erit proporcio TP ad PE, ideoque PE et EQ date erunt in partibus quibus OH est diameter circuli nota. Sed quod fit ex PE in EQ est equale ei quod fit ex OE in EH per 34 tercii. Ideo quod fit ex OE in EH notum est. Sed per 5 secundi quod fit ex OE in EH cum quadrato ZE est equale quadrato ZH. Ideo sublato quod fit ex OE in EH a quadrato ZH, remanebit quadratum ZE notum. Ideo nota fiet ZE, que querebatur. Tunc ducta ZQ ex notis lateribus ZEQ cognoscetur angulus HEQ, distantia loci augis a loco zodiaci quem ostendit linea EQ.
Possemus idem etiam inuestigare per quecumque tria alia loca per tres obseruationes uerificata, sed non sine labore, ut sic. Sint tria loca A, B, C ex obseruacionibus tribus cognita. Sit centrum ecentrici Z, centrum mundi D. Linea per augem et oppositum augis sit KZDN. Ductis lineis AZ, ADE, BDF, CDG, BC, CE, item perpendicularibus ZR super AD, CM super BE, EF super BD, EG super CD, ex angulo ADB, qui est motus apparentis inter primam et secundam obseruationes et sibi contraposito FDE in triangulo rectangulo, nota erit proporcio DE ad EF. Ex arcu AB, qui est motus equalis inter primas consideraciones, et suo angulo AEB, item extrinseco FDE, notus erit alter intrinsecus DBE. Hinc in triangulo BEF rectangulo nota erit proporcio BE ad EF. Sed iam nota fuit DE ad EF, igitur BE ad ED proporcio nota fiet. Preterea ex angulo ADC, qui est motus apparentis inter primam et terciam obseruaciones, et suo contraposito GDE, nota erit proporcio DE ad EG. Ex arcu quoque AC, qui est motus equalis inter primam et tertiam obseruaciones, et angulo suo AEC extrinsecoque GDE, notus erit angulus reliquus intrinsecus DCE. Hinc in triangulo rectangulo CEG nota erit proportio CE ad EG. Sed iam DE ad EG data fuit, ideo proportio CE ad DE nota erit. Sed et BE ad ED cognita fuit, ideo proporcio BE ad CE fiet manifesta. Denique arcus BC datus est quia motus equalis inter secundam et tertiam obseruaciones; ideo sua corda BC nota fiet in partibus qualibus KN est duplum sinus totius. Ex arcu quoque angulus BEC notus. Hinc in triangulo ECM rectangulo proportio EC ad CM, etiam EC ad EM data erit. Hinc CM et EM note erunt in partibus quibus CE nota est, igitur et residua MB. Ex BM et MC, nota erit BC in partibus eisdem. Sed iam nota fuit in partibus quibus KN est duplum sinus totius. Igitur tam BE quam ED in eisdem cognite fient. Quare arcus BCE datus erit; hinc ABE et sua corda ADE, cuius pars DE iam nota fuit. Igitur et residua eius pars AD nota. Sed quod fit ex ED in DA cum quadrato ZD, ut superius patuit, equale est quadrato ZK. Ideo ZD nota fiet. Hinc ex trianguli AZD notis lateribus notus erit angulus ADK, et cetera.
Sed hec uia labore plena est, ut uides; ideo elige precedentem et serua ingressus in puncta equalitatis pro duabus obseruationibus. Pro tercia sume ingressum in quodcumque punctum medium in quartis 4, puta 15mum Tauri uel Leonis uel Scorpii uel Aquarii uel prope illa. Et ex quolibet horum cum duabus equalitatibus elicies quod dictum est faciliter. Poterisque equinoctia duo nunc cum illo, nunc cum alio iungere et uidere si in eandem semper concordem inuentionem perducaris.
⟨III.15⟩ 15. Quanta sit maxima diuersitas inter equalem et apparentem motum in quantaque elongatione a longitudine longiori acciderit patefacere.
50
Sit ecentrici ABG diameter ADEG, centrum D, centrum orbis signorum E, stetque EB orthogonaliter super AG. Ductaque DB ex septima huius patet angulum DBE esse quem querimus. Cum autem proporcio BD ad DE sit nota ex premissis duabus et triangulus sit orthogonius, notus erit angulus DBE, qui queritur. Hinc ADB extrinsecus etiam patefiet. Uarii obseruatores hanc maximam diuersitatem uariam inuenerunt, ut superius dictum est, quod accidit propter uariam proporcionem BD ad DE ab eis uarie repertam.
⟨III.16⟩ 16. Iuxta uiam ecentrici, dato angulo motus equalis a longitudine longiore, angulum diuersitatis reperire.
Sit orbis signorum ABG super centro D et ecentricus EZH super centro T, linea per longitudines longiorem et propiorem et ambo centra transiens EATDHG. Angulus motus equalis datus sit ETZ, scilicet quantitas arcus EZ. Ductis lineis ZTK et ZD et perpendiculari DK super ZK, angulus motus apparentis erit EDZ. Diuersitas eius ad motum equalem est angulus DZK, quem querimus. In trigono DTK orthogonio anguli T et D noti sunt, ideo proporcio laterum DT, TK, KD nota. Sed et proporcio ZT ad TD ex 13a huius nota. Ideo proporcio ZK ad KD nota, igitur angulus DZK notus, qui querebatur. Et ipse est differentia inter arcum EZ et arcum AB.
Econtra dato angulo EDZ motus apparentis notus erit ex hoc angulus ETZ. Sit enim TL perpendicularis super ZD. Propter angulum D trianguli DLT orthogonii notum, fiet proporcio DC ad DL et LT nota; ideo et proporcio ZT ad TL data, igitur angulus TZL notus. Hinc notus fiet angulus extrinsecus, scilicet ETZ, qui querebatur.
Preterea ex angulo diuersitatis, scilicet TZL, dato poterimus reperire angulum ETZ motus equalis. Nam propter angulum Z datum nota erit proportio ZT ad TL. Sed prius nota fuit proportio ZT ad TD. Ergo nota erit proportio DT ad TL, quare LDT, et hinc extrinsecus ETZ notus.
55
Corolarium. Quocunque trium angulorum, scilicet motus equalis, motus apparentis et diuersitatis, dato, noti quoque duo reliqui fient.
⟨III.17⟩ 17. Idem iuxta uiam epicicli ostendere.
Sit orbis concentricus super centro D orbis signorum, F quidem punctum centri epicicli dum Sol est in auge epicicli, arcus medii motus FA, cui similis sit arcus epicicli EZ. Unde AZ equedistabit FD. Querimus angulum ADZ et arcum BF. Quia angulus KAZ trigoni orthogonii datus est, igitur nota est proporcio AZ ad ZK et KA. Sed prius nota est proporcio DA ad AZ. Quare nota fiet proportio DK ad KZ, hinc DZ ad ZK; quare angulus ADZ notus, et cetera.
Econtra dato angulo FDB seu BZA motus apparentis, cognoscemus etiam duos reliquos angulos. Nam in triangulo orthogonio ZAL nota erit proporcio ZA ad AL. Quare et nota erit proporcio DA ad AL, ideo angulus ADZ notus; hinc extrinsecus ZAE, qui querebatur.
Preterea ex angulo diuersitatis, scilicet ADZ, reliqui duo anguli noti fient. Nam nota erit proportio DA ad AL. Ideo et nota fiet ZA ad AL; hinc angulus AZL notus, qui est [qui est] equalis angulo FDB motus apparentis, igitur et extrinsecus EAZ, qui est equalis motus.
60
⟨III.18⟩ 18. Iuxta uiam ecentrici, dato angulo motus equalis a longitudine propiore, angulum diuersitatis cognoscere.
Sit ecentricus EZH super centro T, orbis signorum ABG super centro D, sitque angulus HTZ datus. Querimus angulum DZT, similiter angulum GDB. Facta DK perpendiculari super TZ, trianguli DTK laterum proporcio nota erit, quare et ZK ad KD; hinc ZD ad DK, ergo angulus Z notus et extrinsecus ZDH, qui querebatur. Econtra ex angulo GDB dato reliquos sciemus. Facta TL perpendiculari super BD proporcio DT ad TL nota fiet, hinc ZT ad TL; ex hoc angulus Z et intrinsecus ZTD noti. Preterea dato angulo diuersitatis Z reliqui quoque noscentur. Nam nota fiet proporcio ZT ad TL, ideo etiam DT ad TL data; hinc angulus TDL seu GDB notus. Et reliquus ex hoc, scilicet HTZ, noscetur.
⟨III.19⟩ 19. Iuxta uiam epicicli idem reperire.
Sit concentricus FAG super centro mundi D, et sit G punctus super quo est centrum epicicli dum Sol est in longitudine propiori. Distet centrum epicicli a G per arcum GA seu angulum GDA motus equalis dati. Erit HT arcus similis arcui AG propter motus equalitatem, et angulus HAK equalis angulo GDA. Ideo proporcio AH ad HK et KA nota. Sed DA ad AH prius nota est. Igitur DK ad KH proporcio nota fiet, ideoque et DH ad HK noscetur. Notus ergo erit angulus HDK diuersitatis, hinc HDG motus apparentis.
Econtra ex angulo HDG motus apparentis reliquos noscemus. In triangulo HLA orthogonio ex angulo H dato, nota fiet proporcio HA ad AL, quare et DA ad AL data; ex hoc anguli LDA et ADG noti. Preterea dato angulo HDK nota fiet proportio DA ad AL, ideo HA ad AL nota. Quare angulus LHA equalis angulo LDG notus fiet; ex hoc et reliquus ADG, qui querebatur.
65
⟨III.20⟩ 20. Dato angulo motus apparentis equali angulo motus medii, angulum diuersitatis utriusque et distanciam a longitudine longiore aut propiori deprehendere.
Sit in ecentrico AGD super centro E, centrum mundi F, longitudo longior A, longitudo propior D. Angulo BEC motus equalis sit equalis angulus BFC motus apparentis. Propositum est inuenire angulum EBF et angulum AFB. Ducta linea BC cum angulus BEC sit equalis angulo BFC et anguli ad M contrapositi equales, erunt duo anguli diuersitatis B et C equales. Ex hoc igitur quadrilaterum BEFC est circulo inscriptibile. Alias enim per 26 tertii sequeretur impossibile contra 16am primi si circulus per tria puncta B, E, F transiens non iret per C sed abscinderet FC aut supra iret. Quia itaque angulus BEC datus est, ergo uterque reliquorum equalium EBC et ECB datus erit, ideoque EFB equalis ECB notus. Hinc arcus quos subtendunt in circulo trigono EBC circumscripto noti, quare angulo ECB seu EFB subtensa corda BE nota. Sed et proportio BE ad EF per 13 huius nota est. Quare arcus FE notus erit. Ideoque et angulus EBF notus fiet. Quare extrinsecus AEB dabitur. Angulum autem EFB equari angulo DFC probauit conuersa undecime huius, postquam anguli FCE et FBE sunt equales.
⟨III.21⟩ 21. Radicem motus equalis ad cuiuscumque temporis principium per obseruationem firmare.
Per tertiam huius habes medium motum tabulatum, et per 13am habes proportionem semidiametri ecentrici ad id quod cadit inter centra. Per 16 et 18 habes ex obseruatione et motu apparente motum equalem. Ex his nunc ad cuiuscumque temporis principium instans tue obseruationis antecedens aut sequens, poteris radicem medii motus firmare exemplo Ptolemei, qui supposuit augem seu longitudinem longiorem ecentrici immobilem. Reperitque distantiam puncti equalitatis autumnalis ab auge per 116 gradus 40 minuta secundum motum medium, uelut in figura 18e huius si B foret principium Libre. Ex angulo BDG, quem putauit 65 gradus 30 minuta quia oppositum augis posuit in 5 gradibus 30 minutis Sagittarii, reperit angulum ZTH 63 gradus 20 minuta. Uolens firmare radicem motus equalis ad principium annorum Nabonassaris, accepit considerationem suam subtilissimam et ueracissimam equalitatis autumnalis in 17o annorum Adriani die septimo mensis Athyr Egiptii post mediam diem duas horas equales fere. Anni uero a principio regni Nabonassaris usque ad mortem Alexandri fuere 424 anni Egiptii; hinc ad principium primi anni regni Augusti 294 anni. Et hoc principium fuit primo die mensis Tus et in media diem. Hinc ad dictam obseruationem 161 anni et 66 dies et 2 hore. Igitur a principio regni Nabonassoris, quod fuit in principio mensis Tus in media die precedente, usque ad horam huius considerationis fuerunt anni Egiptii 879 et 66 dies et due hore. Motus Solis medius in hoc tempore post integras reuolutiones fuit secundum positionem eius 211 gradus et 25 minuta; quem, si minuemus a loco Solis equali in dicta consideratione, remanebit locus Solis equalis 45 minuta prime partis Piscium in principio primi annorum Nabonassoris. Secundum hoc exemplum in aliis facito. Fuit autem dicta Ptolemei consideratio post principium annorum Christi 131 annis Egiptiis, 301 diebus, horis 2. Nam a principio annorum Nabonassaris ad inicium annorum Christi, transiuere 747 anni Egiptii et 130 dies.
⟨III.22⟩ 22. Dies naturales duplici causa inequales esse.
70
Dies naturalis dicitur tempus reuolutionis Solis per motum primi mobilis ab orizonte aut meridiano donec ad ipsum redeat. Sic quantum est temporis a puncto meridiei in punctum meridiei tanta est dies naturalis. Et hoc est tempus in quo reuoluitur totus equinoctialis et ultra hoc tanta porcio eleuationis quanta correspondet ei arcui ecliptice quem in illo tempore Sol perambulat. Hoc autem additamentum ultra integram equinoctialis reuolutionem duabus de causis diuersificatur. Una quidem quod Sol in temporibus equalibus inequales arcus de orbe signorum abscindit. Alia quod arcus equales ecliptice inequales habent ascensiones tam rectas quam obliquas. Oportet igitur propter additamenta hec duplici causa diuersificata dies naturales inequales esse, quod est propositum.
Ex hoc patet hos dies naturales, qui differentes dicuntur, non esse mensuram motuum aliorum cum inequales sint. Oportuit igitur in mensuram huiusmodi alios dies qui equales essent assumi hac ratione. Unus annus Solis est tempus in quo totiens reuoluitur equinoctialis quotiens est unitas in numero dierum anni reperti iuxta doctrinam secunde huius addita reuolutione una que reuoluitur cum motu Solis uero peracto in uno anno a Sole. Diuiso itaque hoc numero reuolucionum per numerum dierum anni, egreditur quantitas diei mediocris, scilicet reuolutio una equinoctialis cum additamento 59 minutorum et 8 secundorum equinoctialis iuxta quantitatem medii motus Solis in die. Hec uero additamenta inter se sunt equalia. Hinc constat dies mediocres inter se esse equales. Palam est igitur dies naturales differentes unum ab alio atque a mediocribus differre. Et licet unus dies differens parum a die una mediocri differat et insensibiliter, in pluribus tamen diebus hec diuersitas collecta quantitatem de qua curandum est efficit, ut patebit.
⟨III.23⟩ 23. Causa inequalitatis dierum propter diuersitatem motus Solis proueniens ab altera longitudinum mediarum incipit et ad oppositam finit, plurimumque differentie ex hoc collecte duplum est maxime diuersitatis motuum equalis et differentis in Sole.
Ideo incipit ab alterutra longitudinum mediarum quod ibi motus apparens motui medio adequatur ad diem unam. Procedendo autem per medietatem orbis signorum superiorem, in qua est longitudo longior ecentrici, patet medium motum differente maiorem esse in duplo anguli maxime diuersitatis. Sed procedendo per medietatem inferiorem, in qua est longitudo propior, medius motus minor est apparente seu diuerso in duplo eiusdem anguli. Sed duplum huius anguli Ptolemeus reperit 4 gradus et 45 minuta. Per superiorem itaque medietatem motus diuersus minuit a medio 4 partes et tres quartas unius; per inferiorem uero addit tantumdem. Quod igitur per ambas medietates procedendo de additione et diminutione consurgit simul est gradus 9 et medius. Tantum dies differentes maiores addunt super dies differentes minores propter hanc quidem causam.
⟨III.24⟩ 24. Quo loco causa inequalitatis dierum propter inequalitatem ascensionum aput orizontem obliquum proueniens incipiat uel desinat quantaque sit differentia tota ex hoc collecta ostendere.
75
Locus ille secundum uarietatem orizontium uarius est; in omni tamen regione ante tropicum estiualem et post tropicum hiemalem deprehenditur. Ibi enim est inceptionis principium ubi unus gradus ecliptice cum uno gradu equinoctialis oritur. Id igitur per tabulam ascensionum obliquarum orizontis tui deprehendes. Uide itaque quanta sit portio ecliptice inter hec duo loca et quanta sit huius portionis obliqua ascensio. Harum differentia est ea quam queris. Quantum autem ex hac causa sola dies mediocres addunt super differentes per portionem ecliptice in qua est Aries tantum differentes addunt super mediocres per reliquam portionem ecliptice. Ex hoc constat quod dies differentes maiores addunt super dies differentes minores duplum collecte differentie quantum prouenit ratione huius cause. Palam etiam quod differentia sic inuenta augmentum diei solsticialis super diem equinoctialis excedit propterea quod locorum in quibus inequalitatis huius est inceptio et finis, unus est ante tropicum estiuum, alius post tropicum hiemalem. Propterea itaque quod hec causa uaria sit secundum orizontum uarietatem, sed causa diuersitatis dierum que est propter inequalitatem ascensionum rectarum que fiunt respectu circuli meridiei est una in omni regione, comodius igitur est ut dies initium sumant ab instanti quo Sol in meridiano fuerit.
⟨III.25⟩ 25. Punctum in quarta ecliptice apud quod plurimum differentie est inter arcum ecliptice eo terminatum et ascensionem suam rectam determinare.
Sit quarta ecliptice a principio Arietis ad principium Cancri BA, quarta equatoris sibi conterminalis BG, quarta coluri distinguentis solstitia DAG, polus equinoctialis D. Erit GA maxima declinatio; complementum autem eius erit AD. Inter sinum arcus DG et sinum DA sit medio loco proporcionalis sinus cuius arcus sit DU. Per U eat circulus paralellus equinoctiali secans arcum ecliptice in E. Dico E punctum quesitum esse. Nam ducam quartam DEL, que secet equinoctialem in L. Sumamque ab utraque parte E puncta ad libitum, et sint Z et H, per que uadant quarte DZK DHT. Ab E ueniant duo arcus, scilicet EM perpendicularis super DZ et EN perpendicularis super HT. Probandum est quod differentia EB super BL est maior quam differentia ZB super BK, etiam maior quam differentia HB super BT. Primum sic. Ex theoreumatibus Gebri, quia EM et LK cadunt orthogonaliter super DK, ergo proporcio sinus LK ad sinum EM est sicut sinus DL ad sinum DE. Sed hec ex ypothesi est sicut proporcio sinus DE ad sinum DA. Et proportio sinus DZ ad sinum DA maior est proporcione sinus DE ad sinum DA. Quare proporcio sinus ZD ad sinum DA maior est proporcione sinus LK ad sinum EM. Sed proporcio sinus ZD ad DA est sicut proporcio sinus ZE ad sinum EM quod DA et EM sint perpendiculares super ZA et ZD. Igitur proporcio sinus ZE ad sinum EM maior est proporcione sinus LK ad sinum EM. Quare sinus arcus EZ est maior sinu arcus LK, et cum uterque eorum sit minor quarta circuli, erit arcus EZ maior arcu LK. Sed arcus EB est maior arcu BL sicut ED est maior DA. Etiam ZB est maior BK. Ideoque excessus EB super BL maior est quam excessus ZB super BK, quod est primum.
Secundum sic. Quia proporcio sinus LT ad sinum EN est sicut proporcio sinus LD ad sinum DE seu sicut sinus DE ad sinum DA. Hec autem maior est proporcione sinus HD ad sinum DA, sed proporcio HD ad DA sinuum est sicut sinus HE ad sinum EN. Igitur proporcio sinus LT ad sinum EN maior est proporcione sinus HE ad sinum EN. Igitur cum arcus sint minores quartis, LT arcus maior erit arcu EH. Sed HB est maior BT, etiam EB maior BL. Igitur differentia HB super BT est minor differentia EB super BL, quare patet secundum.
Igitur arcus EB est ille qui plurimum suam ascensionem rectam excedit. Inuenimus autem arcum DE esse 73 gradus 13 minuta et EL 16 gradus 47 minuta; hinc arcum BE 46 gradu 15 minuta et arcum BL 43 gradus 45 minuta et excessum BE super BL 2 gradus et medium.
80
⟨III.26⟩ 26. Arcus ecliptice plurimum a sua ascensione recta differens cum sua ascensione recta quartam circuli perficit, dum a puncto equalitatis inicium sumant.
Ut in figura sit arcus ecliptice BE ille qui plurimum ab ascensione sua differat, scilicet BL. Dico aggregatum ex EB et BL quartam circuli fieri. Trahitur ex demonstratis Milei. Sit in coluro solsticiali GD K punctus medius inter G et A, et KZ sit quarta circuli. Erit DZ medietas maxime declinationis. Quia ex Mileo trahitur quod proporcio quadrati sinus ZD ad quadratum sinus DK sit sicut proporcio sinus excessus EB super BL, qui est EM, ad sinum aggregati ex EB et BL, quanto igitur sinus aggregati ex EB et BL est maior tanto sinus EM est maior. Sed non potest esse maior sinu toto. Igitur quando EB et BL perficiunt quartam circuli, EM erit maximus, quod est propositum.
Uel sic. In figura superioris sinus EB ad sinum BL sicut sinus ED ad sinum DA. Sinus autem ED ad sinum DA ex posito sicut sinus LD ad sinum DE. Sed sinus LD ad sinum DE sicut sinus LG ad sinum EA. Quare sinus EB ad sinum BL sicut sinus LG ad sinum EA. Igitur quod fit ex sinu BE in sinum EA equale est ei quod fit ex sinu BL in sinum LG. Illud uero esse nequit nisi BE sit equalis LG et BL equalis EA. In duobus enim ortogoniis trigonis equalibus super una basi constitutis, necesse est ut duo latera unius sint equalia duobus lateribus alterius. Sunt enim inscriptibiles eidem circulo. Alias sequeretur per 30 tertii impossibile contra 16 primi. Et cum sint equales per 39 primi, erunt inter lineas equedistantes. Hinc ex angulis coalternis, 25 et 28 tertii, patebit propositum.
⟨III.27⟩ 27. Causa inequalitatis dierum propter inequalitatem ascensionum rectarum proueniens iuxta puncta media in quartis quas puncta principalia terminant incipit, atque iuxta punctum sequentis quarte medium desinit, totaque differentia cum collecta fuerit ad quinque gradus peruenit.
Ibi enim est hec inceptio ubi unus gradus equinoctialis cum uno gradu ecliptice in sphera recta oritur. Hoc autem contingit circa 16 Tauri, 14 Leonis, et punctis his oppositis, ut numeratio indicat. Sed porcio a 16 Tauri in 14 Leonis, que est 88 gradus, oritur in sphera recta cum 93 gradibus equinoctialis; propterea differentium dierum super mediocres differentia cum collecta fuerit quinque gradus perficit. Item porcio a 14 Leonis in 16 Scorpii, que est 92 gradus, oritur in sphera recta cum 87 gradibus equinoctialis; quare mediocrium dierum super differentes differentia cum collecta fuerit quinque gradus complet. Simile accidit in quartis oppositis. Palam igitur est quod dies differentes maiores superant dies differentes minores ob hanc causam quantitate 10 graduum.
85
⟨III.28⟩ 28. Quo loco principium additionis dierum differentium super mediocres sit, quantaque differentia tota sit ex utrisque causis simul collecta deprehendere.
Ex superioribus ad singulos dies differentias ex utraque causa prouenientes collige, et cum ambe sint addentes aut minuentes super dies mediocres aut ab eis, eas in unum iunge. Sed cum una fuerit addens, altera minuens, minorem de maiori deme. Sed cum una minuit tantum quantum altera addit, eo loco dies differens equalis est diei mediocri. Si tunc posthac ambe simul addant aut una plus addat quam alia minuat, fit ibi principium additionis. Si autem posthac ambe simul minuant aut una plus minuat quam altera addat, fit ibi principium diminutionis.
Plurimum uero huiusmodi aggregati quo ad additionem repertum est in portione que est a principio Scorpii usque ad medium signum Aquarii, sed quo ad diminucionem in porcione que est a medio Aquarii ad finem Libre. Nam in prima portione utraque differentia est addens, in altera utraque minuens. Et in his differentia ratione inequalitatis Solis est 3 gradus et due tertie; differentia autem ratione inequalitatis ascensionum rectarum est 4 gradus et due tertie, que simul faciunt 8 gradus et terciam unius, scilicet differentiam ex utrisque causis collectam. Illud uero quasi medietatem hore facit et 18uam partem hore, quam licet dum negligamus in Sole uel aliis planetis tardi motus, nihil erroris sensibilis fiat; in Luna tamen neglecta propter uelocitatem motus eius sensibilis fit error eo, quod ad tres quintas unius gradus fere attingat.
⟨III.29⟩ 29. Dies differentes in mediocres et econtra conuertere.
In tempore dato tam cursum Solis medium quam uerum numera. Uero cursui eleuationem in sphera recta correspondentem accipe, et eius ad medium motum Solis differentiam nota. Nam ipsa erit dierum equatio, cuius quilibet gradus 4 minuta unius hore representat. Tempus igitur huius equationis super dies differentes adde si eleuatio recta cursum medium excesserit, aut minues si econtra fuerit. Et exibunt dies mediocres. Si uero dies equales ad diuersos reducere uoles, in tempore similiter cursum uerum et equalem numera. Cursui uero ascensionem rectam respondentem accipe. Eius ad medium motum differentia erit dierum equacio, cuius tempus super dies equales aut mediocres adde si medius motus fuerit ascensione maior uel minue si econtra. Et prodibunt dies diuersi seu differentes. Hac uia certius deprehendes quod premissa exposuit.
90
Aduertendum autem si radix temporis posita fuerit super principium additionis, hanc differentiam semper addendam fore diebus differentibus ut ex eis fiant mediocres, semperque minuendam a mediocribus ut ex eis fiant differentes. Econtra si radix temporis posita sit super principium diminutionis. Exemplum predictorum, sit uerus motus Solis in die naturali ab equinoctio 59 minuta. Medius uero semper est 59 minuta fere. Ascensio respondens uero motui est 54 minuta. Differentia huius et medii motus est 5 minuta unius gradus equinoctialis. In tempus conuersa faciunt terciam unius minuti hore. Est igitur dies medius maior die differente in tertia unius minuti hore. Unus dies igitur differens conuersus in mediocres facit mediocrem minus tercia minuti hore. Sed unus dies mediocris conuersus in differentes efficit unum differentem et terciam unius minuti hore. Ex hoc exemplo habes causam conuersionis dierum differentium in mediocres et econuerso.
⟨III.30⟩ 30. Principium diminutionis dierum differentium a mediocribus aliter inquirere tabulamque equationis dierum componere.
Tale principium iam ostensum est esse circa medium Aquarii, sed supposita fuit aux Solis immobilis. Nunc uero cum aux Solis comperta est moueri, querendum erit principium hoc precisius. Erit autem principium illud in eo loco circa medium tamen Aquarii ubi motus Solis equalis correspondens uni gradui motus ueri fuerit precise equalis ascensioni recte correspondenti uni gradui ueri motus Solis. Et ante tale punctum principii oportet diem differentem maiorem esse mediocri, et post tale punctum principii oportet diem mediocrem maiorem esse differente. Sit itaque in figura ecliptice portio a sectione uernali uersus principium Capricorni BA, portio equatoris sibi conterminalis BG, polus mundi D. Item superficies ecentrici Solis in superficie ecliptice sit SHC, cuius centrum sit E, et centrum mundi F, longitudo propior S. Ex superioribus constat S esse sub principio Capricorni nostro tempore, scilicet sub A. Erit itaque principium diminucionis dierum differentium a mediocribus in portione AB. Sit ipsum punctum N, factoque MN gradu uno et NO gradu uno ductisque lineis et circulis ut in figura, uero motui NM respondent eleuatio recta QP et medius motus KH. Sic uero motui ON respondent eleuatio recta RQ et medius motus LK. Oportet si N est punctus principii diminutionis dierum differentium a mediocribus quod arcus RQ sit maior arcu LK et arcus KH sit maior arcu QP. Nam dum dies differens maior est mediocri, oportet ut additamentum uerum maius sit additamento medio, sed dum dies medius maior est differente, oportet ut additamentum medium maius sit additamento uero. Additamentum autem medium non est aliud nisi medius motus Solis in tempore dato. Additamentum autem uerum est ascensio recta que respondet uero motui Solis in tempore, ut patet ex ratione dierum differentium et mediocrium. Quare oportet ut ante punctum principii diminutionis dierum differentium a mediocribus, ascensio recta que respondet uero motui Solis in tempore dato sit maior medio motu Solis in eodem tempore, et post tale punctum sit econuerso.
Ad inquirendum igitur punctum N et componendum tabulam equationis dierum, primo compone tabulam qua ex uero motu Solis ab auge dato extrahitur medius motus sibi correspondens. Id fac secundum doctrinam datam in 16a huius. Eius tabule adiutorio facile habebis propositum. Pone N finem 21 gradus Aquarii et NM unum gradum, similiter NO unum gradum. Et sit aux Solis in principio Cancri. Erit igitur A principium Capricorni. Ex tabula distantie medii motus a uero, fiet LK 58 minuta 33 secunda, KH 58 minuta 35 secunda. Ex tabula ascensionis recte erit RQ 58 minuta 49 secunda, QP 58 minuta 38 secunda. Quia itaque RQ excedit LK, etiam QP excedit KH, sunt adhuc dies differentes maiores mediocribus. Erit N, scilicet 21us gradus Aquarii, ante principium diminutionis quesitum. Item si pones N 21 gradus Aquarii et 15 minuta, inuenies LK 58 minuta 34 secunda, KH 58 minuta 35 secunda, RQ uero 58 minuta 46 secunda, QP et HK 58 minuta 35 secunda. Cum itaque ante punctum N iam dies differens maior sit mediocri et in puncto N sint equales quod additamenta uerum et medium sint equalia, fiet hoc nostro tempore principium diminutionis dierum differentium a mediocribus in 21 gradibus 15 minutis Aquarii, quod querebamus.
Mutabitur tamen successu temporis secundum augis mutationem. Habito principio tali facile compones tabulam equationis dierum. Posui namque principium in fine 21 Aquarii. Feci deinde arcum NM unum gradum, post duos, deinde tres, et sic ad complementum circuli. Et arcui NM quesiui correspondentiam KH et QP, inuenique KH semper maiorem QP. Eorum differentiam tabulaui, nam ipsa est equatio dierum, addenda quidem ad tempus mediocre ut dies differentes exeant, et a differentibus minuenda ut tempus mediocre proueniat.
95
Finis tercii.
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Lewis & Short (Perseus, CC BY-SA). Morphology: LatinCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.