Library › Latin: Science & Medicine › Epitome Almagesti
The Epitome of the Almagest begun by Georg Peurbach and completed by his pupil Johannes Regiomontanus, dedicated to Cardinal Bessarion, who had urged Peurbach to undertake it. In the dedication Regiomontanus laments that in his time teachers and students of the best disciplines are so rare, blaming not the difficulty of the subject but men’s corrupted nature, inclined to vice and indifferent to virtue and good arts, unlike the ancients who strove to enrich posterity with learning. The thirteen books then restate the Almagest concisely, with improved proofs and critical observations.
Printed at Venice in 1496, the Epitome became the standard introduction to Ptolemaic astronomy for the generation of Copernicus, who studied it closely. It combined a thorough mastery of Ptolemy with critical remarks on his lunar theory and other problems, and so helped prepare the ground for the astronomical reforms of the sixteenth century. The dedication to Bessarion also documents the cardinal’s patronage of Greek and mathematical studies, which brought Peurbach and Regiomontanus into contact with Greek manuscripts of Ptolemy.
About this edition. The Latin text comes from Corpus Corporum, the Latin text repository of the University of Zurich (edition: Corpus 29, Ptolemaeus Latinus (Corpus Corporum)), reused with attribution for non-commercial purposes (CC BY-NC-SA). Every word has been analyzed with LatinCy, a neural language model for Latin — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from Lewis & Short’s A Latin Dictionary.
Latin · Science & Medicine
Epitome Almagesti
Regiomontanus · ⟨VI⟩ ⟨Liber VI⟩ · every word parsed
1
Sextus incipit.
⟨UI.1⟩ Quo pacto tempus et locus medie coniunctionis luminarium reperiatur.
Exemplum Ptolemei quo primam mediam coniunctionem in annis Nabonassaris extraxit. Ex eis que premissa sunt in superioribus libris, habuit quod in meridie primi diei mensis Tuz quo fuit principium annorum Nabonassaris, locus Solis medius fuit 45 minuta principii Piscium; media elongatio Lune a Sole 70 gradus 37 minuta. Argumentum Solis, quod uocauit medii loci Solis ab auge circuli sui distantiam, fuit 265 gradus 15 minuta; argumentum medium Lune 268 gradus 49 minuta. Et distantia medii loci Lune a puncto circuli decliuis maxime septentrionali, quam uocamus argumentum latitudinis Lune ⟨medium⟩, fuit 354 gradus 15 minuta. Diuisit igitur elongationem mediam Lune a Sole per elongationem huiusmodi que fit in uno die, et prodierunt 5 dies, 47 minuta, et 33 secunda unius diei. Fuit igitur ante meridiem primi diei mensis Tuz per 5 dies et sua minuta proxima que precessit media luminarium coniunctio. Sed mensis lunaris, hoc est tempus ab una coniunctione media ad proximam, habuit 29 dies, 31 minuta, et 50 secunda unius diei. Igitur a meridie primi diei mensis Tuz per 23 dies, 44 minuta, et 17 secunda unius diei fuit proxima sequens media luminarium coniunctio. Oportuit itaque eam fuisse 24ta die mensis Tuz post meridiem minutis 44 et 17 secundis. Preterea addidit radicibus prefatis medios motus Solis, argumentum Lune, et argumenti latitudinis Lune in diebus 23, minutis 44, et 17 secundis, et exibant in predicta media coniunctione locus medius luminarium 24 gradus, 8 minuta, 50 secunda Piscium; argumentum Solis 288 gradus, 38 minuta, 50 secunda; argumentum Lune medium 218 gradus, 57 minuta, 15 secunda; argumentum latitudinis Lune medium a puncto maxime septentrionali computando 308, 17, 21. Ad similitudinem huius exempli in ceteris agas.
⟨UI.2⟩ 2. De tabulis coniunctionum et oppositionum luminarium disserere.
5
Fabricauit Ptolemeus tabulas deseruientes huic negotio super meridianum Alexandrie et ad annos principii Nabonassaris. In differentia prima posuit annos collectos et currentes per 25 ita ut in prima linea poneret annum primum Nabonassaris et in directo eius tempus prime coniunctionis medie, scilicet dies mensis Tuz 24, minuta 44, 17 secunda. Item argumenta Solis et Lune et latitudinis Lune media, que in premissa reperta fuerunt. In secunda uero linea posuit annum 26tum Nabonassaris et in directo huius numeri tempus, scilicet dies et minuta mensis Tuz quo fuit coniunctio prima media, et argumenta Solis et Lune et latitudinis Lune hoc ingenio. Considerauit quod in omnibus 25 annis Egiptiis in tempore anticiparentur coniunctiones medie in 2 minutis, 47 secundis, et 5 tertiis diei; ideo per huius numeri subtractionem perfecit aream temporis prime coniunctionis usque ad 1101mum annum Nabonassaris. In hoc uero tempore motus Solis medius ultra integras reuolutiones fuit 353 gradus, 52 minuta, 34 secunda, 13 tertia; argumentum Lune medium 57 gradus, 21 minuta, 44 secunda, unum tertium; et argumentum medium latitudinis Lune 117 gradus, 12 minuta, 49 secunda, et 54 tertia. Per horum motuum additiones ad primas radices, perfecit totam differentiam primam, que est coniunctionum mediarum in annis collectis.
Ad similitudinem huius posuit differentiam secundam, que est oppositionum mediarum. Dixit enim medium mensem lunarem esse 14 dies, 45 minuta, 55 secunda; motumque Solis medium in hoc tempore 14 gradus, 33 minuta, 12 secunda; argumentum Lune medium 192 gradus, 54 minuta, 30 secunda; argumentum latitudinis medium 195 gradus, 20 minuta, 6 secunda. Id diminutum ex radicibus prime coniunctionis primi anni Nabonassaris reliquit radices prime oppositionis medie eiusdem anni Nabonassaris, quibus habitis continuauit eas quoque sicut radices coniunctionum ad 1101mum annum Nabonassaris.
Deinde perfecit differentiam tertiam, que est coniunctionum et oppositionum in annis expansis. Considerauit enim excessum 13 lunationum super 365 dies, et fuit 18 dies, 53 minuta, 51 secunda, 48 tertia; item in hoc tempore 13 lunationum motus Solis medius 18 gradus, 22a minuta, 59 secunda, 14 tertia; argumenti Lune medii 335 gradus, 37 minuta, 1 secundum, 51 tertia; argumenti latitudinis medii 38 gradus, 43 minuta, 3 secunda, 51 tertia. Considerauit etiam spatium 12 lunationum, quod fuit 354 dies, 22 minuta, unum secundum, 40 tertia; et in hoc tempore motum Solis 349 gradus, 16 minuta 36 secunda, et 16 tertia; argumentum Lune 309 gradus, 48 minuta, 1 secundum, 52 tertia; argumentum latitudinis medium 8 gradus, 2 minuta, 49 secunda, 42 tertia. Ex his perfecit tabulam annorum expansorum ad annos 25, aliquando quidem addendo numeris positis in prima linea 12 lunationes cum motibus suis et inde abiciendo 365 dies, aliquando excessum 13 lunationum dictum cum motibus suis. Tunc quidem 12 lunationes cum uidit si excessum dictum addidisset plus una lunatione prouenisset.
Tandem tabulam mensium posuit, quam ad 12 extendit. Una enim lunatio fuit 29 dies, 31 minuta, 50 secunda, et 4 tertia, et 20 quarta; in hoc tempore motus Solis medius 29 gradus, 6 minuta, 23 secunda, 1 tertium; argumentum Lune 25, 49, 0, 8; argumentum latitudinis 30, 40, 14, 9. Ex his compleuit tabulam mensium uia additionis.
⟨UI.3⟩ 3. Usum talium tabularum depromere.
10
Cum annis currentibus a principio Nabonassaris intra tabulas. Quod si precise inueneris numerum eorum in annis collectis, in directo eorum habebis coniunctionem aut oppositionem mediam in primo mense, scilicet Thoth, atque motum argumenti Solis medii et argumenti Lune et argumenti latitudinis Lune ad eandem. Si uero supersunt anni ultra collectos proxime minores in tabula repertos, cum eis intra tabulam annorum expansorum, et que in directo eorum inueneris iunge cum eis que cum collectis annis accepisti, quodlibet quidem suo generi. Et consurget coniunctio uel oppositio media computando tempus a principio mensis Thoth, et motus dicti ad eandem. Deinde per additionem positorum in tabula mensium, habebis quamcumque uoles coniunctionem sequentem aut oppositionem.
⟨UI.4⟩ 4. Superationem ueram Lune in hora considerare.
Scire preoportet ueros motus Solis et Lune in hora. Id communiter queritur. Et certior est uia equandi Solem et Lunam ad principium talis hore, item ad finem eiusdem; tunc diferentia motuum erit motus in hora quesitus.
Facilius sic, et habebis rationem compositionis tabule motus ueri in hora. Considera equationem argumenti Solis ad tempus pro quo cupis habere motum Solis uerum in hora. Huius equationis et equationis argumenti proximo uno gradu maioris differentiam nota, de qua sume partem proporcionalem secundum proportionem 2 minutorum et 28 secundorum ad 60 minuta, quam deme ab 2 minutis et 28 secundis si argumentum Solis sit minus 93 gradus uel adde eisdem si plus usque ad 180 gradus. Et exibit uerus motus Solis in hora. Sic compones tabulam ad semicirculum. Ratio est quia argumentum Solis augetur in una hora per 2 minuta et 28 secunda. Item similiter fiat in Luna. Considera equationem argumenti Lune dati, item equationem argumenti uno gradu maioris. De differentia harum sume partem proporcionalem secundum proportionem 41 minuti et 49 secundorum ad 60 minuta. Hanc subtrahe a 32 minutis et 56 secundis si argumentum fuit minus 95 gradibus aut adde si a 95 in 180. Sic compones tabulam ad semicirculum. Ratio quia argumentum uerum Lune post unam horam a coniunctione media uel ante differt ab argumento medio in hora coniunctionis medie per motum argumenti medii in hora et equationem centri que uni hore correspondet, que simul faciunt 41 minuta 49 secunda. Equationes etiam Lune crescunt usque ad 95 gradus argumenti, post ad semicirculum decrescunt. Habitis motibus ueris Solis et Lune in hora, aufer motum Solis de motu Lune, et manebit superatio quesita.
⟨UI.5⟩ 5. Ueram applicationem luminarium et locum dinumerare.
15
Ex antepremissa primum mediam applicationem cognoscas cum argumentis Solis et Lune. Ex quibus secundum doctrinas superiores uera loca luminarium deprehendas. Quod si concordia fuerit, tempus medie applicationis est et tempus uere. Si discordia, differentiam eorum nota. Huic, ut Ptolemeus dicit, adde suam duodecimam quod tantum interea fere Sol moueatur, et totum diuide per motum uerum Lune in hora repertum per premissam, uel melius differentiam eorum simplicem diuide per superationem ueram Lune in hora. Et tempus quod sic proueniet est distantia inter ueram et mediam applicationem. Sequetur autem uera mediam si locus Solis precessit locum Lune; si uero locus Lune precessit Solem, tunc per dictum tempus ex diuisione proueniens, secuta fuit media ueram. Hinc motus Solis in hora ductus in tempus distantie inter ueram et mediam applicationem producet uerum motum Solis in dicto tempore, per quem noscetur locus applicationis uere. Uerum quia id opus aliquando non sufficit licet sit prope uerum, ideoque oportebit equare ad hoc tempus sic inuentum loca luminaria secundario. Et si reperietur concordia, satis est; si discordia, opus est iterum more priori tempus uerum elicere.
⟨UI.6⟩ 6. Duabus eclipsibus quibus Luna fuit prope longitudinem propiorem epicicli, semidiametros umbre et Lune elicere.
Prima fuit in octauo annorum Naboth, qui fuit a principio annorum Nabonassaris annus quingentesimus et septuagesimus quartus, transactis 27 diebus mensis Famenoth, qui est septimus Egiptiorum, cuius mane fuit dies 28uus, et fuit a principio hore octaue ad finem hore decime. Plurimum partis eclipsate a parte septentrionis fuit 7 digiti. Tempus medium fuit post medium noctis duabus horis temporalibus et medietate, et Sol in 7 gradu Tauri. Tempus a principio annorum Nabonassaris fuit 573 anni, 206 dies, 14 hore, et tertia unius temporis differentis, sed medii fuit 14 hore tantum usque ad medium huius eclipsis; locus Lune medius 7 gradus 49 minuta Scorpii, uerus 6 gradus 19 minuta eiusdem; argumentum 160 gradus 40 minuta; et argumentum latitudinis a puncto maxime septentrionali 98 partes 20 minuta. Secunda fuit anno 607mo annorum Nabonassaris diebus mensis Tobi quarti transactis duobus, cuius mane fuit dies tertius, ante medium noctis hora una equali, medietate et tertia. Et eclipsatum a parte meridiei fuit 3 digiti, Sole in 5 gradu et octaua unius partis Aquarii; tempus a principio Nabonassaris 606 anni Egiptii, dies 91, hore 10, et sexta hore fere utriusque temporis; Luna secundum medium motum in 5 gradibus 15 minutis Leonis, secundum uerum 5 gradibus 8 minutis eiusdem; argumentum 178 gradus 46 minuta; argumentum latitudinis a puncto maxime septentrionali 80 gradus 36 minuta. Quia itaque distantia Lune a nodo in prima eclipsi fuit 8 gradus 20 minuta, fuit latitudo Lune meridionalis 43 minuta 3 secunda. Et in secunda, distantia a nodo fuit 10 gradus et tres quinte; fuit latitudo meridiana 54 minuta, medietas et tertia. Differentia autem partium eclipsatarum fuit tertia diametri Lune, et differentia latitudinum 11 minuta 47 secunda. Necesse est igitur ut tota diameter Lune fuerit 35 minuta et tertia. Huius uero quarta est 8 minuta, medietas et tertia, scilicet pars eclipsata in secunda eclipsi, equalis parti diametri ab extremitate umbre ad centrum Lune. Ea ablata a latitudine Lune in secunda eclipsi, manebunt 46 minuta, semidiameter umbre in loco transitus Lune dum Luna fuerit prope oppositum augis epicicli. Sic iterum reperta est eadem proporcio semidiametri Lune ad semidiametrum umbre que superius et ita firmauit eam.
Quidam semidiametros Lune et umbre in applicationibus, Luna inter augem epicicli et oppositum eius existente, ex his que in auge et opposito reperte sunt, sic inueniunt. Sit epiciclus AGB super centro D in applicationibus, A quidem aux, B oppositum augis, E centrum mundi. Sitque Luna in G. Semidiameter Lune in A est minima, in B maxima que esse potest in applicacionibus, et differentia ex dictis nota est, que sit LM. GZ sit sinus argumenti AG. Erit igitur GZ sinus notus et similiter ZA sinus uersus. Sed AB est notarum partium quibus DE est 60. Igitur in eisdem AZ, ZG, ⟨ZD⟩ note fient; igitur EZ nota. Hinc EG nota, que sit equalis EH, quare AH data. Sine sensibili autem differentia proportio BA ad AH est ut LM ad augmentum quo semidiameter Lune existentis in G excedit semidiametrum eius existentis in A. Quare illud augmentum notum erit; hinc semidiameter umbre nota fiet.
Certior tamen uia hec reperiendi superius in 22a quinti data est. Ostensis itaque quantitatibus semidiametrorum Lune et umbre in maxima accessione ad terram tempore eclipsis, prefiniuntur termini eclipsium, ut sequitur.
20
⟨UI.7⟩ 7. Terminos eclipsium solarium prefinire.
Ex premissa patet semidiametrum Lune maximam in eclipsibus esse 17 minuta 40 secunda. Semidiameter autem Solis ex superioribus habetur 15 minuta 40 secunda, que licet propter ecentricitatem Solis uariabilis sit, id tamen non curatur quod fere sit insensibile. In contactu itaque eclipsis solaris distantia inter ambo centra luminarium fit 33 minuta 20 secunda. Diuersitas autem aspectus in latitudine maxima que esse potest in omnibus climatibus septem communiter positis uersus meridiem quidem est 58 minuta, et tunc diuersitas aspectus in longitudine est maior que esse potest 15 minuta; sed uersus septentrionem est 8 minuta, et tunc diuersitas aspectus in longitudine est 30 minuta. Sed etiam plurimum differentie quod cadere potest inter locum uerum applicacionis uere et locum medium applicacionis medie est 3 gradus, quod habetur si maxime equationes luminarium iungantur et totius 13a pars accipiatur et huius etiam 13a propterea quod dum Luna perambulat agregatum maximarum equationum, Sol interea perambulat 13am huius et dum Luna hanc 13am secat, Sol quoque interea per 13am huius moueatur. Quod itaque Sol secat in tempore quo Luna agregatum maximarum equationum transit est duodecima pars fere huius agregati. Que duodecima si iuncta fuerit cum maxima equatione Solis proueniet quod plurimum intercidere potest inter locum medium medie applicacionis et locum uerum uere applicationis, idque secundum numerationem Ptolomei est 3 gradus. Et illud est fere equale differentie inter argumentum latitudinis medium in hora medie applicacionis et argumentum latitudinis uerum in hora uere applicacionis. Non enim differt hec ab illa nisi in motu Capitis in hoc tempore.
Sit igitur ecliptica AB, deferens Lune BD. Et sit D locus Lune uerus, uisus autem in coniunctione uisibili sit E, et arcus AEG orthogonalis super eclipticam, A locus Solis. Erit igitur G locus uisus Lune in deferente, AZ semidiameter Solis, EZ semidiameter Lune, sitque DE diuersitas aspectus in circulo altitudinis. Erit DG fere diuersitas aspectus in longitudine, EG in latitudine. Dum igitur diuersitas aspectus in latitudine fuerit ad partem meridiei, quod semper contingit dum Luna a polo orizontis uersus meridiem fuerit, erit EG 58 minuta. AZE autem est 33 minuta 20 secunda. Sic fiet AG 1 gradus, 31 minuta, 20 secunda. Proportio autem AG ad GB prope est sicut unum ad 11 et semis, quod patet ex maxima Lune latitudine et uia que data superius est declinationes ecliptice et latitudines Lune tabulandi. Fiet igitur arcus BG 17 gradus 30 minuta fere. Sed cum G sit locus uisibilis coniunctionis, ponamus ueram adhuc futuram. Dum igitur Luna transit arcum GD, qui est 15 minutorum, Sol interea transit duodecimam huius, que duodecima sit GK. Erit itaque K locus uere coniunctionis. Sic arcus BK erit 17 gradus 31 minuta fere. Ponamus quoque quod media coniunctio etiam adhuc futura sit, sed inter uerum locum uere et medium locum medie, ut superius tactum est, cadere possunt 3 gradus. Centrum igitur epicicli in media coniunctione distabit a nodo 20 gradibus et medio fere.
Sed dum EG diuersitas aspectus in latitudine fuerit uersus septentrionem maxima, scilicet 8 minuta, Luna tamen in latitudine meridiana existente, ita intellige BG portionem deferentis ab ecliptica meridianam, erit AG 41 minuta. Hinc GB secundum proportionem dictam erit prope 7 gradus 52 minuta; GD uero 30, cuius duodecima est 3 minuta fere. Sic KB erit 7 gradus 55 minuta, cui KH, scilicet 3 gradus, additi faciunt 10 gradus 55 minuta fere.
Ptolemeus tamen addidit illos tres gradus super agregato ex distantia uisi loci Lune in uisibili coniunctione et diuersitate aspectus in longitudine, sed cum ipsi sint differentia maxima inter medium locum medie coniunctionis et uerum locum uere coniunctionis, oportet ut addantur ad distantiam ueri loci Lune in hora uere coniunctionis ut exeat distantia centri epicicli Lune a nodo in hora medie coniunctionis qua possibile est ut Luna Solem contingat secundum uisum. Ideo termini ecliptici sui paulo maiores sunt. Habemus igitur per omnia septem climata terminos eclipticos solares hos, uidelicet medium argumentum latitudinis meridiane a nodo 10 gradus 55 minuta et argumentum latitudinis septentrionalis a nodo 20 gradus et medius fere. Extra hos autem terminos non est possibilitas eclipsis solaris in dictis climatibus, sed in media coniunctione, centro epicicli Lune existente intra dictos terminos, possibilis est Solis eclipsis. Albategni autem, quia alias semidiametrorum quantitates seu equationum maximarum ponit, dicit terminos hos: in meridiem quidem 10 gradus 40 minuta, in septentrionem 20 gradus 12 minuta.
25
⟨UI.8⟩ 8. Lunaris eclipsis terminos assignare.
Sit AB ecliptica, BG decliuis circulus Lune, sitque A centrum umbre, G uero centrum Lune dum circuli umbre et Lune uisuales maximi se primum contingant in Z. Erit GZ 17 minuta 40 secunda et ZA 45 minuta 56 secunda. Quare AG fiet unus gradus, 3 minuta, et 36 secunda, ideoque secundum proportionem dictam GB fiet fere 12 gradus 12 minuta. Si itaque media oppositio sequatur ueram per maximam distantiam possibilem, addendi sunt gradus 3 de quibus dictum est, et fiet 15 gradus 12 minuta maxima distantia centri epicicli Lune a nodo in oppositione qua Luna contingit circulum umbre sine eclipsi. Extra hunc terminum non est possibile Lunam eclipsari. Albategni tamen dicit terminum esse 14 graduum 45 minutorum.
⟨UI.9⟩ 9. Solem aut Lunam in sex mensibus bis eclipsim pati est possibile.
Intelligamus ABGD circulum Lune decliuem, qui secet eclipticam in nodis A et G Capitis et Caude, et medietas septentrionalis sit ABG, meridionalis GDA. Termini ecliptici a parte septentrionali sint E et F, a parte meridiana sint K et L. Erunt itaque AE et FG in solaribus uterque 20 graduum et medii, sed GL et AK 10 graduum 55 minutorum. Quare arcus EBF continet 139 gradus. Medius autem motus argumenti latitudinis in 6 mensibus lunaribus equalibus habet 184 gradus et minutum unum integris reuolucionibus semotis. Quare motus argumenti latitudinis in 6 mensibus maior est arcu EBF et minor arcu KBL. Item LDK est 158 gradus 10 minuta; quare dictus motus argumenti latitudinis maior est arcu LDK et minor FDE. Possibile est igitur quod si nunc motus latitudinis sit in termino ecliptico, quod post sex menses iterum cadat in terminum eclipticum Solemque in sex mensibus bis eclipsari. Item in lunaribus eclipsibus fient arcus terminorum 15 gradus 12 minuta. Quare tam EBF quam LDK fient 149 gradus 36 minuta. Erit igitur motus argumenti latitudinis dictus utroque horum maior, minor tamen arcu KBL aut FDE. Patebit itaque uerum esse quod dicit propositio.
⟨UI.10⟩ 10. Lunam in quinque mensibus bis eclipsari est possibile, cumque id accidit, necesse est ut in ambabus eclipsibus uersus eandem partem porrigantur tenebre.
30
Sit enim ut in his quinque mensibus Sol uadat a longitudine media sui ecentrici per propiorem uersus alteram longitudinem mediam, eritque tunc motus Solis uelox; Luna autem in epiciclo ultra integras reuolutiones perficiat motum per partem epicicli superiorem ubi tarda cursu existit. Fient igitur hii quinque menses maiores in quibus Sol mouetur motu suo maiore et Luna minore. Medius ⟨motus⟩ Solis et Lune in quinque mensibus mediis abiectis reuolucionibus fiet 145 gradus 32 minuta. Et sumamus ut longitudo propior Solis diuidat hunc per equa. Addet igitur super medium cursum equatio Solis hinc inde sumpta 4 gradus 38 minuta. Motus autem Lune in epiciclo in 5 mensibus est 129 gradus 5 minuta. Hunc quoque per equa diuidat longitudo longior epicicli. Minuet igitur ex medio cursu equatio hinc inde sumpta 8 gradus 40 minuta. In tempore itaque 5 mensium illorum quod Sol sit uelox, Luna autem tarda cursu, precedet Sol Lunam in 13 gradibus 18 minutis; hoc est uerus motus Solis maior est uero motu Lune in hac quantitate. Sed dum Luna id perambulat donec Solem consequatur, Sol duodecimam huius mouetur, que est 1 gradus 6 minuta. Hec duodecima si addatur super 4 gradus 38 minuta, que fuerunt differentia ueri motus Solis et medii, prouenient 5 gradus 44 minuta, scilicet quantum 5 menses maiores addunt super 5 menses medios. Oportet enim in talibus disposicionibus primam harum oppositionum uerarum precessisse mediam tanto tempore quanto ultima harum mediam sequitur. Constat autem quod differentia locorum applicacionum, ueri quidem in uera et medii in media, fere equalis est differentie argumentorum latitudinis ueri in uera et medii in media. Quare differentia argumentorum latitudinis ueri et medii in predictis quinque mensibus erit fere 5 graduum 44 minutorum. Sed argumentum latitudinis in 5 mensibus mediis est 153 gradus 21 minuta, ideoque argumentum uerum latitudinis in 5 ueris mensibus lunaribus est 159 gradus 5 minuta. Termini denique ecliptici lunares Luna existente in longitudine media epicicli sunt 11 gradus et 30 minuta. Tunc enim agregatum semidiametrorum Lune et umbre est gradus unus propterea quod Luna in auge epicicli existente in applicacionibus tale agregatum sit 56 minuta 24 secunda, sed in propiori longitudine epicicli sit 1 gradus, 3 minuta, 36 secunda. Respice modo figuram premisse. Fiet iam uterque arcuum EF et LK 157 gradus, ideo minor argumento uero latitudinis in 5 mensibus maioribus per 2 gradus 5 minuta. Si igitur hic motus latitudinis ab E per unum gradum in arcu AE ceperit et finierit in arcu FG per unum gradum fere ab F, possibile est ut in utraque fiat eclipsis Lune. Sic etiam ostenditur per arcum LDK. Et dum motus iste fuerit per arcum EBF, eclipsabitur in utraque eclipsi pars meridiana Lune; sed per arcum LDK, septentrionalis. Uerum tales obscurationes ⟨fere⟩ sunt insensibiles.
⟨UI.11⟩ 11. Lunarem eclipsim in septimo mense iterari non est possibile.
Ostensio similis est que precedens. Accipiamus ad hoc septem menses minimos qui possibiles sunt, et oportet ut in his Sol moueatur minore suo cursu, Luna uero maiore. In 7 mensibus equalibus motus luminarium medius est 203 gradus 45 minuta; argumentum Lune 180 gradus 43 minuta. Sit autem ut longitudo longior Solis per equa diuidat Solis medium et longitudo propior Lune per equa diuidat argumentum istud. Fiet igitur ut equatio Solis hinc inde sumpta minuet ex motu medio 4 gradus 42 minuta, et equatio Lune addet medio motui 9 gradus 58 minuta. Erit igitur in hoc tempore 7 mensium medius Solis minor motu uero Lune in 14 gradibus 40 minutis. Huius autem duodecima est 1 gradus 13 minuta; addita super equationem Solis facit 5 gradus 55 minuta, scilicet quantitas qua uerus Solis in 7 mensibus minoribus deficit a medio cursu Solis in mensibus 7 equalibus. Sed tantum etiam differt argumentum latitudinis uerum in 7 mensibus minoribus ab argumento latitudinis medio in 7 mensibus mediis. Argumentum autem latitudinis medium in 7 mensibus mediis est 214 gradus 42 minuta. Quare argumentum latitudinis uerum in 7 mensibus minoribus erit 208 gradus 47 minuta. Totus autem arcus in figura KBL aut FDE non est nisi 203 gradus, Luna quidem in longitudine media epicicli existente. Non est igitur possibile si Luna eclipsatur in oppositione prima 7 mensium minorum, quod etiam eclipsetur in ultima illarum, quod fuit propositum.
⟨UI.12⟩ 12. Solem in quinque mensibus bis eclipsari in pluribus plagis terre habitatis non est prorsus impossibile.
Ponamus ad hoc quinque menses maiores, ut in antepremissa. Ostensum est uerus motus latitudinis Lune in his est 159 gradus 5 minuta. Agregatum autem duarum semidiametrorum Solis et Lune cum fuerint in longitudinibus mediis est 32 minutorum 20 secundorum; est enim medium inter agregatum quod fit in auge et id quod fit in opposito augis. Si itaque latitudo Lune fuerit 32 minutorum 20 secundorum, fiet Lune a nodo distantia 6 gradus 12 minuta. Quare arcus EBF seu LDK, in quo non contingit eclipsis, fiet 167 gradus 36 minuta. Palam igitur si nulla nullam habuerit diuersitatem aspectus in latitudine, non esse possibile ut bis sit Solis eclipsis in 5 maioribus mensibus propterea quod arcus EBF aut LDK sit maior uero motu latitudinis in 5 magnis mensibus — maior inquam per gradus 8 et 31 minuta. Et si uerum motum latitudinis disposuerimus ut per punctum B maxime declinationis diuidatur per equa, distabit quilibet suorum terminorum a nodo per 10 gradus 28 minuta fere. Horum latitudo est 54 minuta et medium fere, a qua cum sublatum fuerit agregatum semidiametrorum Solis et Lune, remanet 22 minuta et medium fere, excessus latitudinis terminorum ueri motus latitudinis super tale agregatum, qui bis sumptus, scilicet hinc et illinc a partibus B, facit 45 minuta, que sunt etiam latitudo argumenti latitudinis graduum 8 et 31 minutorum, ut patet ex proportione sepe dicta unius ad 11 cum dimidio. Seruatur enim hec proportio circa terminos eclipticos ubique, ut in figura GF ad FO sicut GN ad NP sic etiam FN ad NM dum MP sit equalis FO. Sic cum FN est 8 graduum 31 minutorum erit NM, scilicet differentia NP super FO, 45 minutorum.
35
Ad cognoscendum autem quibus horis et locis ecliptice id fieri possit, uidendum est tempus quinque mensium maiorum, quod taliter deprehenditur. Tempus quinque mensium equalium habet 147 dies, 15 horas, et medietatem et quartam unius hore. In hoc ut patuit cum Luna sit tarda cursu, Sol uelox, uerus motus Solis maior est uero motu Lune in 13 gradibus 18 minutis, quod spatium dum Luna medio motu perambulat ad Solis consecutionem, interea Sol duodecimam huius transit. Fit ergo totum 14 gradus 24 minuta, quod si diuisum per medium cursum Lune in die fuerit, proueniunt dies una, hore 2, et quarta unius. Luna enim in talibus coniunctionibus fere motu medio mouetur. Differentia ergo quinque mensium maiorum super quinque medios est dies una, hore due, et quarta. Quare tempus quinque mensium maiorum fit 148 dies 18 hore fere. Liquet igitur si prima earum fuerit iuxta Solis occasum, fiet altera sex horis ante Solis occasum. Item si prima fuerit tribus horis post meridiem, erit altera tribus horis ante meridiem. Item uerus motus Solis in predicto tempore 5 mensium maiorum, prout ex antepremissa colligitur, est 151 gradus fere, quos longitudo propior Solis per equa diuidit, que cum nostro tempore sit in principio Capricorni. Fiet locus prime coniunctionis in 15mo gradu Libre et locus secunde in 15mo Piscium uel circiter hec loca. In quibuscumque igitur climatibus ita accidit quod, 15 gradu Libre uersus occasum descendente, item 15mo Piscium prope medium celi existente, diuersitas aspectus Lune in latitudine in uno horum locorum aut in ambobus simul agregata maior fuerit 45 minutis, in eis in talibus coniunctionibus fit Solis obscuratio. Sub equinoctiali uero in dictis locis et horis coniunctionum, dum diuersitates aspectus in latitudine agregantur, non attingunt 45 minuta. Sed a climate secundo incipiendo deinceps uersus arctos, 45 minuta transcendunt, ideoque in his plagis possibile est uidere Solis eclipsim bis in quinque mensibus, quantoque plaga septentrionalior tanto possibilitas maior quod diuersitas in latitudine augeatur. Neque hoc contingit nisi cum Luna uiam in latitudine septentrionali fecerit a Capite uersus Caudam ita ut in prima eclipsi fuerit iuxta E et in secunda iuxta F.
⟨UI.13⟩ 13. Solis eclipsim in septem mensibus bis fieri eidem plage terre contingit.
Sint septem menses minores. In his patuit uerum argumentum latitudinis Lune esse 208 gradus 47 minuta. Sed arcus FDE ex premissa est 192 gradus 24 minuta, qui est a termino ecliptico accedente ad Caudam ad terminum eclipticum recedentem a Capite. Clarum est igitur si Luna diuersitatem aspectus non habeat in latitudine, non est possibile ut Sol bis eclipsetur in his septem mensibus, scilicet in prima harum coniunctionum et extrema propterea quod 208 gradus 47 minuta excedant arcum FDE in 16 gradibus 23 minutis. Arcus autem ueri motus latitudinis dispositus ut punctum D, quod est maxime latitudinis in meridiem, diuidat ipsum per equa; distabit quilibet suorum terminorum a nodo gradibus 14 minutis 23. A latitudine his correspondente ablata quantitate semidiametrorum luminarium, excessus bis sumptus facit 1 gradus 25 minuta fere. Et tanta etiam est latitudo argumenti latitudinis 16 graduum 23 minutorum, ut patet ex proportione unius ad 11 et semis. Ita si incipias argumentum uerum latitudinis computare ab F procedendo per D, ipsum excedet arcum FDE in gradibus dictis, qui sint EN. Quare termini sui latitudo, scilicet NP, excedet latitudinem puncti E, que est EO, scilicet agregatum semidiametrorum luminarium, in parte proporcionali ad 16 gradus et 23 minuta secundum proporcionem unius ad 11 et semis; et ipsa est NM 1 gradus 25 minuta. Liquet igitur si in septimo mense eclipsis Solis redire debeat, quod oportet Lunam habere diuersitatem aspectus in una harum coniunctionum aut agregatum ex eis in ambabus que sit maior uno gradu 25 minutis.
Uidendum est autem in quibus horis et quibus locis id fieri queat. Tempus 7 mensium equalium habet 206 dies 17 horas fere, in quo Sol tardiore cursu, Luna uelotiore mouetur et medius Solis minor uero Lune in gradibus 14 minutis 40, quem arcum cum sua duodecima Luna medio cursu perambulat in die una et horis quinque. Septem igitur menses minores qui esse possunt habent dies 205 et horas 12. Quare tempus coniunctionis extreme fiet post dies integros ab hora coniunctionis prime horis 12; ideoque si prior fit iuxta Solis ortum, altera erit iuxta Solis occasum. Uerus autem motus Solis in dictis 7 mensibus minoribus, ut ex antepremissa colligitur, est 198 gradus fere, quos aux Solis per medium diuidit, que nostro tempore est in principio Cancri. Fiet locus prime coniunctionis harum circa 21 gradus Piscium et alterius circa 9 gradus Libre. In plagis uero septentrionalibus a quarto climate incipiendo, in predictis locis et horis contingit ut diuersitates aspectus in latitudine ablata diuersitate aspectus Solis excrescant super uno gradu 25 minutis. Ideoque in illis climatibus possibile est ut Solis eclipsis in 7 mensibus bis uideatur. Necesse est autem ut id accidat Luna in prima coniunctionum accedente uersus nodum Caude, in secunda uero ⟨ea⟩ a nodo Capitis recedente.
⟨UI.14⟩ 14. Eclipsim Solis in uno mense bis fieri apud homines unius climatis est omnino impossibile.
40
Licet ad hoc omnium causarum conuenientia sit impossibilis, ponamus tamen ad imaginationem causas congregatas esse, scilicet ut Luna sit in coniunctionibus in longitudine propiori, et sic maximam diuersitatem aspectus in latitudine habeat, et ut sit lunatio minima que esse possit, et sic motus uerus argumenti latitudinis in mense fiat minimus et minimum addat super arcum circuli decliuis inter duos terminos eclipsis solaris contentam, et ut sint coniunctiones ille in horis et locis quibus maxime fiunt diuersitates aspectus. Quia itaque in uno mense equali medius motus luminarium est 29 gradus 6 minuta et argumentum Lune 25 gradus 49 minuta, sit ut longitudo longior Solis per equa hunc arcum medii Solis diuidat et longitudo propior Lune argumentum Lune etiam per equa diuidat. Fiet ut equatio Solis hinc inde sumpta minuet ex medio Solis unum gradum et 8 minuta, et argumentum Lune addet 2 gradus 28 minuta. Equaciones autem ille coniuncte faciunt 3 gradus 36 minuta. Huius duodecima pars, scilicet 18 minuta, si addita equationi Solis fuerit, producitur gradus unus minuta 26, scilicet differentia qua uerus Solis in minimo mense deficit a medio motu Solis in mense equali. Sed tantum etiam fere differt argumentum latitudinis uerum in minimo mense ab argumento latitudinis medio in mense equali. Argumentum autem latitudinis medium in mense equali est 30 gradus 40 minuta, ideoque cursus uerus latitudinis in mense minimo est 29 gradus 14 minuta. Ponamus autem ut hunc nodus per equa diuidat. Habebit unusquisque terminorum suorum latitudinem unius gradus, 16 minutorum, et medii fere, que duplicata facit 2 gradus 33 minuta fere, scilicet latitudinem argumenti 29 graduum 14 minutorum secundum proportionem sepe dictam. Agregatum autem semidiametrorum luminarium Luna in longitudine propiori existente est 33 minuta, que ablata a gradu uno et 16 minutis et medio relinquunt 43 minuta, que ab utraque parte sumpta nodi, id est bis sumpta, faciunt unum gradum 27 minuta fere. Non est igitur possibile ut Sol bis eclipsetur in mense uno nisi ut Luna nullam habeat diuersitatem aspectus in latitudine in una coniunctionum et in altera diuersitatem aspectus habeat maiorem gradu uno et 27 minutis, aut sit ei in utraque coniunctione diuersitas aspectus in eandem partem et differentia ipsarum maior gradu uno et 27 minutis, aut sit ei in utraque coniunctione diuersitas aspectus in partes contrarias et agregatum ipsarum sit maius gradu uno et 27 minutis. Oportet enim in eclipsibus ut latitudo uisa in utraque coniunctione sit minor agregato semidiametrorum, quod fieri non potest in his coniunctionibus nisi conditiones iam dicte seruentur. Est etiam opus ut latitudo uera Lune in prima cum latitudine uera Lune in secunda simul perficiant 2 gradus et 33 minuta, que est latitudo ueri argumenti latitudinis in mense minori.
Uerum non est locus in terra in quo diuersitas aspectus Lune ad Solem in latitudine sit maior gradu uno et 27 minutis, nec est locus in quo in utraque coniunctione differentia diuersitatum aspectus in latitudine in eandem partem sit maior uno gradu et 27 minutis. Si igitur debet uno mense bis eclipsari Sol, oportet ut diuersitas aspectus in utraque coniunctione sit in partes contrarias et agregatum earum sit uno gradu maius et 27 minutis. Sub equinoctiali autem maxima diuersitas aspectus in latitudinem non est maior 25 minutis in quamcumque partem; neque in aliquo septem climatum uersus septentrionem procedendo, diuersitas aspectus in latitudine maior est gradu uno. Quare non est possibile ut uni plage terre Sol bis uno mense eclipsetur.
Nihil tamen prohibet homines unius habitabilis plage eclipsim Solis uidere et in sequenti coniunctione alterius plage homines etiam eclipsim Solis habere quod ambe diuersitates aspectus eis contingentes in partes contrarias simul maiores esse possunt gradu uno et 27 minutis, ut si una plaga esset ad meridiem ab equatore, ad septentrionem alia. Patet igitur non esse possibile quod in uno mense Sol bis eclipsetur apud homines unius climatis aut diuersorum dum ab eadem parte equatoris sint. Contingens tamen est in locis contrariorum situum ab equatore.
⟨UI.15⟩ 15. Transitum Lune in circulo decliui inequales arcus in ecliptica secare, uerum differentiam longitudinum in ambobus circulis admodum paruam esse.
A nodo A sint duo arcus sumpti, ecliptice quidem AG, circuli decliuis Lune AB. Sit autem Luna in B. Procedat a puncto B arcus circuli magni perpendicularis super eclipticam, qui sit BG. Palam est quod uerus locus Lune in ecliptica est in puncto G. Dato autem arcu AB per scientiam datam de ascensionibus rectis notus erit arcus AG, qui semper erit minor arcu AB. Et per scientiam 24te tercii huius maxima differentia que inter hos esse potest reperitur 6 minutorum, et hoc dum arcus AB est circiter 45 gradus. Et latitudo maxima Lune supposita est iam 5 graduum. In terminis uero eclipticis differentia arcuum AB et AG maxima esse potest 4 minuta, ut si arcus AB sit 20 graduum, reperies AG esse 19 graduum 56 minutorum. Est enim proportio sinus BZ ad sinum ZF sicut proporcio sinus BA ad sinum AG dummodo Z sit polus ecliptice et AF et AL quarte. Cogniti autem sunt BZ et ZF et BA. Nam LF est 5 graduum. Et proportio sinus AF ad sinum FL sicut proportio sinus AB ad sinum BG. Sic dum AB est 20 graduum, BG est gradus unius et 42 minutorum. Item a puncto G cadat perpendicularis super AB, que sit GD. Quia proportio sinus AL ad sinum LF sicut proporcio sinus AG ad sinum GD, inuenies GD insensibiliter differre a GB. Nam dum AB est 20 gradus, reperies GD esse 1 gradus 42 minuta fere. Nihil igitur erroris sensibilis sequetur si loco arcus GD in eclipsibus sumatur arcus GB, etiam si loco arcus AD sumatur arcus AB, quoniam si G sit centrum Solis uel umbre, fiet B uerus locus Lune in uera applicatione, sed D uerus Lune in medio eclipsis. Est tamen possibilis arcuum GD et AD scientia, ut iam ostensum est de arcu GD. Arcum autem AD inuenies per uiam qua inuente sunt ascensiones recte ex arcu AG iam noto, uel quia sinus complementi DG ad sinum complementi GA proportio sit sicut sinus totius ad sinum complementi DA. Si quis tamen, dicit Ptolemeus, huius rei exactam scientiam querat, multo iustius illum operis difficultas angat quam utilitas delectetur.
45
⟨UI.16⟩ 16. In eclipsi lunari ex latitudine Lune in medio eclipsis et agregato semidiametrorum Lune et umbre, digitos ecliptice prenoscere.
Sit circulus designans umbram in loco transitus Lune BF; semidiameter eius AB; semidiameter autem Lune sit linea BC ita ut agregatum ambarum semidiametrorum sit ABC; portio ecliptice AD; circulus Lune decliuis DE, in quo locus Lune in medio eclipsis sit E. Si itaque latitudo Lune AE sit equalis agregato semidiametrorum, scilicet AC, constat quod Luna continget circulum umbre et nihil eius eclipsabitur. Sed si latitudo Lune AE sit minor linea AC ita tamen ut sit maior linea AB, fiet eclipsis Lune parcialis. Ideo sublata latitudine AE ab agregato semidiametrorum, scilicet AH, remanebit EH, que est equalis FG parti diametri Lune eclipsate. Et cum tota diameter Lune sit nota, constituta ipsa 12 digitorum, constabit quot digitorum sit FG. Hoc fit si duxeris FG in 12 et productum diuiseris per diametrum Lune. Si autem latitudo Lune minor esset semidiametro umbre in quantitate semidiametri Lune, fieret eclipsis totalis sine mora, et sic esset 12 digitorum. Quando uero semidiameter umbre excedit latitudinem Lune in pluri quam semidiametro Lune, tunc fit eclipsis totalis cum mora. Quando autem Luna careret latitudine, tunc in medio eclipsis centrum eius esset centrum umbre, fieretque eclipsis Lune maxima que possibilis est, precipue si foret cursu tarda.
Quando itaque uoles inuenire digitos eclipticos, aufer latitudinem Lune ab agregato semidiametrorum. Reliquum duc in 12, et diuide per diametrum Lune. Si proueniunt puncta pautiora 12, erit parcialis eclipsis; si precise 12, erit uniuersalis ⟨sed⟩ sine mora; si plura 12, erit uniuersalis cum mora. Conuersa huius quoque nota est. Cum uelis ex digitis eclipticis et semidiametris Lune et umbre latitudinem cognoscere Lune in medio eclipsis, duc digitos in diametrum Lune uisualem et diuide per 12. Quod exit aufer ab agregato semidiametrorum, et manebit latitudo quesita. Huius agregatum, hoc est distantiam a nodo, reperies uel per tabulam latitudinis Lune uel per proporcionem unius ad 11 et semis uel precisius si uoles per triangulum speralem AED. Ex angulo D et latere AE et angulo E, inuenies latus AD, hinc ED, quod queritur. Uerum in precedenti ostensum est ea insensibiliter differre.
⟨UI.17⟩ 17. Minuta casus minutaque more cum moram habet in eclipsi lunari determinare.
Sit A centrum umbre in ecliptica AB, circulus Lune decliuis BE, in quo sit in principio contactus Lune et umbre centrum Lune G, E uero centrum Lune in medio eclipsis. Erit AE ex premissis orthogonalis super BF. Minuta itaque casus que queruntur sunt arcus GE, cui sit equalis arcus EF. Eritque fere finis eclipsis in F, et principium in G. Ductis arcubus magnis AG et AF fiet tam AG quam AF agregatum ex semidiametris umbre et Lune, et AE latitudo Lune in medio eclipsis uel arcus parum ab ea differens ex antepremissa notus. Si tribus arcubus trianguli AEG utaris tanquam rectis lineis, nihil diuersitatis erronee sequetur propter horum paruitatem; ideoque quadratum AE aufer a quadrato AG, et remanebit quadratum EG. Quare EG notus, qui querebatur. Similiter si Luna eclipsabitur cum mora, sit M centrum Lune in principio totalis obscuracionis et N centrum eius in fine totalis obscurationis. Fiet iterum EM fere equalis EN, et uterque horum arcuum dicitur minuta more. Et erit AM aut AN excessus semidiametri umbre supra semidiametrum Lune, ideo notus. Et sic ex arcubus EA et AM modo predicto inuenies quantitatem arcus EM. Uerum si precisionem sequi placet, poteris ex scientia trianguli speralis EAG, cuius duo latera EA et AG et angulus E rectus nota sunt, inuenire quantitatem arcus EG. Est enim proporcio sinus complementi AG ad sinum complementi GE sicut proportio sinus complementi EA ad sinum totum.
50
Quidam minuta casus et more, que per uiam rectarum linearum inuenerunt, definiciora sic reddunt. Sit ecliptica AB, in qua A centrum umbre. Agregatum ex semidiametris umbre et Lune sit AM, et uia obliqua Lune BMZT. Sitque M centrum Lune in contactu umbre, Z centrum Lune in oppositione uera, et T centrum Lune in contactu umbre postquam liberata est eclipsi, AD orthogonalis super AB. Erit in oppositione uera latitudo Lune AZ. Ex minutis itaque casus prius inuentis, dum duodecimam superadicies, addiscas argumentum latitudinis ad principium et finem eclipsis, scilicet minuta casus cum sua duodecima auferendo ab argumento latitudinis AZ et eidem addendo. Ex quibus habebis latitudines Lune ad principium et finem eclipsis. Ad principium sit AE, ad finem AD. Ex EA et AM propter rectum angulum E nota fiet EM; et ex ME et EZ notis nota fiet ZM minuta casus a principio eclipsis ad ueram oppositionem. Similiter ex TA et AD propter angulum D rectum nota fiet TD, ex qua et DZ nota erit ZT, scilicet minuta casus a uera oppositione ad finem eclipsis. Simili uia de minutis more procedunt. Uerum, ut superius ostensum est in antepremissa, parum utilitatis hoc affert. Si tamen utique precisionem amas, age opus secundum uiam antepremisse ut arcum inter uerum locum oppositionis et locum medii eclipsis cognoscas, et tunc inuenies cuncta definitiora.
⟨UI.18⟩ 18. Tria tempora in eclipsi Lune particulari seu quinque in uniuersali diffinire.
Si non habet moram, tria tempora reperies, scilicet principium, medium, et finem. Ueram oppositionem ex dictis habes, que nihil uel parum a medio eclipsis differt. Si tamen differt et uoles precisius definire medium, ipsum ex doctrina data in 15a huius cognosces. Arcum BD in figura eiusdem et cum sua duodecima diuide per motum Lune in hora, uel ipsum solum per superationem Lune in hora diuide; et exibit tempus inter ueram oppositionem et medium eclipsis, ex quo cognosces medium eclipsis. Item minuta casus diuide per superationem Lune in hora, et exibit tempus a principio ad medium, tantum quoque est a principio ad finem. Si moram habet, habebit tempora 5, scilicet principium contactus umbre, principium totalis obscurationis, medium, finem totalis obscurationis, et finem eclipsis. Principium et finem reperies ut antea. Deinde diuide minuta more per superationem Lune in hora, et exibit tempus quod est a principio totalis obscurationis ad medium eclipsis, et tantum est a medio ad finem totalis obscurationis. Ex his facile habebitur locus Lune in punctis horum temporum siue minuta casus cum sua duodecima addendo ad locum Lune in medio eclipsis et deinde demendo; item minuta more cum sua duodecima addendo ad locum Lune in medio eclipsis aut demendo; siue uelis agere per tempus casus aut tempus more multiplicando ipsum per motum Lune diuersum in hora et productum addendo et demendo ut dictum est. Ex his quoque latitudines Lune ad principia et fines facile disces.
⟨UI.19⟩ 19. Uisum locum Lune in ecliptica ex uero eius loco dato ostendere.
Ad instans datum diuersitatem aspectus Lune in longitudine ex premissis in libro quinto huius collige. Et si Luna fuerit inter ascendens et 90m gradum ab ascendente, diuersitatem aspectus Lune in longitudine adde super uero loco eius ad instans datum, et exibit locus eius uisus. Sed si Luna fuerit inter gradum occidentem et 90m gradum ab ascendente, diuersitatem aspectus ⟨dictam⟩ minues ex uero loco Lune, et proueniet quod queris.
55
⟨UI.20⟩ 20. Latitudinem Lune uisam comprehendere.
Ex prioribus habeas latitudinem Lune ueram ad instans datum et diuersitatem aspectus in latitudine. Et si ambo fuerint in eandem partem ab ecliptica, unam alteri iunge. Si diuersarum parcium, minorem a maiori deme, et relinquetur latitudo Lune uisa eius partis cuius maior fuit.
⟨UI.21⟩ 21. Motum Lune uisum in hora assignata perpendere.
Per antepremissam ad principium hore assignate reperias uisum locum Lune, et per eandem ad finem hore date inuenias quoque uisum locum Lune. Et differentia horum est quod cupis. Uel sic. Considera per predicta ad principium, similiter ad finem, hore diuersitatem aspectus in longitudine. Et si diuersitas ad principium hore sit maior quam diuersitas ad finem hore, differentiam ipsarum minue a motu uero Lune in hora. Si autem diuersitas ad principium hore sit minor diuersitate ad finem hore, differentiam ipsarum adde motui uero Lune in hora. Et prodibit motus uisus Lune in hora, et hoc si Luna fuerit inter ascendens et 90m gradum. Cum uero Luna fuerit inter 90m gradum ab ascendente et gradum occidentem, si diuersitas ad principium hore sit maior diuersitate ad finem hore, differentiam ipsarum adde uero motui Lune in hora. Si autem diuersitas ad principium hore sit minor diuersitate ad finem hore, differentiam ipsarum minue a uero motu Lune in hora. Et proueniet uisus motus Lune in hora. Similiter reperires superationem Lune uisam in hora sumendo loco motus ueri superationem ueram in hora et cetera.
⟨UI.22⟩ 22. Coniunctionem luminarium uisibilem diffinire.
60
Ad tempus uere coniunctionis per precedentes doctrinas reperias diuersitatem aspectus Lune ad Solem in longitudine. Si ea fuerit secundum successionem signorum, id accidit dum locus coniunctionis fuerit inter ascendens et 90m gradum ab ascendente, coniunctio uera uisibilem sequitur. Et cum in orizonte maior contingit diuersitas aspectus in longitudine, fiet diuersitas ipsa in hora uisibilis coniunctionis maior quam in hora coniunctionis uere. Si autem ea fuerit contra successionem signorum, id accidit dum locus coniunctionis fuerit inter gradum occidentem et 90m gradum ab ascendente, coniunctio uera uisibilem precedit. Et cum iterum in orizonte maior contingit diuersitas aspectus in longitudine, fiet ipsa diuersitas in hora uisibilis coniunctionis iterum maior quam in hora uere coniunctionis. Si autem nulla esset diuersitas aspectus in longitudine, quod solum accidit quando locus coniunctionis est in 90mo gradu ab ascendente, tunc simul fiunt coniunctio uisibilis et uera.
Intelligamus itaque quartam ecliptice ab orizonte ad 90m gradum ab ascendente GU ita ut in orizonte sit G, in 90mo gradu U. In qua quarta locus uere coniunctionis sit L, et tunc sit diuersitas aspectus in longitudine arcus LM, locus Solis quidem uisibilis R, locus Lune uisibilis M. Propositum est inuenire punctum ecliptice in quo cum Luna sit secundum ueritatem locus uisus eius sit super R. Erit autem diuersitas aspectus Lune ad Solem arcus RM. Huic equalis sit LC ad partem oppositam. Quando igitur Luna fuit in C, si diuersitas aspectus eius est equalis arcui LM seu CR, C est punctus quesitus. Sed Luna existente in C, quia tunc uicinior orizonti fuit, diuersitas aspectus eius in longitudine maior fuit quam dum est in L. Sit itaque Lune in C existentis diuersitas CP que est maior priore in arcu RP. Huic equalis sit CQ in contrarium successionis. Si ergo Luna existens in Q haberet diuersitatem aspectus in longitudine arcum QR, Q esset punctus quesitus. Sed cum sit uicinior orizonti dum est in Q, erit eius diuersitas aspectus maior arcu CP aut QR. Sit itaque ipsa tunc QF excedens QR in arcu RF. Huic RF equalis sit QS in contrarium successionis. Dico esse S punctum quesitum. Nam si Luna fuerit in S secundum uerum locum, erit locus eius uisus super R fere aut insensibiliter ab eo differens. Precisius tamen habebis si QS facies equalem RF et tante parti RF quanta ipsa RF est pars RP. Simili uia procederes in reliqua quarta ecliptice.
Est igitur opus tale. Diuersitatem aspectus in longitudine Lune ad Solem, scilicet arcum RM, diuide per motum uerum Lune in hora. Tempus quod exit aufer ab hora uere coniunctionis si fuerit ante 90m gradum ab ascendente uel adde idem sibi si post. Et ad tempus proueniens quere diuersitatem aspectus in longitudine, que est arcus CP. Eius differentiam ad primam diuersitatem, que fuit CR, scilicet arcum RP, diuide per motum Lune in hora, et tempus proueniens iterum minue uel adde ut antea a tempore cum quo secundam diuersitatem quesiuisti. Et ad tempus iam proueniens tertio queras diuersitatem aspectus in longitudine, que est arcus QF; eius differentiam ad secundam diuersitatem, que fuit QR, est RF. Super RF, si sensibilis quantitatis sit, iungamus tantam partem RF quanta ⟨est⟩ RF pars RP ut RF cum parte sua sit equale QS. Erit itaque arcus SR diuersitas aspectus Lune in longitudine in hora uisibilis coniunctionis fere. Diuide arcum SR per motum Lune in hora, et tempus minue uel adde ad tempus uere coniunctionis ut antea dictum est. Et exibit coniunctio uisibilis, que querebatur.
Uel sic agas et facilius. Ad horam uere coniunctionis queras diuersitatem aspectus Lune in longitudine et motum eius uisum in hora, agendo in hoc per horam antecedentem ueram coniunctionem si sit ante 90m gradum aut sequentem si sit post 90m gradum. Diuidasque diuersitatem aspectus in longitudine per motum Lune uisum in hora, et exibit tempus distantie uisibilis coniunctionis a uera, quod adde uel minue ut ante dictum est. Ad idem tempus uisibilis coniunctionis, si certior fieri uelis, queras uera loca luminarium et diuersitatem aspectus Lune ad Solem. Quod si distantia uerorum locorum luminarium equalis fuerit diuersitati aspectus Lune ad Solem in longitudine, certum fuit opus. Si differant, repete opus donec ita fiat. Nam necesse est in uisibili coniunctione ut predicta duo concordent. Ut in figura sit Luna in circulo altitudinis secundum ueritatem in O, secundum uisum in N. Sit Sol secundum ueritatem in S secundum uisum in M. Locus Lune uerus in ecliptica T designatus per arcum a polo ecliptice uenientem XOT; uisus autem locus Lune in ecliptica sit I designatus quoque per arcum a polo ecliptice uenientem XIN. Si uisus Solis locus fuerit super hoc arcu, tunc fit uisibilis coniunctio. Et diuersitas aspectus Lune ad Solem in longitudine erit tunc arcus TS, et ipse est etiam distantia uerorum locorum luminarium. In his scias ut superius dictum est quod angulus ATZ si sumptus sit loco anguli QNO, et arcus QN loco arcus TI, similiter QT pro NI, MP pro SI, nihil sensibilis differentie fiet.
⟨UI.23⟩ 23. Digitos eclipsis Solaris prenoscere.
65
Ad horam uisibilis coniunctionis reperias latitudinem Lune uisam, similiter diuersitatem aspectus Solis in latitudine uisam, et ex his scies distantiam centrorum secundum uisum. Item inuenias quantitates semidiametrorum uisualium. Si itaque agregatum semidiametrorum uisualium fuerit equale distantie centrorum secundum uisum, non fiet eclipsis ad tuam regionem, licet Lunam Sol quo ad uisum contingat. Si agregatum semidiametrorum sit maius, aufer distantiam centrorum ab eo, et remanebit pars diametri Solis eclipsata. Ipsa multiplicata in 12 et diuisa per diametrum Solis uisualem ostendit digitos quesitos. Et si nulla esset distantia centrorum uisualis, centrum Lune fieret secundum uisum centrum Solis, et contingeret maxima eclipsis, precipue si Sol esset in auge ecentrici et Luna prope oppositum augis epicicli. Nam tunc tota Luna totum Solem obtegeret et in obscuratione moram faceret. Ratio operis est in figuris, ut sit circulus AC Solis super B centro et DF Lune super E centro. Agregatum semidiametrorum est ED et BC. A quo si ablatum fuerit BE, remanebit CD pars diametri Solis eclipsata. Si autem E coincideret cum B, eclipsabitur de diametro Solis tantum quantum diameter Lune occupat. Hanc quoque sicut 16am huius conuertere potes, ex digitis et semidiametrorum agregato datis distantiam centrorum eliciendo.
⟨UI.24⟩ 24. In eclipsi solari minuta casus elicere.
Quadratum distantie centrorum in medio eclipsis aufer a quadrato agregati semidiametrorum. Residui radix ostendit minuta quesita. Ratio est eadem que in 17a huius. Et si precisionis labor tibi placet, poteris uti scientia trianguli speralis. Nam latus GA est agregatum semidiametrorum Lune et Solis, AE est distantia centrorum in medio eclipsis, et angulus E est rectus, igitur.
⟨UI.25⟩ 25. Tria tempora eclipsis solaris extrahere.
Minuta casus diuide per superationem Lune in hora, et exibit tempus a principio ad medium, et tantum nunc supponitur a medio ad finem. Uel adde minutis casus suam duodecimam, et habebis uisum motum Lune a principio ad medium et a medio ad finem. Hunc motum conuerte in tempus diuidendo ipsum per motum Lune uisum in hora.
70
⟨UI.26⟩ 26. Haec tempora definitiora reddere.
Quia diuersitas aspectus Lune in longitudine uariatur in principio in medio et in fine eclipsis, et tamen arcus motus uisus a principio ad medium sit equalis arcui motus uisus a medio ad finem, fit in descriptione horum arcuum secundum uisum diuersitas, ita ut licet arcus sint equales, tamen in diuersis temporibus uideantur secundum uisum describi. Sic tempus ab initio ad medium erit aliud a tempore a medio ad finem. Sit igitur arcus ueri motus Lune a principio ad finem eclipsis ABC ita ut in principio sit secundum ueritatem in A, in medio in B, in fine in C. Sed secundum uisum in principio sit in G, in medio in E, in fine in F. Sic motus uisus a principio ad finem sit GF. Erit autem GE insensibiliter differens ab EF, propter agregatum semidiametrorum in principio et in fine insensibiliter uariatum. Si diuersitates aspectus in longitudine sint secundum successionem signorum, quod accidit ante 90m gradum ab ascendente, oportet ut AG sit maior EB; sic motus uerus a principio ad medium maior est motu uiso in eodem tempore in tanto in quanto AG excedit BE. Aufer igitur diuersitatem EB a diuersitate GA, et residuum adde cum EG. Exibit AB, quod diuide per motum Lune in hora uerum, et exibit tempus quo Luna secundum uisum transit a G in E. Similiter ex diuersitatibus FC et EB, inuenies arcum CB et tempus suum. Si uero diuersitates aspectus in longitudine fuerint contra successionem signorum, quod fit post 90m gradum, erit AG minor BE et BE minor CF. ⟨Sic⟩ iterum uerus motus Lune a principio ad medium maior est uiso motu Lune in eodem tempore in differentia BE et AG diuersitatum, quare aufer AG a BE. Residuum adde cum GE, et prodibit AB, quem diuide per uerum motum Lune in hora. Et exibit tempus quo Luna secundum uisum a principio eclipsis cadit in medium eclipsis. Similiter ex differentia diuersitatum CF et BE et arcu EF, inuenies tempus quo Luna a medio eclipsis ad finem secundum uisum excidit.
Ex his constat quod si differentia diuersitatum aspectus in longitudine in principio et medio eclipsis sit equalis differentie diuersitatum aspectus in longitudine in medio et in fine, tempus incidentie equale est tempori excidentie. Id autem contingit si medium eclipsis in 90mo gradu ab ascendente fiet. Quando uero differentia diuersitatum aspectus in longitudine in principio et medio eclipsis sit minor differentia diuersitatum aspectus in longitudine in medio et fine, quod accidit ante 90m gradum, tempus incidentie minus est tempore excidentie. Sed quando differentia diuersitatum in longitudine in principio et medio eclipsis fuerit maior differentia diuersitatum aspectus in longitudine in medio et fine eclipsis, quod fit post 90m gradum, tempus incidentie maius est tempore excidentie. Quod autem differentie diuersitatum aspectus in longitudine uersus 90m gradum maiores sint quam uersus ascendens aut occidens trahitur ex scientia angulorum in secundo huius et tabulis suis.
Ut autem breuius singula complectantur, minuta casus diuide per superationem Lune uisam in hora repertam ad principium eclipsis, et proueniet tempus incidentie in medium eclipsis. Item diuide ea per superationem Lune uisam in hora repertam ad medium eclipsis, et proueniet tempus excidentie a medio eclipsis.
⟨UI.27⟩ 27. In eclipsi parciali ex digitis diametri eclipsatis quantitatem superficiei eclipsatam metiri.
75
Sit circulus ABGD representans Solem in eclipsi solari aut umbram in eclipsi lunari. Circulus uero AHGZ sit Lune. Centrum Solis aut umbre sit E, Lune uero T. Puncta uero Z D de diametro Solis aut Lune sint data. Propositum est inuenire quantitatem superficiei oualis figure ADGZ in proporcione ad totam superficiem circuli ABGD in eclipsi solari aut AHGZ in eclipsi lunari. Quia linea ET, scilicet quod est inter duo centra in medio eclipsis, est nota ex premissis, scilicet ex punctis datis et etiam semidiametris. Ductis autem lineis EA, AT, GE, GT, et AG secante ET in K, erunt EA et AT note quia semidiameter Solis aut umbre et Lune uisuales. In triangulo autem AET differentia quadratorum AE et AT diuisa per ET producet differentiam linearum EK et KT. Quare EK et KT note fient. Et quoniam anguli ad K recti sunt, ideo nota erit AK, que est equalis KG. Quare uterque triangulorum EAG et TAG notus pro ut communis mensura est quadratellum unius partis talis qualium EA, AT, et TE sunt notarum partium. Item ex proporcione EA ad AK notus erit arcus ADG per tabulam sinuum. Similiter ex proportione TA ad AK notus erit arcus AZG prout circumferentia circuli est 360 gradus. Proportio denique circumferentie circuli ad diametrum, ut ostendit Archimedes, est minor quam tripla sesquiseptima et maior quam tripla superparciens 10 septuagesimas primas. Inter has autem media proportio est trium partium, 8 minutorum, 30 secundorum ad unam partem. Ex hac itaque et notis semidiametris EA et AT, note erunt periferie circulorum ABG et AHG. Et ex proporcione arcus ADG aut AZG ad totam periferiam, noti erunt arcus ADG et AZG in partibus quibus EA et AT note erant. Ex ductu autem EA in AD consurgit sector EADG. Similiter ex ductu TA in AZ consurgit sector TAGZ. Quare sectores noti fient in partibus quibus iam trianguli EAG et TAG noti erant. Sed ablato triangulo EAG a sectore EADG manet portio arcu ADG et corda AG contenta; igitur ipsa nota fiet. Similiter portio arcu AZG et corda AG contenta innotescet. Quare tota figura oualis AZGD nota fiet. Quare cum in eisdem partibus sit etiam nota superficies circuli ABG quia fit ex ductu EB in semiperiferiam DAB, nota fiet proportio oualis figure AZGD ad totam superficiem circuli solaris ABGD. Similiter in eclipsi lunari nota erit eius proportio ad AHGZ superficiem circuli lunaris, quod fuit ostendendum.
Exemplum Ptolemei. Semidiameter Solis EB est 15 minuta 40 secunda, quam seruat inuariatam. Semidiameter Lune uisualis in longitudine media epicicli est 16 minuta 40 secunda. Quare secundum hanc proportionem dum BD est 12 digiti, erit ZH 12 digiti et 20 minuta fere. Ponamus autem ut ZD sit 3 digiti, quare EZ erit quoque tres digiti. Et ZT est 6 digiti et 10 minuta, ideoque ET erit 9 digiti 10 minuta. Quadratum EA est 36 digiti quadrati, et quadratum TA est 38 et 2 minuta fere. Differentia horum est 2 digiti et 2 minuta. Diuisa per ET, scilicet 9 digitos et 10 minuta, exit differentia EK et KT 13 minuta 18 secunda. Quare EK erit 4 digiti 28 minuta et KT 4 digiti 42 minuta. Ex his igitur fiet utraque linearum AK et KG 4 digitorum. Ergo triangulus AEG est 17 digiti quadrati et 52 minuta, et triangulus ATG 18 digiti 48 minuta. Ex proporcione autem EA ad AK, dum EA est 60, erit AK 40; quare arcus AD est 41 gradus 49 minuta prout circumferentia circuli habet 360 gradus. Sic ex proporcione TA ad AK, que est 6 digitorum 10 minutorum ad 4 digitos, dum TA est 60, erit AK 38 et 55 minuta. Ergo arcus AZ est 40 gradus 26 minuta. Item secundum proportionem unius ad 3 et 8 minuta et 30 secunda, dum EA est 6, erit periferia ABGD 37 digiti 42 minuta, et area circuli solaris 113 digiti quadrati et 6 minuta. Et secundum eandem proportionem dum TA est 6 digiti et 10 minuta, fiet periferia AZGH 38 digiti et 45 minuta, et area circuli lunaris 119 digiti 29 minuta. Proportio autem periferie ABGD se habet ad arcum ADG sicut area circuli ad aream sectoris AEG. Sed ea est 180 ad 41 gradus 49 minuta; ideo area sectoris AEG est 26 digiti quadrati et 15 minuta fere. Similiter sector ATG fiet 26 digiti 51 minuta. Sed area trianguli AEG fuit 17 digiti 52 minuta, ergo portio ADGK est 8 digiti 23 minuta. Et area trianguli ATG fuit 18 digiti 48 minuta, ergo porcio AZGK est 8 digiti 3 minuta. Igitur area oualis AZGD est 16 digiti superficiales et 26 minuta. Superficies autem circuli ABGD fuit 113 digiti et 6 minuta, quam si constituemus 12 digitos, erit oualis AZGD digitus unus et 45 minuta fere, quod est intentum.
⟨UI.28⟩ 28. Quantitatem anguli ex ecliptica et circulo per ambo centra luminarium uel Lune et umbre transeunte prouenientis inquirere.
Non queruntur hii anguli nisi ad principia eclipsium et fines et principia more et fines in luminaribus. Sit igitur in eclipsi lunari in principio totius centrum umbre punctum A in ecliptica BA. Et portio circuli decliuis Lune sit EG, que est tanquam equedistet ecliptice propter paruitatem arcus eius. In principio eclipsis sit Luna super E, in principio more super D, in medio super G. Productis lineis AE, AD, AG, propositum est inuenire angulum BAE, item angulum BAD. Est autem angulus G insensibiliter a recto differens. Et AE est agregatum semidiametrorum Lune et umbre, AD autem semidiameter umbre minus semidiametro Lune, AG uero latitudo Lune in medio eclipsis, que nota sunt. In trigono itaque AEG proportio laterum EA AG nota, ergo tanquam in rectilineo notus erit angulus AEG qui est equalis angulo EAB quesito. Similiter per trigonum DAG notus erit angulus ADG equalis DAB quesito. In medio uero eclipsis talis angulus rectus est. Similiter in eclipsi solari AE erit agregatum ex semidiametris et AG distantia duorum centrorum in medio eclipsis, ex quibus quoque notus fiet angulus AEG et cetera.
Sed melius est ut agas in principio eclipsis per agregatum semidiametrorum et latitudinem Lune ueram aut uisam in principio eclipsis, et in principio more per semidiametrum umbre minus semidiametro Lune et latitudinem Lune ueram in principio more. Et fiet opus precisius. Uerum si omni precisioni inniti uoles, fac opus per scientiam triangulorum speralium. Fecit Ptolemeus tabulam horum angulorum in quam fit introitus cum digitis eclipticis. Et supposuit Lunam in longitudine media epicicli. Ex digitis enim et agregato semidiametrorum reperit arcum AG, cum quo egit ut dictum est.
80
⟨UI.29⟩ 29. Flexus tenebrarum ad quam partem accident in eclipsi determinare.
Euidentie gratia sit in eclipsi lunari circulus umbre super centro A in ecliptica BAC. Et propter angulos quibus precedens doctrina fuit assignandos, sit circulus DNE, cuius polus sit A. Si itaque Luna in aliquo priorum temporum eclipsis fuerit super B, flexus tenebre eius respiciet uersus orientem ad punctum E, et econtra in aliquo temporum posteriorum, si sit super T, flexus tenebrarum eius respiciet uersus occidentem ad punctum D. Si uero latitudinem habuerit in aliquo temporum, ut si in principio eclipsis uel more sit in latitudine septentrionali, puta in F, flectentur tenebre eius uersus punctum K in partem orientalem meridionalem secundum quantitatem BAF anguli ex premissa noti. Sed si sit in latitudine meridiana, puta in L, flectentur tenebre eius uersus O ad partem orientalem septentrionalem. Et econtra si in fine eclipsis uel more fuerit in latitudine septentrionali, puta in M, flectentur tenebre uersus N ad partem occidentalem meridionalem. Et si sit in latitudine meridiana, flectentur tenebre uersus H ad partem occidentalem septentrionalem secundum quantitates angulorum ex premissa repertorum.
Similiter intellige in eclipsi solari nisi quod loco umbre Solem accipias, et flexum tenebrarum intellige opposito modo fieri. Nam in principio eclipsis ⟨si⟩ sit Luna super B, flexus tenebrarum Solis erit uersus occidentem, et in fine si sit Luna super C, flexus tenebrarum Solis erit uersus occidentem, et sic de aliis. Fecit itaque Ptolemeus quantitates horum angulorum ad principia et fines eclipsium solarium, ut predictum est, item ad principia et fines eclipsium lunarium et principia et fines morarum.
⟨UI.30⟩ 30. Punctum orizontis quod flexus tenebrarum respicit certius diffinire.
Sit orizon NPOQ; N quidem punctus occidentis equinoctialis, O uero orientis, P meridiani, Q septentrionis, medietas ecliptice supra orizontem DBAC; D quidem punctus occidens et C oriens. D autem et C dati erunt ex tempore dato et premissis in secundo libro. Etiam arcus OC et ND equales noti ex eisdem fient. Sit etiam A centrum Solis aut umbre, F uero centrum Lune, latitudo Lune FB, circulus magnus transiens per duo centra sit LFAH. Propositum est reperire arcum OH seu sibi equalem NL. Sit polus orizontis T, a quo quarta circuli descendens per A sit AM, et portio super LKAH perpendicularis sit TK, et continuata ad orizontem fiat KTG. Quia itaque trigoni speralis FAB duo latera BF et FA et angulus B rectus nota sunt, igitur angulus FAB notus. Angulus autem TAC propter punctum A notum et tempus datum ex 45 secundi notus erit, quare residuus TAB notus. Quare etiam angulus TAK notus fiet. Trianguli itaque TAK duo anguli A et K noti et latus TA notum ex 43 secundi, igitur et TK notum. Sed GT est quarta. Arcus ergo GTK, scilicet quantitas anguli GHK, notus; ideo trianguli AHM angulus H notus. Sed et AM notum quia complementum TA, et angulus HAM notus quia equalis angulo TAK. Quare arcus HM notus fiet. Sed etiam in triangulo CAM latus CA notum et angulus M rectus et angulus MAC notus quia equalis TAB, quare latus MC notum fiet. Sed iam notus fuit HM. Constabit igitur arcus CH. Ex prima autem secundi libri notus est OC; quare arcus OH notus, qui querebatur.
85
Finis sexti.
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Lewis & Short (Perseus, CC BY-SA). Morphology: LatinCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.