Library › Greek: Science & Medicine › Scholia on Euclid's Elements
These are the anonymous Greek scholia on the Elements of Euclid, the Alexandrian mathematician of about 300 BC, gathered from the manuscripts of the Elements. They comment on the books of the Elements in turn, beginning with the division of geometry into plane and solid, and explain definitions, postulates and proofs, supply alternative demonstrations and discuss the history of the subject. Some of the notes on the first book draw on Proclus' commentary.
The Elements was the foundation of mathematical education for two thousand years, and these scholia record how it was taught. They also preserve notable historical claims, such as the attribution of the theory of proportion in the fifth book to Eudoxus and the association of the regular solids with the Pythagoreans and Theaetetus. They are a key source for the history of Greek mathematics.
About this edition. The Greek text comes from the Eulogikon open corpus of public-domain editions (standard reference: Heiberg, Euclidis Elementa V (Teubner 1888)). Every word has been analyzed with odyCy, a neural language model for Ancient Greek — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from the Liddell–Scott–Jones Greek–English Lexicon (LSJ).
Ancient Greek · Science & Medicine
Scholia on Euclid's Elements
Scholia · Book 1 · every word parsed
1
[Τὴν γεωμετρίαν διαιροῦσ]ιν εἴς τε τὴν ἐπίπεδον καὶ
τὴν στερεομετρίαν, καὶ ὑπὸ ταύτας ἀνάγουσι πάσας τὰς
ὕλῃ χρωμένας, οἷον ἀστρονομίαν, γεωδεσίαν καὶ τὰς ἄλλας,
ὅσαι ὑπὸ μηχανικὴν τελοῦσι. ὑπὸ δὲ ἀριθμητικὴν ἄγουσι
5.1
μουσικήν, λογιστικήν. ἐπεὶ οὖν περὶ τὸ συνεχὲς ἔχει γεω‐
5.2
μετρία, δῆλον, ὅτι γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν. γνώσεων δὲ
5.3
οὐσῶν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμπειρίας, τέχνης,
5.4
ἐπιστήμης, καὶ τῆς μὲν αἰσθήσεως τὰ ἐκτὸς ὁρώσης αἰσθη‐
5.5
τά, φαντασίας δὲ τὰ ἐντός, αἰσθητὰ μέντοι, λοιπὸν δὲ τῆς
10.1
πείρας ἐπὶ τῶν πρακτῶν γινωσκούσης τὸ πρᾶγμα, οἷον
10.2
ἐπὶ ἰατρικῆς ὅταν προσαγαγὼν τόδε τὸ φάρμακον γνῷ, ὅτι
10.3
ὠφελήσει τόδε τὸ πάθος καὶ πάλιν τόδε τὸ κολλύριον,
10.4
ἕκαστον μέντοι κατὰ μίαν χρῆσιν, εἶτα ἐκ πολλῶν πειρῶν
10.5
λαμβάνει λόγον τινὰ καθʼ ὅλου, ὅτι, ἐπειδὴ καὶ τόδε τὸ
15.1
πάθος ὠφέλησεν τόδε τὸ φάρμακον, ἔοικεν καθʼ ὅλου
15.2
πρὸς τόδε τὸ πάθος ἐπιτήδειον εἶναι, καὶ οὕτως καθʼ ὅλου
15.3
γινώσκει καὶ ἔχειν λέγεται ἐμπειρίαν, ἀλλʼ ὁρᾷς, ὅτι αἰτίαν
15.4
οὐκ ἔχει, διʼ ἣν προσαγόμενον τῷδε τῷ πάθει ὠφελεῖ. ἐὰν
15.5
δὲ ζητήσας εὕρῃ, ὅτι τόδε μὲν τὸ πάθος, εἰ τύχοι, ἐστὶν
20.1
ὑγρόν, τόδε δὲ τὸ φάρμακον ξηρόν, τὰ δὲ ἐναντία τῶν ἐναν‐
20.2
τίων ἰάματα, ἔχει καὶ τὴν αἰτίαν, καί ἐστι τὸ τοιοῦτον
1·2
τέχνη καὶ διαφέρει τῆς ἐμπειρίας τῷ λόγον καὶ αἰτίαν λα‐
2·2
βεῖν. ἐπειδὴ δὲ τῶν γνώσεων τούτων τῶν ἐχουσῶν λόγον
3·2
αἱ μὲν οὕτως ἔχουσιν, ὡς καὶ τὴν ὑποκειμένην ὕλην φθαρ‐
25.1
τὴν ἔχειν, αἱ δὲ ὡς ἀείδιον, τὴν μὲν περὶ ἀείδιον ὕλην
25.2
ἔχουσαν ἐπιστήμην ὀνομάζουσιν, τὴν δὲ περὶ φθαρτὴν
25.3
τέχνην. τὰ δὴ μαθήματα οὔτε αἴσθησις γιγνώσκει· μερι‐
25.4
κῶν γὰρ γνωστική· οὔτε φαντασία· καὶ γὰρ αὕτη μερικῶν
25.5
ἐστι γνωστική, εἰ καὶ ἐντὸς ὁρᾷ· ἀλλʼ οὔτε πεῖρα· λόγον
30.1
γὰρ καὶ αἰτίαν οὐκ ἔχει πρὸς τῷ μηδὲ τὸ καθʼ ὅλου γινώ‐
30.2
σκειν· οὔτε ἐμπειρία δὲ οὔτε τέχνη· ὕλη γὰρ τῶν μαθη‐
30.3
μάτων ἀείδιος καὶ ἑστῶσα. λείπεται ἄρα ἐπιστημονικὴν
30.4
εἶναι τὴν γνῶσιν αὐτῶν. ὥστε γεωμετρία ἐστὶ ἡ γνῶσις.
30.5
καὶ ἐπειδὴ οὔτε ἔξωθέν ἐστι γνωστική, οὔτε μερικῶν πραγ‐
35.1
μάτων οὔτε ὁλικῶν μέν, ἄνευ δὲ αἰτίας, ἢ ὁλικῶν μὲν καὶ
35.2
μετʼ αἰτίας, περὶ φθαρτὰ δέ, ποιεῖται τὴν γνῶσιν (περὶ
35.3
γὰρ ἀείδια), εἰκότως γνῶσιν αὐτὴν δεῖ λέγειν ἐπιστημονι‐
35.4
κήν, ἵνα χωρίσωμεν αἰσθήσεως, φαντασίας, πείρας, ἐμ‐
35.5
πειρίας, τέχνης, περὶ σχήματα ἔχουσαν. ἐπειδὴ δὲ οὐ μό‐
40.1
νον περὶ σχήματα ἔχει, ἀλλὰ καὶ περὶ διαιρέσεις αὐτῶν καὶ
40.2
συνθέσεις, εἰκότως λεκτέον περὶ σχήματα καὶ τὰ τούτων
40.3
πάθη, λόγους τε καὶ συνθέσεις καὶ διαιρέσεις. καὶ οὗτος
40.4
μὲν ὅρος τῆς γεωμετρίας, τὴν δὲ γενομένην αὐτῆς ἐπίδοσιν
40.5
ἰστέον, ὡς ἔφαμεν, ἐν τῇ καθʼ ἡμᾶς περιόδῳ γεγενῆσθαι,
45.1
μάλιστα δὲ ἐν τοῖς κατὰ Πλάτωνα χρόνοις· ὁ δὲ Εὐκλείδης
45.2
γέγονεν μὲν κατὰ τὸν πρῶτον Πτολεμαῖον, τὰ δὲ σποράδην
45.3
ὑπὸ τῶν παλαιοτέρων θεωρηθέντα συνήγαγεν αὐτὸς εἰς
45.4
στοιχείωσιν, τάξιν αὐτοῖς καὶ ἀποδείξεις ἀκριβεστέρας
45.5
ἐπιθεὶς ὡς πρὸς στοιχείωσιν. οὐ γὰρ ὅσον λέγειν δυνατόν,
1·3
γράφει ταῦτα, ἀλλʼ ὅσα στοιχειοῦν πέφυκεν, καὶ διʼ ὧν καὶ
2·3
τὰ μὴ γραφόμενα ἔστιν εὑρίσκειν· εὑρήσεις δὲ τοὺς συλ‐
3·3
λογισμοὺς καὶ ἀπὸ αἰτιῶν καὶ ἀπὸ τεκμηρίων, πάντας δὲ
4·2
ἀνελέγκτους καὶ ἐπιστημονικούς· πάσας τε ὁρᾶν ἔξεστι
5
τὰς τῆς διαλεκτικῆς μεθόδους διαιρετικήν, ὁριστικήν, ἀπο‐
55.1
δεικτικήν, ἀναλυτικήν. ὁ δὲ σκοπὸς τῆς πραγματείας ἐστὶν
55.2
διπλοῦς κατά τε τὴν τῶν πραγμάτων φύσιν καὶ πρὸς τὴν
55.3
τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέλειαν. πρὸς μὲν γὰρ αὐτὰ τὰ πράγ‐
55.4
ματα βλέποντές φαμεν περὶ τῶν κοσμικῶν σχημάτων
55.5
εἶναι τὴν πρόθεσιν· πέρας γὰρ ἡ τῶν πέντε σχημάτων
60.1
διδασκαλία, ἃ καὶ Πλάτων εἰς τὴν τῶν στοιχείων σύστα‐
60.2
σιν παραλαμβάνει. πρὸς δὲ τὴν τῶν ἐντυγχανόντων ὠφέ‐
60.3
λειάν φαμεν στοιχείωσιν γράφειν· ἀπὸ γὰρ τούτων ὁρμώ‐
60.4
μενοι καὶ τὰ ἄλλα δυνησόμεθα γινώσκειν, χωρὶς δὲ τούτων
60.5
οὐδέν· διὸ καὶ στοιχείωσις ὀνομάζεται. τῶν δὲ θεωρημά‐
65.1
των καλουμένων τῶν μὲν στοιχείων, τῶν δὲ στοιχειωδῶν,
65.2
τῶν μὲν στοιχείων ὀνομαζομένων ἡ θεωρία διικνεῖται πρὸς
65.3
τὴν τῶν ἄλλων ἐπιστήμην, καὶ ἀφʼ ὧν ἐν τοῖς λοιποῖς ἀπό‐
65.4
ροις παραγίνεται λύσις, στοιχειωδῶν δὲ ὅσα διατείνει μὲν
65.5
ἐπὶ πλέον, οὐ μέντοι ἐπὶ πάντα, οἷον τὸ ἐν τοῖς τριγώνοις
70.1
τὰς ἀπὸ τῶν γωνιῶν καθέτους ἐπὶ τὰς πλευρὰς κα[θʼ ἓν
70.2
ση]μεῖον συμπίπτειν. πάλιν τῶν στοιχείων δίχα λεγομέ‐
70.3
νων (καὶ γὰρ τὸ κατασκευάζον τοῦ κατασκευαζομένου, ὡς
70.4
τὸ πρῶτον θεώρημα τοῦ δευτέρου, καὶ τὸ εἰς ἁπλούστερον
70.5
διαιρεῖται τὸ σύνθετον, ὡς τὰ αἰτήματα στοιχεῖα τῶν θεω‐
75.1
ρημάτων), κατὰ δὴ τὸ σημαινόμενον τοῦτο καὶ τὰ παρʼ
75.2
Εὐκλείδῃ λέγεται στοιχεῖα, τὰ μὲν περὶ τὰ ἐπίπεδα, τὰ δὲ
75.3
περὶ τὰ στερεὰ τὴν πραγματείαν ἔχοντα. ἐπεὶ οὖν ἡ γεω‐
75.4
μετρία ἐπιστήμη, διττὴ δὲ αὕτη, ἡ μὲν ἐξ ὑποθέσεως, ἡ δὲ
75.5
ἀνυπόθετος, αὕτη [δὲ] ἐξ ὑποθέσεως, ἀνάγκη τὸν τὴν γεωμε‐
80.1
τρίαν συντάττοντα χωρὶς μὲν παραδοῦναι τὰς ἀρχάς, χωρὶς
80.2
δὲ τὰ ἀπὸ τῶν ἀρχῶν, καὶ τῶν μὲν ἀρχῶν, εἰ καὶ τῷ τε‐
80.3
λείῳ φιλοσόφῳ εἰσὶν ἀποδεικταί, μὴ διδόναι λόγον, τῶν
80.4
δὲ μετὰ τὰς ἀρχάς, ὃ καὶ Εὐκλείδης καθʼ ἕκαστον ὡς εἰ‐
80.5
πεῖν ποιεῖται βιβλίον. τὰς δὴ κοινὰς ταύτας ἀρχὰς διαιρεῖ
85.1
εἴς τε τὰς ὑποθέσεις καὶ τὰ αἰτήματα καὶ ἀξιώματα· δια‐
85.2
φέρει γὰρ ταῦτα ἀλλήλων. ὅταν μὲν γὰρ γνώριμον ᾖ καὶ
85.3
καθʼ αὑτὸ πιστὸν τὸ παραλαμβανόμενον, ἀξίωμα λέγεται,
1·4
ὅταν δὲ μὴ ἔχῃ μὲν ἔννοιαν ὁ ἀκούων αὐτόπιστον, τίθεται
2·4
δὲ ὅμως καὶ συγχωρεῖ τὸ λαμβανόμενον, ὑπόθεσίς ἐστιν·
90.1
οἷον τὸ τὸν κύκλον εἶναι σχῆμα τοιόνδε τὸ τρίγωνον, ὃ αὐ‐
90.2
τόθεν μὲν οὐκ ἔχει, συγχωρούμενον δὲ ὅμως· ὅταν δὲ καὶ
90.3
ἄγνωστον ᾖ τὸ λεγόμενον καὶ μὴ συγχωροῦντος τοῦ μαν‐
90.4
θάνοντος ὅμως λαμβάνηται, αἴτημα τοῦτο καλοῦμεν, ὡς
90.5
τὸ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας εἶναι. καὶ οὕτως μὲν
95.1
Ἀριστοτέλης ταῦτα διορίζεται· τινὲς δὲ πάντα ὑποθέσεις
95.2
προσεῖπον, ἄλλοι δὲ ἀξιώματα. πάλιν δὲ αὖ τὰ ἀπὸ τῶν
95.3
ἀρχῶν εἰς προβλήματα διαιρεῖται καὶ θεωρήματα, τὰ μὲν
95.4
τὰς γενέσεις περιέχοντα τῶν σχημάτων, τὰ δὲ τὰ καθʼ
95.5
αὑτὰ συμβεβηκότα ἑκάστοις δεικνύοντα. καί φασιν πᾶν
1·5
πρόβλημα ἐπιδέχεσθαι τῶν κατηγορουμένων τῆς ἐν αὐτῷ
2·5
ὕλης αὐτό τε ἕκαστον καὶ τὸ ἀντικείμενον. λέγω δὲ ὕλην
3·4
μὲν αὐτὸ τὸ γένος, περὶ οὗ ἡ ζήτησις, οἷον τρίγωνον ἢ
4·3
τετράγωνον, σύμπτωμα δὲ τὸ καθʼ αὑτὸ συμβεβηκός,
5·2
ἴσον ἄνισον τομὴν θέσιν ἢ ἄλλο τι τοιοῦτον. ὅταν μὲν οὖν
105.1
προτείνῃ τις ποιῆσαι, πρόβλημα λέγεται· ὅταν δὲ τὸ ὂν
105.2
θεωρῆσαι, θεώρημα· καὶ ὅλως τὰ μὲν θεωρήματα καθ‐
105.3
όλου ἐστί, τὰ δὲ προβλήματα οὐκ ἔστι.
105.4
Τοσαῦτα καὶ περὶ τούτων. τοῦ δὲ πρώτου βιβλίου ὁ
105.5
σκοπός ἐστι τὰς ἀρχὰς παραδοῦναι τῆς τῶν εὐθυγράμμων
110.1
θεωρίας. εἰ γὰρ καὶ φύσει τελειότερος ὁ κύκλος, ἀλλʼ
110.2
ἡμῖν τοῖς ἀτελεστέροις μᾶλλον ἡ περὶ τούτων ἁρμόσει
110.3
θεωρία· τοῖς αἰσθητοῖς οἰκεῖα τὰ εὐθύγραμμα, τοῖς δὲ
110.4
νοητοῖς ὁ κύκλος, καὶ ἀπὸ τῶν εὐθυγράμμων ἡ γένεσις
110.5
κατὰ Πλάτωνα τοῖς τέτρασι στοιχείοις. διαιρεῖται δὲ τὸ
115.1
βιβλίον τριχῆ· τὸ μὲν γὰρ πρῶτον τὴν τῶν τριγώνων
115.2
ἰδιότητα ἐμφανίζει, τὸ δεύτερον τῶν παραλληλογράμμων,
115.3
τὸ τρίτον τὴν κοινωνίαν αὐτῶν.
115.4
Σημεῖόν ἐστι οὗ μέρος οὐθέν.
115.5
Ἀπὸ τῶν συνθέτων ἐπὶ τὸ ἁπλούστερον ἀναδεδράμηκεν,
120.1
ἀπὸ μὲν τοῦ τριχῆ διαστατοῦ ἐπὶ τὸ διχῆ, ἀπὸ δὲ τούτου
120.2
ἐπὶ τὸ ἐφʼ ἕν, ἀφʼ οὗ εἰς τὸ πάσης διαιρέσεως καθαρεῦον
120.3
ἀναδραμὼν τὴν ἀρχὴν ποιεῖται· ἐπειδὴ δὲ τὰ πέρατα ταῦτα
120.4
πολλαχοῦ διὰ τὴν ἁπλότητα τῆς τῶν συνθέτων ὑποστά‐
120.5
σεως δοκεῖ τιμιώτερα εἶναι, πολλαχοῦ δὲ συμβεβηκόσιν
125.1
ἔ[οι]κεν, λέγω μὲν, ὅτι τὰ ἄυλα καὶ ἐν χωριστοῖς ὑφεστῶτα
125.2
λόγοις ἀεὶ τὴν ἀρχικωτέραν ὑπόστασιν ἐκληρώσατο τῶν
125.3
συνθέτων, οἷον ἐν νῷ καὶ ψυχαῖς· ἐκεῖ γὰρ τὰ ἁπλούστερα
125.4
τῶν συνθέτων ἐστὶν ὑποστατικά. τὰ δὲ ὕλης δεόμενα καὶ
125.5
ἐν ἄλλοις ἑδραζόμενα κατὰ τὸ σύνθετον μᾶλλον ἔχει τὴν
130.1
ὑπόστασιν, καί εἰσιν οὐσιώδεις μᾶλλον οἱ τοιοῦτοι λόγοι.
130.2
διὰ τοῦτο ἐν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς προηγουμένως
130.3
μᾶλλόν εἰσιν οἱ τῶν περατουμένων λόγοι, ἑπόμενοι δὲ οἱ
130.4
τῶν περατούντων. ἵνα γὰρ τὸ σῶμα μὴ εἰς ἀπειρίαν ἐκ‐
130.5
πέσῃ, ἡ τῆς ἐπιφανείας γέγονεν φύσις, καὶ ἵνα μὴ αὕτη,
135.1
ἡ τῆς γραμμῆς, καὶ τὸ σημεῖον ἕνεκα τῆς γραμμῆς. τρα‐
135.2
νέστερον γὰρ ἡ ὕλη τοὺς συνθετωτέρους ἤπερ τοὺς ἁπλου‐
135.3
στέρους ὑπεδέξατο. πῶς οὖν ἐν νῷ καὶ ψυχῇ πάντων ὄντων
135.4
ἀμερῶν ἐν ὕλῃ τὰ μὲν προηγουμένως ἐμερίσθη, τὰ δʼ ἔμει‐
135.5
νεν ἀμερῆ; ἢ καὶ ἐν τούτοις τάξις ἐστίν; τὰ μὲν γὰρ ἑνο‐
140.1
ειδέστερα τῶν εἰδῶν ἐστι, τὰ δὲ συνθετώτερα, καὶ τὰ μὲν
140.2
πέρατι σύστοιχα, τὰ δὲ ἀπειρίᾳ. καὶ τὸ σημεῖον ἀμερὲς ὃν
140.3
ἐκεῖ πάντη κατὰ τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἔχει δὲ τὴν ἄπειρον
140.4
δύναμιν κρυφίως, καθʼ ἣν ἀπογεννᾷ πάντα. ὁ δὲ τοῦ σώμα‐
140.5
τος λόγος τῆς τοῦ ἀπείρου μετέχει μᾶλλον δυνάμεως· διὸ
145.1
καὶ ἐπʼ ἄπειρον τέμνεται. τὰ δὲ μεταξὺ τούτων τὰ μὲν πρὸς
145.2
τῷ πέρατι, τὰ δὲ πρὸς τῷ ἀπείρῳ ἐστί. πέρας οὖν καὶ τὸ
145.3
σημεῖον ὑπάρχον ἐν τῇ μεθέξει τὴν οἰκείαν φυλάττει δύνα‐
145.4
μιν, ἔχον δὲ τὴν ἀπειρίαν κρυφίως ἀπειραχῶς ἐμφαίνεται
145.5
ἐν τοῖς ὑπʼ αὐτοῦ περατουμένοις. καὶ ἐπεὶ δύναμις ἦν ἐκεῖ
1·6
πάντα τίκτουσα, δυνάμει καὶ τοῦτο προῆλθεν φυλάττον
2·6
μὲν τὴν ἀμερίαν, δεύτερον δὲ κατʼ οὐσίαν ὑπάρχον τῶν
3·5
συνθέτων· μᾶλλον γὰρ ἡ ὕλη μετέσχεν τῶν σωμάτων ἢ τῆς
4·4
ἐπιφανείας καὶ ταύτης μᾶλλον ἢ τῆς γραμμῆς καὶ ταύτης
1·7
ἢ τοῦ σημείου· ὁ γὰρ τοῦ σημείου λόγος πάσης ἐξηγεῖται
155.1
τῆς σειρᾶς. διὸ καὶ ἄλλα μὲν ἄλλων πέρατα, τὸ δὲ σημεῖον
155.2
πάντων. ὅτι δὲ οὐ κατʼ ἐπίνοιάν ἐστι μόνον, ὡς οἱ ἀπὸ τῆς
155.3
στοᾶς φασιν, ἀποβλέψασιν εἰς τὰς περιφορὰς καὶ τὰ κέντρα
155.4
τούτων καὶ τοὺς πόλους γίνεται δῆλον· τά τε γὰρ κέντρα
155.5
κατʼ οὐσίαν ὑφέστηκεν συνεκτικὰ τῶν σφαιρῶν ὄντα καὶ
160.1
οἱ ἄξονες καὶ οἱ πόλοι. οὕτως καὶ ἐπὶ τοῖς κέντροις καὶ
160.2
τοῖς πόλοις οἱ Πυθαγόρειοι τάττουσιν δύναμιν, Ῥέας μὲν
160.3
σφραγίδα τοὺς πόλους ὀνομάζοντες, Ζανὸς δὲ πύργον τὸ
160.4
τοῦ παντὸς κέντρον, ἰυγγικὰς δὲ καὶ φρουρητικὰς αὐτοῖς
160.5
δυνάμεις ἀποδιδόασιν οἱ βάρβαροι. ἆρʼ οὖν τὸ σημεῖον μό‐
165.1
νον ἀμερὲς ἢ καὶ τὸ νῦν ἐν χρόνῳ καὶ ἡ μονὰς ἐν ἀριθμῷ
165.2
καὶ τὸ κίνημα ἐν κινήσει; περὶ πάντων μὲν οὖν ὁ πρῶτος
165.3
διαλέξεται φιλόσοφος, περὶ δὲ τῶν καθʼ ἕκαστα ὁ κατὰ
165.4
τὴν οἰκείαν ἐπιστήμην· μόνον γὰρ οὐχὶ λέγει σαφῶς ὁ γεω‐
165.5
μέτρης, ὅτι τὸ κατʼ ἐμὲ ἀμερὲς σημεῖόν ἐστιν. ἐπειδὴ δὲ οἱ
170.1
ἀποφατικοὶ λόγοι, ὥς φησιν ὁ Παρμενίδης, προσήκουσιν
170.2
ταῖς ἀρχαῖς καὶ τοῖς πέρασι (πᾶσα γὰρ ἀρχὴ τῶν ἀπʼ
170.3
αὐτῆς προϊόντων καθʼ ἑτέραν οὐσίαν ὑφέστηκεν, καὶ αἱ τού‐
170.4
των ἀποφάσεις τὴν ἐκείνων δηλοῦσιν ἡμῖν ὑπόστασιν), διὰ
170.5
τοῦτο καὶ Εὐκλείδης τοῖς ἀποφατικοῖς ἐχρήσατο λόγοις
175.1
ἐπὶ τῆς κατʼ αὐτὸν ἀρχῆς. οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ σημεῖον
175.2
ὁρίζονται μονάδα θέσιν ἔχουσαν· οἱ γὰρ ἀριθμοὶ καὶ σχη‐
175.3
μάτων καὶ φαντασίας καθαρεύουσιν. τὸ δὲ σημεῖον ἐν φαν‐
175.4
τασίᾳ προτείνεται. πῶς οὖν οὐ μορφωτικῶς ὁρᾶται; ὅτι
175.5
τῆς φανταστικῆς κινήσεως τὸ εἶδος οὔτε μεριστόν ἐστιν
180.1
μόνως οὔτε ἀμερές· οὔτε γὰρ ἂν τοὺς πολλοὺς τύπους
180.2
ὑπεδέχετο τοὺς δευτέρους τῶν πρώτων ἀμυδρῶν ὄντων.
180.3
διττὴν οὖν ἔχουσα δύναμιν τὸ σημεῖον ἐν τῷ ἀμερεῖ αὐτῆς
180.4
ὑποδέχεται.
180.5
Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές.
185.1
Δευτέραν ἔχει τάξιν ἡ γραμμή, καθʼ ὅσον τὸ πρῶτον
185.2
ἔχει διάστημα καὶ ἁπλούστατον, ὅπερ ὁ γεωμέτρης μῆκος
185.3
ἐκάλεσεν προσθεὶς τὸ ἀπλατές, ἐπειδὴ καὶ γραμμὴ πρὸς
1·8
τὴν ἐπιφάνειαν ἀρχῆς ἐπέχει λόγον· διὸ τὸ μὲν σημεῖον
2·7
ἀποφατικῶς μόνως ἐδίδαξεν, τὴν δὲ γραμμὴν καὶ ἀποφα‐
190.1
τικῶς καὶ καταφατικῶς. ἀπλατὴς δὲ ὡς τῶν ἄλλων καθα‐
190.2
ρεύουσα διαστημάτων· πᾶν γὰρ τὸ ἀπλατὲς καὶ ἀβαθές
190.3
ἐστιν· διόπερ οὐ προσέθηκεν, ὅτι καὶ ἀβαθές. ἀλλʼ οὗτος
190.4
μὲν ὁ ὅρος τέλειος, ὁ δὲ ῥύσιν εἰπὼν σημείου τὴν γραμμὴν
190.5
ἔοικεν ἀπὸ τῆς γενικῆς αἰτίας αὐτὴν παράγειν καὶ οὐ πᾶ‐
195.1
σαν γραμμήν, ἀλλὰ τὴν ἄυλον· ταύτην γὰρ ὑφίστησι τὸ
195.2
σημεῖον ἀμερὲς ὄν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως, οἱ δὲ Πυθαγό‐
195.3
ρειοι τὸ μὲν σημεῖον ἀνάλογον ἐλάμβανον μονάδι, δυάδι δὲ
195.4
τὴν γραμμὴν καὶ τριάδι τὸ ἐπίπεδον, τετράδι δὲ τὸ σῶμα.
195.5
καίτοι Ἀριστοτέλης τριαδικῶς προσεληλυθέναι φησὶ τὸ
1·9
σῶμα ὡς διάστημα πρῶτον λαμβάνων τὴν γραμμήν.
2·8
Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα.
3·6
Πᾶν τὸ σύνθετον ἀπὸ τοῦ ἁπλοῦ, καὶ πᾶν τὸ μεριστὸν
4·5
ἀπὸ τοῦ ἀμερίστου καταδέχεται τὸν ὅρον, καὶ τούτων
5·3
εἰκόνες ταῖς ἀρχαῖς προτείνονται τῶν μαθημάτων. ὅταν
205.1
γὰρ τὴν γραμμὴν ὑπὸ τῶν σημείων περατοῦσθαι λέγει,
205.2
δῆλός ἐστιν αὐτὴν καθʼ αὑτὴν ἄπειρον ποιῶν. ὥσπερ οὖν
205.3
ἡ δυὰς ὑπὸ τῆς μονάδος ὁρίζεται, οὕτως καὶ ἡ γραμμὴ ὑπὸ
205.4
σημείου. ἀλλʼ ἐν μὲν φαντασίᾳ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς αὐτὰ τὰ
205.5
σημεῖα περατοῖ, ἐν δὲ τοῖς ἄλλοις εἴδεσι προϋφέστηκεν ὁ
210.1
ἀμέριστος τοῦ σημείου λόγος, προιὼν δʼ ἐκεῖθεν οὗτος ὁ
210.2
πρῶτος ἐπʼ ἄπειρον ἑαυτὸν διαστήσας καὶ κινούμενος ἐπʼ
210.3
ἄπειρον καὶ ῥέων κρατεῖται μὲν ὑπὸ τῆς οἰκείας ἀρχῆς,
210.4
ἑνίζεται δὲ ὑπʼ αὐτῆς καὶ περιλαμβάνεται. ἐκεῖ μὲν οὖν,
210.5
ὅπερ ἔφην, τὸ πέρας ἐξῄρηται, ἐνταῦθα δὲ τὸ ἐν αὐτῷ
215.1
ὑφεστός, καὶ τοῦτο φέροι ἂν ἔνδειξιν θαυμαστὴν τοῦ τὰ
215.2
εἴδη μένοντα μὲν ἐφʼ ἑαυτῶν κατʼ αἰτίαν προηγεῖσθαι τῶν
215.3
μετεχόντων, ἐπιδόντα δὲ ἐκείνοις ἑαυτὰ κατὰ τὴν ἐκείνων
215.4
ἰδιότητα τὴν ὑπόστασιν λαμβάνειν συμπληθυνόμενα τοῖς
215.5
ὑποκειμένοις καὶ ἀποπίπτοντα τῆς οἰκείας φύσεως. καὶ
220.1
μὴν καὶ τοῦτο χρὴ εἰδέναι, ὅτι τριχῶς τῇ γραμμῇ κέχρηται
220.2
ὁ γεωμέτρης· καὶ γὰρ ὡς ἐφʼ ἑκάτερα πεπερασμένῃ, ὡς
1·10
ἐπὶ τοῦ πρώτου θεωρήματος, καὶ ἐφʼ ἑκάτερα ἀπείρᾳ, ὡς
2·9
ὅταν λέγῃ ἐπὶ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ἄπειρον, καὶ ὡς πε‐
3·7
περασμένῃ μὲν κατὰ τὸ ἕτερον, ἀπείρῳ δὲ κατὰ τὸ ἕτερον,
225.1
ὡς ἐπʼ ἐκείνου τοῦ προβλήματος· ἐκ τριῶν εὐθειῶν, αἵ
225.2
εἰσιν ἴσαι ταῖς δοθείσαις εὐθείαις, τρίγωνον συστήσασθαι.
225.3
πρὸς δὲ τούτοις κἀκείνῳ ἐπιστήσωμεν, ὅτι γραμμῆς πέ‐
225.4
ρατά φησι σημεῖα οὔτε τῆς ἀπείρου οὔτε πάσης τῆς πεπε‐
225.5
ρασμένης· ἔστι γάρ τις γραμμὴ καὶ πεπερασμένη καὶ οὐκ
230.1
ἔχουσα πέρατα σημεῖα, οἵα ἡ κυκλικὴ καὶ εἴ τις τοιαύτη.
230.2
μήποτε οὖν γραμμὴν ὁρᾶν δεῖ, καθʼ ὅσον ἐστὶ γραμμή.
230.3
Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφʼ ἑαυτῆς ση‐
230.4
μείοις κεῖται.
230.5
Πλάτων μὲν δύο τὰ ἁπλούστατα γραμμῆς εἴδη θέμενος
235.1
εὐθεῖαν καὶ περιφερῆ τἄλλα πάντα ἐκ τούτων ὑφίστησι
235.2
κατὰ μίξιν, ὅσα τε ἑλικοειδῆ καὶ ὅσα κατὰ τὰς τομὰς
235.3
ὑφίσταται εἴδη καμπύλων γραμμῶν. καὶ ἔοικεν τὸ μὲν ση‐
235.4
μεῖον εἰκόνα φέρειν τοῦ ἑνός· ἀμερὲς γὰρ καὶ τοῦτο. καὶ
235.5
ἐπειδὴ μετὰ τὸ ἓν ὑπέστη τὸ πέρας, τὸ ἄπειρον, τὸ μικτόν,
240.1
καὶ αἱ τῶν γραμμῶν ἰδιότητες ἀπεικονίζονται τὰ τρία
240.2
ἐκεῖνα, καὶ τῷ μὲν πέρατι ἀνάλογον ἡ περιφέρεια, τῷ δʼ
240.3
ἀπείρῳ τὸ εὐθύ· ἐπʼ ἄπειρον γὰρ ἐκβαλλόμενον οὐ παύεται·
240.4
τῷ δὲ μικτῷ τὸ ἐκ τούτων μικτόν. καὶ μέντοι καὶ Ἀριστο‐
240.5
τέλης περὶ τῶν γραμμῶν τὴν αὐτὴν ἔχει τῷ Πλάτωνι
245.1
διάνοιαν. ἀμφισβητοῦσι δέ τινες πρὸς τὴν διαίρεσιν ταύτην
245.2
καί φασιν μὴ δύο μόνας εἶναι τὰς ἁπλᾶς, ἀλλὰ καὶ τρίτην
245.3
ἄλλην τὴν περὶ κύλινδρον ἕλικα γραφομένην· καὶ αὕτη
245.4
γάρ, φασίν, ὁμοιομερὴς ὥσπερ αἱ ἄλλαι αἱ ἁπλαῖ ἥ τε περι‐
245.5
φερής· ἐφαρμόζει γὰρ καὶ ταύτης τὰ μόρια ἑαυτοῖς, τῶν
1·11
ἄλλων μικτῶν οὐκ ἐχουσῶν τοῦτο τὸ ἰδίωμα. οὔτε γὰρ ἡ
2·10
περὶ κῶνον οὔτʼ ἡ περὶ σφαῖραν οὔτʼ ἡ περὶ ἄλλο σχῆμα
3·8
ὁμοιομερής. μήποτε οὖν, φασί, τρεῖς αἱ ἁπλούσταται γραμ‐
4·6
μαί; λέξομεν δὴ πρὸς αὐτούς, ὅτι ὁμοιομερὴς μὲν ἡ τοιαύτη
5·4
γραμμή, καὶ δέδειχεν Ἀπολλώνιος τοῦτο ἐν τῷ περὶ ἑλίκων,
255.1
ἁπλῆ δὲ οὐδαμῶς ἐστιν· οὐ γὰρ ταὐτὸν ὁμοιομερὲς καὶ
255.2
ἁπλοῦν· ὁμοιομερὴς μὲν γὰρ καὶ χρυσὸς καὶ ἄργυρος, ἀλλʼ
255.3
οὐχ ἁπλοῦν. οὐδὲ ἡ τῆς κυλινδρικῆς ἕλικος γένεσις ἁπλῆ·
255.4
γεννᾶται γὰρ τῆς μὲν εὐθείας κύκλῳ κινουμένης περὶ τὸν
255.5
ἄξονα, τοῦ δὲ σημείου ἐπὶ τῆς εὐθείας. δύο τοίνυν αἱ κινή‐
260.1
σεις αἱ ἀπογεννῶσαι καὶ τὴν τοιαύτην ἕλικα· οὐκ ἄρα τὸ
260.2
ἁπλοῦν ἀποδώσομεν αὐτῇ, καὶ ὀρθῶς ὁ Γεμῖνος ἐκ πλειόνων
260.3
μὲν κινήσεων ὑφίστασθαι καί τινα τῶν ἁπλῶν γραμμῶν· οὐ
260.4
μέντοι πᾶσαν εἶναι τὴν τοιαύτην μικτήν, ἀλλὰ τὴν ἐξ ἀν‐
260.5
ομοίων. καὶ γὰρ εἰ τετράγωνον νοήσειας καὶ δύο κινήσεις
265.1
ἰσοταχεῖς τὴν μὲν κατὰ τὸ μῆκος, τὴν δὲ κατὰ τὸ πλάτος,
265.2
ὑποστήσεται ἡ διαγώνιος εὐθεῖα οὖσα καὶ οὐ διὰ τοῦτο
265.3
μικτή. δόξειε δʼ ἂν ἀμφοτέρων οὐσῶν ἁπλῶν προηγεῖσθαι
265.4
τῆς περιφεροῦς γραμμῆς ἡ εὐθεῖα· ἐπὶ ταύτης μὲν γὰρ
265.5
οὐδὲ κατʼ ἐπίνοιάν ἐστιν ἀνομοιότης, ἐπὶ δὲ τοῦ περιφε‐
270.1
ροῦς τὸ κοῖλον ὁρᾶται καὶ κυρτὸν διαφέροντα, καὶ ἡ εὐθεῖα
270.2
οὐ συνεισάγει τὴν περιφέρειαν, συνεισάγεται δέ· καὶ γὰρ
270.3
εἰ μὴ κατὰ γένεσιν, κατά γε τὴν πρὸς τὸ κέντρον σχέσιν.
270.4
τί οὖν, εἰ λέγοι τις καὶ τὴν περιφέρειαν δεῖσθαι τῆς εὐθείας
270.5
κατὰ τὴν γένεσιν; ὁ γὰρ κύκλος μενούσης τῆς εὐθείας κατὰ
275.1
τὸ ἓν πέρας, κατὰ δὲ τὸ ἕτερον κινουμένης γίνεται. ἢ τὸ
275.2
γράφον τὸν κύκλον τὸ σημεῖόν ἐστιν περὶ τὸν κύκλον
275.3
φερόμενον; τὴν γὰρ ἀπόστασιν μόνον αὕτη ἀφορίζει. ἀλλὰ
275.4
ταῦτα μὲν οὕτως, καὶ ἁπλαῖ μόνον αἱ δύο, καὶ διὰ ταύτην
275.5
τὴν αἰτίαν καὶ ἡ ψυχὴ ἐκ τῶν δύο, περιφεροῦς καὶ εὐθείας,
280.1
ὑπέστη ἐκ πέρατος καὶ ἀπείρου, ἵνα τὰ ἄλλα πάντα κατευ‐
280.2
θύνῃ, διὰ μὲν τοῦ πέρατος τὴν τοῦ πέρατος συστοιχίαν, διὰ
280.3
δὲ τοῦ ἀπείρου τὴν ἑτέραν· τῷ μὲν εὐθεῖ τὴν πρόοδον
280.4
ὑφίσταται, τῷ δὲ περιφερεῖ τὴν ἐπιστροφήν. καὶ μὴν καὶ ὁ τῇ
280.5
ψυχῇ ταύτας τὰς δυνάμεις παραδοὺς ἀμφοτέρων ἔχει τὰς
285.1
πρωτουργοὺς αἰτίας· καὶ γὰρ πρὸς ἑαυτὸν ἐπέστραπται
285.2
μένων, ὥς φησιν Πλάτων, ἐν τῷ ἑαυτοῦ κατὰ τρόπον ἤθει,
285.3
καὶ ἐπὶ πάντα πρόεισιν ταῖς δημιουργικαῖς προνοίαις.
1·12
Καὶ τοσαῦτα μὲν ἄν τις λέγοι καὶ περὶ τῆς πρὸς τὰ ὄντα
2·11
τῶν εἰδῶν ὁμοιότητος· τὸν δὲ ὅρον τῆς εὐθείας τοῦτον
290.1
ἀποδέδωκεν τὸν τρόπον καὶ δηλοῖ διὰ τούτων τὸ μόνην
290.2
τὴν εὐθεῖαν ἴσον κατέχειν διάστημα τῷ μεταξὺ τῶν ἐπʼ
290.3
αὐτῆς σημείων· ὅσον γὰρ ἀπέχει θάτερον ἀπὸ θατέρου
290.4
σημεῖον, τοσοῦτον ἔχει καὶ ἡ μεταξὺ τούτων εὐθεῖα τὸ
290.5
διάστημα, ὅπερ οὔτʼ ἐπὶ τῆς περιφεροῦς οὔτʼ ἐπὶ ἄλλης
295.1
γραμμῆς σημαίνει. διὸ καὶ κατὰ κοινὴν ἔννοιαν τοὺς μὲν
295.2
ἐπʼ εὐθείας βαδίζοντας τὴν ἀναγκαίαν μόνην ποιεῖσθαι
295.3
πορείαν φασίν, τοὺς δὲ μὴ ἐπʼ εὐθείας οὐκέτι. ὁ δέ γε Πλά‐
295.4
των ἀφορίζεται τὴν εὐθεῖαν γραμμήν, ἧς τὰ μέσα τοῖς
295.5
ἄκροις ἐπιπροσθεῖ. καὶ γὰρ τοῦτο τὰ μὲν ἐπʼ εὐθείας κεί‐
1·13
μενα πάσχειν ἀναγκαῖον, τὰ δʼ ἐπὶ ἑτέρας οἱασοῦν γραμμῆς
2·12
οὐκέτι ἀναγκαῖον, ὅθεν καὶ τὸν ἥλιον ἐκλείπειν τότε φασίν,
3·9
ὅτε ἐπὶ μιᾶς εὐθείας γένηται αὐτός τε καὶ ἡ σελήνη καὶ
4·7
τὸ ἡμέτερον ὄμμα. ἴσως δʼ ἂν ἔνδειξιν φέροι τὸ πάθος τοῦτο
5·5
τῆς εὐθείας τοῦ καὶ ἐν τοῖς οὖσι κατὰ τὰς προόδους τὰς ἀπὸ
305.1
τῶν αἰτιῶν τὰ μέσα διαιρετικὰ γίνεσθαι τῆς τῶν ἄκρων
305.2
ὑποστάσεως. ὁ δʼ αὖ Ἀρχιμήδης τὴν εὐθεῖαν γραμμὴν
305.3
ἐλαχίστην τῶν τὰ αὐτὰ πέρατα ἐχουσῶν· καὶ μὴν καὶ οἱ
305.4
ἄλλοι πάντες ὁρισμοὶ εἰς τὰς αὐτὰς ἐννοίας ἐμπίπτουσιν.
305.5
διαιρεῖται δὲ ἡ γραμμὴ διαφόρως μὲν κατὰ Γεμῖνον καὶ
310.1
ἄλλους τινὰς τῶν καὶ τὰς μικτὰς λαμβανόντων γραμμὰς
310.2
εἰς τὴν διαίρεσιν. ὁ δὲ γεωμέτρης τὰς ἀρχοειδεστάτας
310.3
παραδιδοὺς ἐνταῦθα μὲν τὸν τῆς εὐθείας ἀποδέδωκεν λό‐
310.4
γον, ἐν δὲ τῷ περὶ τοῦ κύκλου τῆς περιφεροῦς, μικτῆς δὲ
310.5
οὐδαμοῦ μέμνηται· καίτοι γωνίας οἶδεν μικτὰς τὴν τῶν
315.1
ἡμικυκλίων, τὴν κερατοειδῆ, καὶ σχήματα ἐπίπεδα μικτὰ
315.2
τοὺς τομέας καὶ στερεὰ τοὺς κώνους καὶ κυλίνδρους, τῶν δὲ
315.3
γραμμῶν διαλεγόμενος τούτων μόνον ἐμνημόνευσεν ἡγού‐
315.4
μενος δεῖν τοῖς περὶ τῶν ἁπλῶν τὰ ἁπλᾶ παραλαμβάνειν.
315.5
Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει.
320
Ἡ ἐπιφάνεια διχῆ διαστᾶσα καὶ ταύτῃ ὑποβᾶσα τήν τε
1·14
γραμμὴν καὶ τὸ σημεῖον ἀβαθὴς μείνασα τοῦ τριχῆ δια‐
2·13
στάντος ἁπλουστέραν ἔλαχεν φύσιν· διὸ καὶ ὁ γεωμέτρης
3·10
τὸ μόνον προσέθηκεν ἐπὶ τοῖς δύο διαστήμασιν, ἵνα κἀν‐
4·8
ταῦθα τὴν μὲν ὑπεροχὴν τῆς ἐπιφανείας τὴν κατὰ τὴν
325.1
ἁπλότητα τὴν πρὸς τὸ στερεὸν σημαίνῃ διὰ τῆς ἀποφάσεως
325.2
ἢ τῆς ἰσοδυναμούσης τῇ ἀποφάσει προσθήκης, τὴν δὲ ὕφ‐
325.3
εσιν τὴν πρὸς τὰ πρὸ αὐτῆς διὰ τῶν καταφάσεων. ἄλλοι δὲ
325.4
πέρας αὐτὴν ὡρίσαντο σώματος· τὸ γὰρ περατοῦν τοῦ
325.5
περατουμένου μιᾷ λείπεται διαστάσει, ὡς ἐπιφάνεια σώμα‐
330.1
τος, ἐπιφανείας δὲ γραμμή, γραμμῆς δὲ σημεῖον.
330.2
Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί.
330.3
Καὶ ἀπὸ τούτων ὡς εἰκόνων ληπτέον, ὅτι πᾶν τὸ προσ‐
330.4
εχῶς ἑκάστου τῶν ὄντων ἁπλούστερον τὸν ὅρον ἐπάγει καὶ
330.5
τὸ πέρας. καὶ γὰρ ἡ ψυχῆς τὴν φύσιν μετρεῖ καὶ τὰς ἐνερ‐
335.1
γείας αὐτῆς καὶ νοῦς τὰς ψυχῆς περιόδους καὶ αὐτοῦ τοῦ
335.2
νοῦ τὴν ζωὴν τὸ ἕν· πάντων γὰρ ἐκεῖνο μέτρον, ὥσπερ καὶ
335.3
σημεῖον γραμμῆς καὶ ἐπιφανείας καὶ σώματος. εἰ δέ τις
335.4
ἐπιζητοίη, πῶς πάσης ἐπιφανείας πέρατα γραμμαί (μὴ
335.5
γὰρ τῆς πεπερασμένης πάσης· οὐδὲ γὰρ τῆς σφαίρας ἐπι‐
340.1
φάνεια ὑπὸ τῶν γραμμῶν περιέχεται), ἐροῦμεν, ὅτι τὴν
340.2
ἐπιφάνειαν, καθʼ ὅσον ἐστὶ διχῆ διαστατή, λαμβάνομεν
340.3
κατά τε μῆκος καὶ πλάτος. εἰ δὲ τὴν σφαιρικὴν θεωροῖμεν,
340.4
ἐσχηματισμένην αὐτὴν καὶ προσλαβοῦσαν ἄλλην ποιότητα
340.5
λαμβάνομεν καὶ πέρας ἀρχῇ συνάψασαν καὶ ἐκ τῶν δύο
345.1
περάτων ἓν ποιήσασαν, καὶ τοῦτο δυνάμει μόνον καὶ οὐ
345.2
κατʼ ἐνέργειαν.
345.3
Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφʼ ἑαυτῆς
345.4
εὐθείαις κεῖται.
345.5
Τοῖς μὲν παλαιοτέροις τῶν φιλοσόφων οὐκ ἐδόκει τῆς
1·15
ἐπιφανείας εἶδος τίθεσθαι τὸ ἐπίπεδον, ἀλλʼ ὡς ταὐτὸν
2·14
ἑκάτερον παραλαμβάνειν εἰς παράστασιν τοῦ διχῆ διαστάν‐
3·11
τος· οὕτω γὰρ καὶ ὁ θεῖος Πλάτων τὴν γεωμετρίαν τῶν
1·16
ἐπιπέδων ἔφατο θεωρητικήν, πρὸς τὴν στερεομετρίαν ταύ‐
2·15
την ἀντιδιαιρῶν ὡς ἂν τῆς αὐτῆς οὔσης τῷ ἐπιπέδῳ τῆς
355.1
ἐπιφανείας. ὁ δʼ Εὐκλείδης γένος μὲν ποιεῖ τὴν ἐπιφάνειαν,
355.2
εἶδος δὲ τὸ ἐπίπεδον, ὡς τῆς γραμμῆς τὴν εὐθεῖαν. διὸ καὶ
355.3
τὸ ἐπίπεδον χωρὶς ἀφορίζεται τῆς ἐπιφανείας κατὰ τὸ ἀνά‐
355.4
λογον τῇ εὐθείᾳ· πάντας γὰρ τοὺς τῆς εὐθείας ὅρους εἰς
355.5
τὸ ἐπίπεδον μετάγουσι τὸ γένος μόνον μεταλλάττοντες,
360.1
καὶ ὁ γεωμέτρης ταύτην ὡρίσατο καὶ ἐπὶ ταύτης ὑπο‐
360.2
κειμένης θεωρεῖ τά τε σχήματα καὶ πάθη. εὐπορώτερος
360.3
γὰρ ὁ λόγος ἐπὶ ταύτης ἢ ἐπʼ ἄλλης ἐπιφανείας. καὶ γὰρ
360.4
εὐθεῖαν καὶ κύκλον καὶ πάντα σχήματα καὶ τὰ τούτων
360.5
πάθη δυνατὸν θεωρῆσαι· ἐπὶ γὰρ τῶν ἄλλων, οἷον σφαιρι‐
365.1
κῆς, πῶς ἂν εὐθεῖαν λάβοις;
365.2
Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡ ἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν
365.3
ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴ ἐπʼ εὐθείας κειμένων ἡ πρὸς
365.4
ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις.
365.5
Τὴν γωνίαν οἱ μὲν τῶν παλαιῶν ἐν τῇ τοῦ πρός τι τάτ‐
370.1
τουσι κατηγορίᾳ καὶ λέγουσιν κλίσιν αὐτὴν εἶναι γραμμῶν ἢ
370.2
ἐπιπέδων πρὸς ἄλληλα κεκλιμένων· οἱ δέ τινες ποιότητά
370.3
φασιν, ὡς τὸ εὐθὺ καὶ καμπύλον πάθος τοιόνδε λέγουσιν
370.4
ἐπιφανείας ἢ στερεοῦ· οἱ δὲ εἰς ποσότητα ἀναφέροντες
370.5
ἐπιφάνειαν ἢ στερεὸν αὐτὴν εἶναι συγχωροῦσι· διαιρεῖται
375.1
γάρ, φασίν, ἡ μὲν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις ὑπὸ γραμμῆς, ἡ δʼ
375.2
ἐν τοῖς στερεοῖς ὑπὸ ἐπιπέδου, τὰ δὲ ὑπὸ τούτων διαιρού‐
375.3
μενα οὐκ ἄλλο τί ἐστιν ἢ μέγεθος, καὶ τοῦτο οὐ γραμμή·
375.4
αὕτη γὰρ ὑπὸ σημείου διαιρεῖται· λείπεται οὖν αὐτὴν ἐπι‐
375.5
φάνειαν ἢ στερεὸν εἶναι. καὶ οὕτως ἕκαστος, εἰς ὃ βούλεται,
380.1
τὴν γωνίαν ἕλκων ἄγει ὑπὸ κατηγορίαν οἱ μὲν ὑπὸ τὸ πρός
380.2
τι, οἱ δὲ ὑπὸ ποιότητα, οἱ δὲ ὑπὸ ποσότητα. καὶ ἀντιπί‐
380.3
πτουσι πρῶτον μὲν πρὸς τοὺς μέγεθος λέγοντας τὴν γωνίαν
380.4
λόγοι τοιοῦτοι· εἰ μέγεθος ἡ γωνία, τὰ δὲ ὁμογενῆ μεγέθη
380.5
πεπερασμένα ὄντα λόγον ἔχει πρὸς ἄλληλα, καὶ αἱ γωνίαι
385.1
αἱ ὁμογενεῖς, οἷον αἱ ἐν ἐπιφανείᾳ, λόγον ἕξουσι πρὸς ἄλλη‐
385.2
λα· ὥστε καὶ ἡ κερατοειδὴς πρὸς τὴν εὐθύγραμμον λόγον
1·17
ἕξει. τὰ δὲ λόγον ἔχοντα πρὸς ἄλληλα δύναται πολλαπλα‐
2·16
σιαζόμενα ὑπερέχειν ἀλλήλων· καὶ κερατοειδὴς ἄρα πολλα‐
3·12
πλασιαζομένη ὑπερέξει ποτὲ τῆς εὐθυγράμμου ἡ πάσης
390.1
ὀξείας εὐθυγράμμου ἐλάττων δειχθεῖσα. οὐκ ἄρα μέγεθος
390.2
ἡ γωνία. καὶ μὴν καὶ εἰ ποιότης μόνον ἐστίν, ὡς ἡ θερμό‐
390.3
της καὶ ψυχρότης, πῶς εἰς ἴσα διαιρετή ἐστιν; τῆς γὰρ
390.4
ποιότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον οὐκ ἔστιν, ἀλλὰ τὸ μᾶλλον
390.5
καὶ ἧττον, ὥσπερ τῆς ποσότητος τὸ ἴσον καὶ ἄνισον. οὐ
395.1
λεκτέον τοίνυν ἴσον καὶ ἄνισον, ἀλλὰ μᾶλλον γωνίαν καὶ
395.2
ἧττον γωνίαν· καίτοι γωνίας γωνία οὐ διαφέρει· τὸν γὰρ
395.3
αὐτὸν ἐπιδέχεται πᾶσα γωνία λόγον. τὸ δὴ τρίτον, εἰ κλίσις
395.4
ἐστὶν ἡ γωνία καὶ ὅλως τῶν πρός τι, συμβήσεται μιᾶς
395.5
οὔσης κλίσεως μίαν εἶναι καὶ γωνίαν, ἀλλʼ οὐ πλείους· εἰ
1·18
γὰρ μηδέν ἐστιν ἄλλο παρὰ τὴν σχέσιν γωνία, τίς μηχανὴ
2·17
μίαν μὲν εἶναι σχέσιν, πλείους δὲ τὰς γωνίας; εἰ τοίνυν
3·13
νοήσειας κῶνον τῷ διὰ τῆς κορυφῆς ἄχρι τῆς βάσεως τεμ‐
4·9
νόμενον τριγώνῳ, μίαν μὲν θεωρήσεις κλίσιν τῶν γραμ‐
5·6
μῶν τῶν πλευρῶν τοῦ τριγώνου, δύο δὲ γωνίας, τήν τε τοῦ
405.1
τριγώνου τὴν περιεχομένην ὑπὸ τῶν πλευρῶν, ἑτέραν δὲ
405.2
τὴν ἐπὶ τῆς μικτῆς ἐπιφανείας τοῦ κώνου, περιεχομένην
405.3
δʼ ἑκατέραν ὑπὸ τῶν δυεῖν γραμμῶν. οὐκ ἄρα ἡ τούτων
405.4
σχέσις ἐποίει τὴν γωνίαν. ἀλλὰ μὴν ἀναγκαῖον ποιότητα
405.5
λέγειν αὐτὴν ἢ ποσὸν ἢ πρός τι· πάντα γὰρ τὰ τῆς γεωμετρίας
410.1
ὑποκείμενα ὑπὸ μίαν τούτων ἀνάγεται· τὰ μὲν γὰρ μεγέθη
410.2
ποσότητός ἐστι, τὰ δὲ σχήματα ποιότητος, οἱ δὲ λόγοι πρὸς
410.3
ἄλληλα τούτων τῶν πρός τι. ὥστε καὶ τὴν γωνίαν ὑφʼ ἓν
410.4
τούτων ἀνάξομεν. τοιούτων δὲ τῶν ἀπόρων ὄντων τὴν γω‐
410.5
νίαν αὐτὴν μὲν καθʼ ἑαυτὴν μηδὲν εἶναι τῶν εἰρημένων, διὰ
415.1
δὲ τῆς πάντων τούτων συνδρομῆς ἔχειν τὴν ὑπόστασιν. ἔστι
415.2
δὲ οὐχ ἡ γωνία μόνον τοιοῦτον, ἀλλὰ καὶ τὸ τρίγωνον, καὶ
415.3
ἴσον λέγεται τρίγωνον καὶ ἄνισον, ὡς ποσόν, ἀλλὰ μὴν
415.4
ἔχει καὶ τὴν κατὰ τὸ σχῆμα ποιότητα, ἔχει δὲ καὶ τὴν τῶν
415.5
γραμμῶν πρὸς ἄλληλα κλίσιν. καὶ ἡ γωνία τοίνυν δεῖται
420.1
καὶ ποιότητος, καθʼ ἣν οἷον μορφὴν οἰκείαν ἔχει καὶ χαρακ‐
420.2
τῆρα τῆς ὑπάρξεως· δεῖται καὶ τῆς σχέσεως τῶν ἀφορι‐
420.3
ζουσῶν αὐτὴν γραμμῶν, καὶ διαιρετὴ μέντοι ἐστὶν καὶ
420.4
ἰσότητος καὶ ἀνισότητος δεκτική, οὐκ ἀναγκάζεται δὲ τὸν
420.5
λόγον ἐπιδέχεσθαι τῶν ὁμογενῶν μεγεθῶν διὰ τὸ καὶ ποι‐
425.1
ότητα ἰδιάζουσαν ἔχειν, καθʼ ἣν ἀσύμβλητοί εἰσιν πολλάκις
425.2
γωνίαι ἄλλαι ἄλλαις. εἰ δὴ πρὸς τούτους ἀποβλέποιμεν
425.3
τοὺς προσδιορισμούς, καὶ τὰ ἄπορα διαλύσομεν καὶ τὴν
425.4
ἰδιότητα τῆς γωνίας εὑρήσομεν. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως·
425.5
τῶν δὲ γωνιῶν τὰς μὲν ἐν ἐπιφανείᾳ συνίστασθαι λεκτέον,
430.1
τὰς δʼ ἐν στερεοῖς, καὶ τῶν ἐν ἐπιφανείαις τὰς μὲν ἐν
430.2
ἁπλαῖς, τὰς δʼ ἐν μικταῖς· καὶ γὰρ ἐν τῇ κυλινδρικῇ ἐπι‐
430.3
φανείᾳ γένοιτʼ ἂν καὶ ἐν τῇ κωνικῇ· τῶν δʼ ἐν ταῖς ἁπλαῖς
430.4
αἱ μὲν ἐν ταῖς σφαίραις, αἱ δὲ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἔχουσι τὴν
430.5
σύστασιν. τῶν δʼ ἐν τοῖς ἐπιπέδοις αἱ μὲν ὑπὸ ἁπλῶν περι‐
435.1
έχονται γραμμῶν, αἱ δὲ ὑπὸ μικτῶν, αἱ δὲ ὑπʼ ἀμφοτέρων·
435.2
ἐν γὰρ τῷ θυρεῷ περιέχεται γωνία τις ὑπὸ τοῦ ἄξονος καὶ
435.3
τῆς τοῦ θυρεοῦ γραμμῆς, καὶ τούτων ἡ μέν ἐστιν ἁπλῆ, ἡ
435.4
δὲ μικτή, καὶ ὅλως πολλαὶ τοιαῦται διαφοραὶ τοῖς φιλο‐
435.5
μαθοῦσιν ὀφθήσονται. ταύτας τοίνυν ἁπάσας τὰς ἐν ἐπι‐
440.1
πέδοις συνισταμένας ὁ γεωμέτρης ἐν τούτοις ἀφορίζεται,
440.2
κοινὸν ὄνομα θέμενος αὐταῖς τὸ τῆς ἐπιπέδου γωνίας, τὸ
440.3
μὲν γένος αὐτῶν κλίσιν εἰπών, τὸν δὲ τόπον ἐπίπεδον. καὶ
440.4
γὰρ δύο περιφέρειαι ἐφαπτόμεναι ἢ τέμνουσαι ἀλλήλας ποι‐
440.5
οῦσι γωνίας, καὶ αὖ τρεῖς· ἢ γὰρ ἀμφικύρτους, ὅταν ἐκτὸς
445.1
ᾖ τὰ κυρτά, ἢ ἀμφικοίλους, ὅταν ἀμφότερα τὰ κοῖλα ἐκτὸς
445.2
ὑπάρχῃ, ἃς καλοῦσι ξυστροειδεῖς, ἢ μικτὰς ἀπὸ κυρτῆς
445.3
καὶ κοίλης, ὡς τὰς τῶν μηνίσκων, ἢ ἐξ εὐθείας καὶ περι‐
445.4
φερείας, ὡς τὰς τῶν ἡμικυκλίων καὶ τὰς κερατοειδεῖς·
445.5
πᾶσαι γὰρ αἱ τοιαῦται ὑπὸ τοῦτον ἐνεχθήσονται τὸν ὅρον.
1·19
ἀλλὰ τὸ μὲν γένος αὐτῶν οὕτως ἀφωρίσατο, τὴν δὲ γένε‐
2·18
σιν, ὅτι δύο εἶναι χρὴ γραμμὰς καὶ οὐ τρεῖς τοὐλάχιστον,
1·20
ὥσπερ ἐπὶ τῆς στερεᾶς γωνίας, καὶ ταύτας ὁμιλεῖν ἀλλή‐
2·19
λαις καὶ ὁμιλούσας μὴ κεῖσθαι ἐπʼ εὐθείας· ἔκτασις γὰρ
3·14
οὕτως, ἀλλʼ οὐ κλάσις καὶ περιοχὴ γίνεται τῶν γραμμῶν,
455.1
ἀλλὰ μὴ ἔκτασις μόνον καθʼ ἓν διάστημα. δοκεῖ δὲ ὁ λόγος
455.2
οὗτος πρῶτον μὲν ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς οὐ συγχωρεῖν ἀπο‐
455.3
τελεῖσθαι γωνίαν· καίτοι γε ἡ κισσοειδὴς καὶ ἱπποπέδη
455.4
ποιεῖ μία οὖσα ἑκατέρα. ἔπειτα κλίσιν ἀφοριζόμενος τὴν
455.5
γωνίαν πλὴν τρίτον παρέλκει τὸ ἐπί τινων γωνιῶν τὸ καὶ
460.1
μὴ ἐπʼ εὐθείας κεῖσθαι· ἐπὶ γὰρ τῶν περιφερογράμμων
460.2
καὶ ἄνευ τούτου τέλειος ὁ ὁρισμός· οὐδὲ γὰρ ἐπʼ εὐθείας
460.3
κεῖσθαι τὰς περιφερείας δυνατόν. Ἀπολλώνιος δὲ καθʼ
460.4
ὅλου γωνίαν ὁριζόμενός φησι συναγωγὴν ἐπιφανείας ἢ
460.5
στερεοῦ πρὸς ἑνὶ σημείῳ ὑπὸ κεκλασμένῃ γραμμῇ ἢ ἐπι‐
465.1
φανείᾳ· περιλαμβάνει γὰρ οὗτος καὶ τὴν τοῦ κώνου. κυριώ‐
465.2
τερον δʼ ἂν ἀποδοίη τις συναγωγὴν μεγέθους ἢ μεγεθῶν
465.3
πρὸς ἑνὶ σημείῳ.
465.4
Ὅταν δὲ αἱ τὴν γωνίαν περιέχουσαι γραμμαὶ εὐθεῖαι
465.5
ὦσιν, εὐθύγραμμος ἡ γωνία καλεῖται.
470.1
Τὴν γωνίαν σύμβολον εἶναί φαμεν καὶ εἰκόνα τῆς συν‐
470.2
οχῆς τῆς ἐν τοῖς θείοις γένεσιν καὶ τῆς συναγωγοῦ τάξεως
470.3
τῶν διῃρημένων εἰς ἕν· δεσμὸς γὰρ γίνεται καὶ αὕτη τῶν
470.4
πολλῶν γραμμῶν καὶ ἐπιπέδων καὶ συναγωγὸς τοῦ μεγέ‐
470.5
θους εἰς τὸ ἀμερὲς σημεῖον. διὸ καὶ τὸ λόγιον συνοχηίδας
475.1
ἀποκαλεῖ τὰς γωνίας, ὡς εἰκόνα φερούσας τῶν συνοχικῶν
475.2
ἑνώσεων. αἱ μὲν οὖν ἐν ταῖς ἐπιφανείαις γωνίαι τὰς ἀυλοτέ‐
475.3
ρας καὶ ἁπλουστέρας καὶ τελειοτέρας ἀποτυποῦνται, αἱ δὲ
475.4
ἐν τοῖς στερεοῖς τὰς προϊούσας μέχρι τῶν ἐσχάτων καὶ
475.5
τοῖς πάντη μεριστοῖς ὁμοφυῆ σύνταξιν. τῶν δὲ ἐν ταῖς
480.1
ἐπιφανείαις αἱ μὲν τὰς πρώτας καὶ ἀμίκτους, αἱ δὲ τὰς τῆς
480.2
ἀπειρίας συνεκτικὰς τῶν ἐν αὐτοῖς προόδων ἀπεικονίζον‐
1·21
ται· καὶ αἱ μὲν τὰς τῶν νοερῶν εἰδῶν ἑνοποιοῦσιν, αἱ δὲ
2·20
τὰς τῶν αἰσθητῶν λόγων, αἱ δὲ τὰς τῶν μεταξὺ τούτων.
3·15
αἱ μὲν οὖν περιφερόγραμμοι τὰς συνελισσούσας αἰτίας
485.1
ἀπομιμοῦνται, αἱ δὲ εὐθύγραμμοι τὰς τῶν αἰσθητῶν, αἱ
485.2
δὲ μικταὶ τὰς τὴν κοινωνίαν τῶν νοερῶν εἰδῶν καὶ αἰσθη‐
485.3
τῶν κατὰ μίαν ἕνωσιν ἀσάλευτον φυλαττούσας.
485.4
Ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας
485.5
ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴ ἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι,
490.1
καὶ ἡ ἐφεστηκυῖα γραμμὴ κάθετος καλεῖται, ἐφʼ ἣν ἐφέστη‐
490.2
κεν· ἀμβλεῖα δὲ ἡ μείζων ὀρθῆς, ὀξεῖα δὲ ἡ ἐλάσσων ὀρθῆς.
490.3
Διʼ ἣν αἰτίαν τὸ τριπλοῦν τῶν γωνιῶν εἶδος ὑπέστη, γεω‐
490.4
μέτραι μὲν οὐκ ἂν φαῖεν, οἱ δὲ Πυθαγόρειοι καὶ τούτων
490.5
ἐπὶ τὰς ἀρχὰς ἀναφέροντες τὰς αἰτίας οὐκ ἀποροῦσι περὶ
495.1
τῆς ὑποστάσεως αὐτῶν. ἐπειδὴ γὰρ τῶν ἀρχῶν ἡ μὲν κατὰ
495.2
τὸ πέρας ὑφέστηκεν, ἡ δὲ κατὰ τὸ ἄπειρον, καί ἐστιν ἡ μὲν
495.3
ὅρου καὶ ἰσότητος τοῖς ἀποτελέσμασιν αἰτία, ἡ δὲ προόδου
495.4
καὶ αὐξήσεως καὶ μειώσεως καὶ παντοίας ἑτερότητος, καὶ
495.5
τῶν εὐθυγράμμων γωνιῶν κατʼ ἐκείνας ἱσταμένων, τὴν
1·22
μὲν ὀρθὴν ὁ ἀπὸ τοῦ πέρατος ἥκων λόγος ἀπετέλεσεν ἰσό‐
2·21
τητι κρατουμένην καὶ ὁμοιότητι καὶ ὡρισμένην αἰεὶ καὶ
3·16
τὴν αὐτὴν ἑστῶσαν, ὁ δὲ ἀπὸ τῆς ἀπειρίας δεύτερος ὢν
4·10
καὶ δυαδικὸς καὶ γωνίας ἀνέφηνεν δυαδικὰς ἀνισότητι
5·7
διῃρημένας κατὰ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον καὶ ὅμοιον καὶ
505.1
ἀνόμοιον. διὰ ταῦτα καὶ τὰς μὲν ὀρθὰς εἰς τοὺς ἀχράντους
505.2
ἀναπέμπουσι καὶ ἀκλίτους διακόσμους, τὰς δὲ ὀξείας καὶ
505.3
ἀμβλείας τοῖς τῆς προόδου καὶ κινήσεως καὶ ποικιλίας τῶν
505.4
γινομένων δυνάμεων χορηγοῖς. τὸ γὰρ ἀμβλὺ τῆς ἐπὶ πᾶν
505.5
ἁπλουμένης τῶν εἰδῶν ἐκτάσεως εἰκών, καὶ τὸ ὀξὺ τῆς
510.1
διαιρετικῆς καὶ κινητικῆς τῶν ὅλων αἰτίας ἀφομοίωσιν
510.2
ἔλαχεν. διὸ καὶ τῇ ψυχῇ ὀρθῶς παραινοῦσιν εἰς γένεσιν ἰούσῃ
510.3
κατὰ τὸ ἀκλινὲς καὶ ἀρρεπὲς χωρεῖν καὶ ὅλως τὸ τῆς ὀρθῆς
510.4
εἶδος. σύμβολον γὰρ καὶ ἡ κάθετός ἐστιν ἀρρεψίας καὶ ἀχράν‐
510.5
του καθαρότητος καὶ μέτρου θείου καὶ νοεροῦ. καὶ γὰρ ἐν τοῖς
515.1
φαινομένοις τὰ ὑψηλότατα διὰ ταύτης ὁρῶμεν τῆς εὐθείας
515.2
καὶ τῇ πρὸς τὴν ὀρθὴν ἀναφορᾷ τὰς ἄλλας εὐθυγράμμους
515.3
γωνίας ὁρίζομεν αὐτὰς οὔσας ἀφʼ ἑαυτῶν ἀορίστους· ἐν
515.4
ὑπερβολῇ γὰρ καὶ ἐλλείψει θεωροῦμεν αὐτάς. τοσαῦτα καὶ
515.5
περὶ τούτων· δεῖ δὲ τοῖς ὁρισμοῖς τῆς τε ἀμβλείας καὶ
520.1
ὀξείας προστιθέναι τὸ γένος εὐθύγραμμος γωνία, ἀλλʼ
520.2
οὐχ ἁπλῶς γωνία· καὶ γὰρ ἡ κερατοειδὴς πάσης ὀρθῆς
520.3
ἐστιν ἐλάσσων, ὅπου καὶ ὀξείας πάσης, καὶ ἡ τοῦ ἡμι‐
520.4
κυκλίου πάσης ὀρθῆς ἐλάσσων, ἀλλʼ οὐκ ὀξείας. τὸ δʼ
520.5
αἴτιον, ὅτι μικταί εἰσιν καὶ οὐκ εὐθύγραμμοι. τοῦτό τε οὖν
525.1
ἐπισημαντέον, καὶ ὅτι τὴν μὲν ὀρθὴν ἀπὸ τῶν ἐφεξῆς ἴσων
525.2
οὐσῶν ὡρίσατο, τὴν δὲ ἀμβλεῖαν καὶ ὀξεῖαν οὐκέτι, ὅτι
525.3
ἄπειροι αἱ ἐγκλίσεις ἐπὶ τὸ μεῖζον καὶ ἔλαττον, καὶ οὐκ
525.4
ἐνῆν ἀπὸ τῆς κλίσεως ὁρίσαι τῆς εὐθείας. ὀρθῶς ἄρα πρὸς
525.5
τὴν ὀρθὴν ἀναφέρων τὸν λόγον ἀποδέδωκεν τῶν λοιπῶν
530.1
γωνιῶν.
530.2
Ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας.
530.3
Τὸν ὅρον οὐ πρὸς ἅπαντα ἀναφέρειν δεῖ τὰ μεγέθη (καὶ
530.4
γὰρ γραμμῆς ὅρος ἐστὶ καὶ πέρας), ἀλλὰ πρὸς τὰ χωρία τὰ
530.5
ἐν ἐπιφανείαις καὶ τὰ στερεά. νῦν γὰρ ὅρον καλεῖ τὴν
535.1
περιοχὴν τὴν ἀφορίζουσαν ἕκαστον χωρίον καὶ πέρας ἀφ‐
535.2
ορίζεται τοῦτον τὸν ὅρον, οὐχ ὡς τὸ σημεῖον λέγεται πέρας
535.3
γραμμῆς, ἀλλʼ ὡς τὸ περικλεῖον καὶ περιεῖργον ἀπὸ τῶν
535.4
περικειμένων. ὥστε πᾶς μὲν ὅρος καὶ πέρας, οὐ μὴν εἴ τι
535.5
πέρας, καὶ ὅρος.
540.1
Σχῆμά ἐστι τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον.
540.2
Τοῦ σχήματος πολλαί τινές εἰσι διαφοραί, καὶ δεῖ ταύτας
540.3
ἐπελθόντα καὶ τὸ προκείμενον ἡμῖν θεωρῆσαι, ὑπὸ ποίαν
540.4
τῶν διαφορῶν ἀνάγεται. ἔστι μὲν οὖν σχῆμα καὶ κατὰ τρο‐
540.5
πὴν ὑφιστάμενον καὶ ἀπὸ πάθους πληττομένων ἢ διαιρου‐
545.1
μένων ἢ ἀφαιρουμένων ἢ προστιθεμένων τινῶν. σχῆμά
545.2
ἐστιν καὶ τὸ κατὰ τέχνην γινόμενον καὶ τὸν ἐν αὐτῇ λόγον,
545.3
τῆς χαλκευτικῆς, εἰ τύχοι, ἢ ἑτέρας τινός. ἔτι δὲ σεμνότε‐
1·23
ρον τούτων ἐστὶ τὰ ὑπὸ τῆς φύσεως γενόμενα· ὧν τὰ μὲν
2·22
ὑπὸ σελήνην ἔχει τὸν πολυειδῆ σχηματισμόν, τὰ δʼ ἐν
1·24
οὐρανῷ· διαφοραὶ γὰρ καὶ ἐν τοῖς θείοις εἰσὶ σώμασι, καθʼ
2·23
ἃς εὐρύθμως κινούμενα τὴν νοερὰν καὶ ἄχραντον ἀπομιμοῦν‐
3·17
ται γνῶσιν, ταῖς περιφοραῖς καὶ τοῖς τοιοῖσδε σχηματισ‐
4·11
μοῖς καταγράφοντες τὴν ἀσώματον τῶν θεῶν βούλησιν.
5·8
ἔστι δὲ αὖ καὶ τούτων ἐπέκεινα κάλλει καὶ καθαριότητι
555.1
προὔχοντα τῶν ψυχῶν σχήματα αὐτοκίνητα πρὸς τῶν ἑτερο‐
555.2
κινήτων καὶ ἀδιάστατα πρὸ τῶν διαστατῶν ὑφεστῶτα,
555.3
ζωῆς πλήρη καὶ γνώσεως ὑπάρχοντα. περὶ τούτου καὶ ὁ
555.4
Τίμαιος ἡμᾶς ἀνεδίδαξεν· πρὸ δὲ τούτων ἐστὶ τὰ νοερὰ
555.5
πάντη μὲν ὑπερέχοντα τῶν αἰσθητῶν, γόνιμα δὲ καὶ τε‐
560.1
λεσιουργὰ καὶ δραστήρια καὶ πᾶσιν ἐξ ἴσου παρόντα καὶ
560.2
τοῖς μὲν ψυχικοῖς τὴν ἕνωσιν ἐπάγοντα, τὴν δʼ ἐν τοῖς σώμα‐
560.3
σιν παράλλαξιν ἀνακαλούμενα ἐπὶ τὸν οἰκεῖον ὅρον. ἔστι δὲ
560.4
ἄρα καὶ τὰ τούτων ἐξῃρημένα, καὶ πολὺ θειότερα τὰ ἐν
560.5
αὐτοῖς ὑφεστῶτα τοῖς θεοῖς, ἐποχούμενα μὲν τοῖς νοεροῖς
565.1
σχήμασιν, πέρας δὲ καὶ ὅρον πᾶσιν ἐπάγοντα κατὰ ταὐτά,
565.2
καὶ ἡ θεουργία τὰς ἰδιότητας ἀποτυπουμένη τῶν θεῶν
565.3
ἀγάλμασιν ἄλλα ἄλλοις περιβάλλει σχήματα καὶ χαρακτῆρ‐
565.4
σιν αὐτὰ τοιῶσδε μορφοῦσα ἑστῶτα ἢ καθήμενα ἢ ἄλλως
565.5
πως ἀπεικονιζόμενα, τὰ δὲ ἐν αὐτοῖς προϋπάρχοντα τοῖς
570.1
θεοῖς. ἄνωθεν ἄρα τὸ σχῆμα διατείνει μέχρι τῶν ἐσχάτων·
570.2
δεῖ γὰρ πρὸ τῶν ἀτελῶν ὑφεστάναι τὰ τέλεια καὶ τῶν ἐν
570.3
ἄλλοις ὄντων τὰ ἐφʼ ἑαυτῶν καὶ τὰ ἡνωμένα τῶν διῃρημέ‐
570.4
νων. τὰ μὲν οὖν ὑπὸ τὴν σελήνην ἀναπέπλησται τῆς ὑλικῆς
570.5
ἀσχημοσύνης, τὰ δὲ οὐράνια μεριστά ἐστι καὶ ἐν ἄλλοις
575.1
ὑφέστηκεν. τὰ δὲ ψυχικὰ διαιρέσεως καὶ ποικιλίας μετ‐
575.2
είληφεν, τὰ δὲ νοερὰ μετὰ τῆς ἑνώσεως καὶ πλῆθος ἔχει,
575.3
αὐτὰ δὲ τὰ τῶν θεῶν ἑνοειδῆ καὶ ἁπλᾶ πρὸ τῶν ἄλλων
575.4
ὑφέστηκεν τὴν τελειότητα πᾶσιν ἀφʼ ἑαυτῶν προτείνοντα·
575.5
τελεσιουργὸν γὰρ καὶ ἀρχηγικὴν ἔχουσι τὴν αἰτίαν. οὐκ
580
ἄρα τὰ μὲν ἔνυλα σχήματα ὑφέστηκεν, τὰ δὲ ἄυλα καὶ
1·25
καθαρώτερον ἔχοντα τὴν οὐσίαν οὐχ ὑφέστηκεν. ἀλλὰ
2·24
ταῦτα μὲν κατὰ τὸ Πυθαγόρειον ἀρέσκον· ὁ δὲ γεωμέτρης
3·18
τὸ ἐν τῇ φαντασίᾳ σχῆμα θεωρῶν καὶ τοῦτο πρώτως οὕτως
4·12
ὁριζόμενος, εἰ καὶ τοῖς αἰσθητοῖς λόγοις ἐφαρμόττει, δευ‐
585.1
τέρως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενόν φησιν εἶναι
585.2
τὸ σχῆμα· σὺν ὕλῃ γὰρ ἤδη λαβὼν αὐτὸ καὶ ὡς διαστατὸν
585.3
φανταζόμενος εἰκότως τὸ ὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχό‐
585.4
μενόν φησιν εἶναι τὸ σχῆμα. πᾶν γὰρ τὸ ὕλην ἔχον νοητὴν
585.5
ἢ αἰσθητὴν ἀλλαχόθεν ἔχει τὸν ὅρον, καὶ οὐκ αὐτὸ πέρας
590.1
ἐστίν, ἀλλὰ πεπερασμένον ἐστίν, οὐδʼ αὐτὸ ὅρος, ἀλλʼ
590.2
ἄλλο μὲν ἐν αὐτῷ τὸ ὁρίζον, ἄλλο δὲ τὸ ὁριζόμενον, οὐδʼ
590.3
ἐν αὑτῷ ἐστιν, ἀλλʼ ὑπʼ ἄλλου περιέχεται. τῷ γὰρ ποσῷ
590.4
συμφύεται καὶ μετʼ ἐκείνου συνυφίσταται, καὶ γίνεται αὐτῷ
590.5
ὑποκείμενον τὸ ποσόν. εἰ δέ τις ἐπιτιμῴη τῷ ὅρῳ ὡς ἀπὸ
595.1
τῶν εἰδῶν τὸ γένος ἀφοριζόμενον (τὸ γὰρ ὑφʼ ἑνὸς ὅρου
595.2
περιεχόμενον καὶ τὸ ὑπὸ πλειόνων εἴδη τοῦ σχήματος),
595.3
γιγνωσκέτω, ὅτι καὶ τὰ γένη τὰς δυνάμεις προείληφεν τῶν
595.4
εἰδῶν ἐν ἑαυτοῖς, καὶ ὅταν ἀπὸ τῶν δυνάμεων τῶν ἐν τοῖς
595.5
γένεσιν ἐθέλωσιν αὐτὰ σαφῆ ποιεῖν οἱ παλαιοί, δοκοῦσι
1·26
μὲν ἀπὸ τῶν εἰδῶν ἐπιχειρεῖν, τῷ δʼ ἀληθεῖ αὐτὰ ἀφʼ
2·25
ἑαυτῶν ἅμα διδάσκουσι καὶ τῶν ἐν αὐτοῖς δυνάμεων. ἀλλὰ
3·19
πόθεν πρόεισιν ὁ τοῦ σχήματος λόγος; ἀπὸ τοῦ πέρατος
4·13
καὶ ἀπείρου καὶ μικτοῦ. τὰ μὲν γὰρ περιφερῆ αὐτῶν ἀπὸ
5·9
τοῦ πέρατος ἧκεν, τὰ δʼ εὐθύγραμμα ἀπὸ τοῦ ἀπείρου, τὰ
605.1
δὲ μικτὰ ἀπὸ τοῦ μικτοῦ.
605.2
Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περι‐
605.3
εχόμενον, πρὸς ἣν ἀφʼ ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχή‐
605.4
ματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι ἴσαι ἀλ‐
605.5
λήλαις εἰσίν. κέντρον δὲ τοῦ κύκλου τὸ σημεῖον καλεῖται.
610.1
Τὸ πρῶτον καὶ ἁπλούστατον τῶν σχημάτων καὶ τελειό‐
610.2
τατος ὁ κύκλος ἐστί· τῶν μὲν γὰρ στερεῶν ὑπερφέρει τῷ
610.3
ἐν ἁπλουστέρᾳ τάξει κεῖσθαι, τῶν δʼ ἐπιπέδων τῇ ὁμοιό‐
1·27
τητι καὶ ταυτότητι. καί ἐστιν ἀνάλογον τῇ ἀμείνονι συ‐
2·26
στοιχίᾳ· εἰ μὲν γὰρ εἰς οὐρανὸν καὶ γένεσιν διαιροῖς τὸ
615.1
πᾶν, τῷ μὲν οὐρανῷ τὸ κυκλικὸν εἶδος ἀποδώσεις, τῇ δὲ
615.2
γενέσει τὸ εὐθύ· καὶ γὰρ ὅσον ἐν τοῖς γενητοῖς ἐστι κυκλι‐
615.3
κόν, ἄνωθεν ἀπὸ τῶν οὐρανίων ἐφήκει· διὰ γὰρ τὴν ἐκεί‐
615.4
νων κυκλοφορίαν ἡ γένεσις ἀνακυκλεῖται πρὸς ἑαυτήν. εἴς
615.5
γε μὴν ψυχὴν καὶ νοῦν διαιρῶν τὰ ἀσώματα τῷ μὲν νῷ
620.1
τὸ κυκλικὸν ἀποδώσεις, τὸ δὲ εὐθὺ τῇ ψυχῇ. καὶ γὰρ τὴν
620.2
ψυχὴν κατὰ κύκλον ἐπιστρέφειν πρὸς νοῦν φαμεν. καὶ
620.3
ὅλως, ὅπερ ἡ γένεσις πρὸς οὐρανόν, τοῦτο ψυχὴ πρὸς νοῦν.
620.4
καὶ γὰρ εἰκὼν νοῦ μὲν οὐρανός, γένεσις δὲ ψυχῆς. ὥστε
620.5
πάντων τῶν θειοτέρων εἰκὼν ὁ κύκλος· θεοῖς μὲν γὰρ ἐπι‐
625.1
στροφὴν καὶ ἕνωσιν καὶ μονὴν παρέχεται, τὰς μὲν ἄκρας
625.2
αὐτῶν δυνάμεις καὶ ἐφετὰς σταθερῶς ὡς κέντρῳ καθ‐
625.3
ιδρύων, τὰ δὲ πλήθη τῶν δυνάμεων τὸ περὶ αὐτὰς ἐνεργεῖν
625.4
παρέχων, ταῖς δὲ νοεραῖς οὐσίαις τὸ διαιωνίως ἐνεργεῖν καὶ
625.5
πρὸς ἑαυτὰς ἐπιστρέφειν καὶ παρʼ ἑαυτῶν πληροῦσθαι τῆς
630.1
γνώσεως. ταῖς δὲ ψυχαῖς ἐπιλάμπει τὸ αὐτόζωον, τὸ
630.2
αὐτοκίνητον, τὸ πρὸς νοῦν ἐπιστρέφεσθαι, τὸ τὰς οἰκείας
630.3
περιόδους ἀνελίσσειν, τοῖς δὲ οὐρανίοις σώμασι τὴν πρὸς
630.4
τὸν νοῦν ἀφομοίωσιν, τοῖς δʼ ὑπὸ σελήνην τὴν ἐν ταῖς
630.5
μεταβολαῖς πρόοδον καὶ τὸ ἐν τοῖς γενητοῖς ἀγέννητον καὶ
635.1
τὴν ἀείδιον παλιγγενεσίαν καὶ τὴν πρὸς τὸν οὐρανὸν ἀφ‐
635.2
ομοίωσιν, τοῖς δέ γε παρὰ φύσιν λεγομένοις ὅρον καὶ τάξιν
635.3
ἐπιτίθησι. οὐ γὰρ εὐφορίαι μόνον, ἀλλὰ καὶ ἀφορίαι κατὰ
635.4
περιτροπὰς συνίστανται, ὥς φησιν ὁ ἐν Πολιτείᾳ τῶν μου‐
635.5
σῶν λόγος. καὶ πάντα δὲ τὰ κακά, εἰ καὶ ἀπέρριπται πόρρω
640.1
που ἀπὸ θεῶν εἰς τὸν θνητὸν καὶ ἀεὶ μεταβαλλόμενον τό‐
640.2
πον, ἀλλʼ οὖν περιπολεῖ, φησὶν ὁ Σωκράτης. οὐδὲν ἄμοιρον
640.3
ἄρα λέλειπται τῆς κυκλικῆς ὁμοιότητος· διὸ καὶ τὰ μέσα
640.4
κέντρα συνέχει τῆς προόδου τῶν ἀριθμῶν τῆς ἀπὸ μονάδος
640.5
ἄχρι δεκάδος· ἡ γὰρ πεμπὰς καὶ ἑξὰς ἐκ πάντων τὴν
645.1
κυκλικὴν ἐπιδείκνυται δύναμιν· πολλαπλασιαζόμενοι γὰρ
645.2
εἰς ἑαυτοὺς καταλήγουσιν. προόδου μὲν οὖν ὁ πολλαπλα‐
645.3
σιασμὸς αἴτιος, ἡ δὲ εἰς αὑτὸν κατάληξις ἐπιστροφῆς, τὸ
645.4
δὲ συναμφότερον ἡ κυκλικὴ παρέχεται δύναμις. ἀλλὰ ταῦτα
645.5
μὲν ὧδε· θεωρήσωμεν δέ, ὅπως εἰς πᾶσαν ἀκρίβειαν ὁ τοῦ
1·28
κύκλου ὅρος ἀποδέδοται. σχῆμα μὲν γὰρ εἴρηται ὡς πέρας
2·27
ἔχον καὶ περιεχόμενον ὑφʼ ἑνὸς ὅρου, ἐπίπεδον δέ, καθʼ
3·20
ὅσον τῶν ἐπιπέδων ἐστί, πρὸς δὲ τὴν γραμμὴν ἴσας ἔχοντα
4·14
τὰς ἀφʼ ἑνὸς τῶν ἐντὸς σημείων. καὶ γὰρ εἰ ἔλλειψις ὑπὸ
5·10
μιᾶς περιέχεται γραμμῆς, ἀλλʼ οὐκ εἰσὶν αἱ ἀφʼ ἑνὸς τῶν
655.1
ἐντὸς ἴσαι πᾶσαι· δύο γὰρ μόναι ἐπὶ τῆς ἐλλείψεως ἴσαι
655.2
γίνονται εὐθεῖαι. καὶ μὴν καὶ αἱ ἀπὸ τοῦ πόλου πρὸς τὴν
655.3
τοῦ κύκλου περιφέρειαν προσπίπτουσαι εὐθεῖαι πᾶσαί
655.4
εἰσιν ἴσαι, ἀλλʼ οὐκ ἐντός ἐστι τὸ σημεῖον, ἀλλʼ ἐκτός.
655.5
διώρισται οὖν ἐνταῦθα, τί μὲν ὁ κύκλος, τί δὲ τὸ κέντρον,
660.1
καὶ ἐν τῷ κύκλῳ τί μὲν ἡ περιφέρεια, τί δὲ τὸ ὅλον σχῆμα.
660.2
λάβοις δʼ ἂν ἐκ τούτων ἀναδραμὼν ἐπὶ τὰ παραδείγματα
660.3
τὸ μὲν κέντρον ἑκασταχοῦ τὴν ἑνιαίαν καὶ ἀμέριστον καὶ
660.4
μόνιμον ὑπεροχήν, τὰς δʼ ἀπὸ τοῦ κέντρου διαστάσεις τὰς
660.5
ἀπὸ τοῦ ἑνὸς προόδους εἰς πλῆθος ἄπειρον, τὴν δὲ περι‐
665.1
φέρειαν κατὰ τὴν ἐπιστροφὴν τῶν προελθόντων θεωρήσεις·
665.2
ὥσπερ δὲ ἐν τῷ κύκλῳ ὁμοῦ πάντα, τὸ κέντρον, αἱ δια‐
665.3
στάσεις, ἡ περιφέρεια, οὕτω καὶ ἐν ἐκείνοις, πλὴν ὅτι
665.4
ἀλλαχοῦ μὲν τὸ κέντρον ἐνταῦθα, ἀλλαχοῦ δὲ ἡ διάστασις
665.5
καὶ ἡ περιφέρεια ὁμοίως ἀλλαχοῦ, ἐκεῖ δὲ ἐν ἑνὶ πάντα,
670.1
κἂν τὸ κέντρον λάβοις, ἐνταῦθα πάντα, κἂν τὴν διάστασιν,
670.2
ἐπὶ ταύτης τὸ κέντρον καὶ τὴν περιφέρειαν ὁμοίως.
670.3
Διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέν‐
670.4
τρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ
670.5
τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν
675.1
κύκλον.
675.2
Ἔστι καὶ τετραγώνων διάμετρος καὶ ὅλως παραλληλο‐
1·29
γράμμων, ἔστι καὶ ἐπὶ στερεῶν σωμάτων, ὡς τῆς σφαίρας,
2·28
ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῶν γεγωνιωμένων καὶ διαγώνιος ἡ αὐτὴ
3·21
προσαγορεύεται, ἐπὶ δὲ τῆς σφαίρας καὶ ἄξων, ὥσπερ δὴ
680.1
καὶ ἐπὶ ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ κύκλου διάμετρος ἰδίως. ἀπείρων
680.2
δὲ ἀγομένων εὐθειῶν ἐντὸς τοῦ κύκλου μόνη ἡ διὰ τοῦ
680.3
κέντρου ἐστὶν ἡ διάμετρος, ἥτις καὶ περατοῦται ὑπὸ τῆς
680.4
περιφερείας. ἀλλὰ ταῦτα μὲν γένεσιν ἐμφαίνει τῆς δια‐
680.5
μέτρου, τὸ δʼ ἑξῆς τὸ δίχα τέμνειν τὸν κύκλον τὴν ἰδίαν
685.1
αὐτῆς ἐνέργειαν. αἴτιον δὲ τῆς ἰσότητος ἡ διὰ τοῦ κέντρου
685.2
ἀπαρέγκλιτος φορὰ τῆς διαμέτρου. καὶ μαθηματικῶς δʼ
685.3
ἀποδείξεις λέγων οὕτως· ἠγμένης τῆς διαμέτρου νόησον
685.4
τὸ ἕτερον ἡμικύκλιον ἐπὶ τὸ ἕτερον ἐφαρμοζόμενον. λέγω,
685.5
ὅτι ἴσον ἐστίν. εἰ γὰρ μή, ἤτοι ἐντὸς πεσεῖται τὸ ἕτερον
690.1
ἢ ἐκτός· ὅπως δʼ ἂν ἡ πτῶσις ᾖ, συμβήσεται ἄτοπον· ἡ
690.2
γὰρ μείζων εὐθεῖα τῇ ἐλάσσονι ἴση εὑρεθήσεται· πᾶσαι
690.3
γὰρ αἱ ἀπὸ τοῦ κέντρου πρὸς τὴν περιφέρειαν ἴσαι εἰσίν.
690.4
ἀλλὰ εἰ μιᾶς οὔσης διαμέτρου δύο ἡμικύκλια γίνεται, ἄπει‐
690.5
ροι δὲ αἱ διάμετροι, συμβήσεται τῶν ἀπείρων διπλάσιον
695.1
εὑρεθῆναι κατʼ ἀριθμόν· ταυτὶ γὰρ ἀποροῦσί τινες. ἡμεῖς
695.2
δὲ λέγομεν, ὅτι τέμνεται μὲν ἐπʼ ἄπειρον, οὐκ εἰς ἄπειρα δέ.
695.3
τοῦτο μὲν γὰρ ἐνεργείᾳ ποιεῖ τὸ ἄπειρον, ἐκεῖνο δὲ δυνά‐
695.4
μει, καὶ τὸ μὲν οὐσίαν τῷ ἀπείρῳ δίδωσιν, τὸ δὲ γένεσιν
695.5
μόνον. καὶ αἱ διάμετροι οὖν ἄπειροι μὲν οὐ ληφθήσονται,
1·30
ἐπʼ ἄπειρον δέ.
2·29
Ἡμικύκλιον δέ ἐστι σχῆμα τὸ περιεχόμενον ὑπό τε τῆς
3·22
διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπʼ αὐτῆς περιφε‐
4·15
ρείας, κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ
5·11
κύκλου ἐστίν.
705.1
Ἀπὸ μὲν τοῦ ὁρισμοῦ τοῦ κύκλου τὴν τοῦ κέντρου φύσιν
705.2
ἀνηυρίσκομεν, ἀπὸ δὲ τοῦ κέντρου τὴν διάμετρον· ἀπὸ δὲ
705.3
τῆς διαμέτρου τὸ ἡμικύκλιον, ὅ τι ποτέ ἐστιν, ἀναδιδάσκει,
705.4
ὅτι ὑπὸ δύο περιέχεται ὅρων, εὐθείας, καὶ ταύτης οὐ τῆς
1·31
τυχούσης, ἀλλὰ τῆς διαμέτρου, καὶ περιφερείας τῆς ἀπο‐
710.1
λαμβανομένης ὑπὸ τῆς εὐθείας, καὶ μὲν δὴ καὶ ὅτι τὸ
710.2
αὐτὸ τοῦ ἡμικυκλίου κέντρον καὶ τοῦ κύκλου. καὶ ἐπιση‐
710.3
μαντέον, ὅτι μόνον τοῦτο τῶν ἐπιπέδων σχημάτων ἐπὶ τῆς
710.4
περιμέτρου τὸ κέντρον ἔχει· τριχῆ γὰρ τὸ κέντρον θεω‐
710.5
ρήσομεν, ἢ ἐντός, ὡς ἐπὶ τοῦ κύκλου, ἢ ἐκτός, ὡς ἐπὶ τῶν
715.1
κωνικῶν γραμμῶν, ἢ ἐπὶ τῆς περιμέτρου, ὡς ἐπὶ τοῦ
715.2
ἡμικυκλίου.
715.3
Εὐθύγραμμα σχήματά ἐστιν τὰ ὑπὸ εὐθειῶν γραμμῶν
715.4
περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰ ὑπὸ τριῶν, τετράπλευρα
715.5
δὲ τὰ ὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ
720.1
τεσσάρων πλευρῶν περιεχόμενα.
720.2
Μετὰ τὸ μοναδικὸν σχῆμα καὶ τὸ δυοειδὲς τὸ ἡμικύκλιον
720.3
ἡ τῶν ἀριθμῶν ἐπʼ ἄπειρον πρόοδος παραδίδοται τῶν
720.4
εὐθυγράμμων σχημάτων. διὰ γὰρ τοῦτο καὶ ἡ τοῦ ἡμι‐
720.5
κυκλίου γέγονεν μνήμη, ὅτι κατὰ τοὺς ὅρους πὴ μὲν τῷ
725.1
κύκλῳ γειτνιάζει, πὴ δὲ τοῖς εὐθυγράμμοις· πρόεισι δὲ τὰ
725.2
εὐθύγραμμα εὐτάκτως κατὰ τὸν ἀπὸ τριάδος ἀριθμόν.
725.3
τριπλεύρων δὲ καὶ τετραπλεύρων ἐποιήσατο μνήμην, ἐπει‐
725.4
δὴ προσεχῶς περὶ τούτων ἐν τῷ πρώτῳ διαλεχθήσεται. ὅτι
725.5
δὲ τὸ εὐθὺ προόδου σύμβολόν ἐστι καὶ κινήσεως καὶ ἀπει‐
730.1
ρίας, καὶ ὅτι ταῖς γεννητικαῖς τάξεσιν ᾠκείωται τῶν θεῶν,
730.2
εἴρηται πρότερον.
730.3
Τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν
730.4
ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ δύο
730.5
μόνον ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους
735.1
ἔχον πλευράς. ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώ‐
735.2
νιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ μίαν ἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμ‐
735.3
βλυγώνιον δὲ τὸ μίαν ἔχον ἀμβλεῖαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς
735.4
τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας.
735.5
Ἡ τῶν τριγώνων διαίρεσις τοτὲ μὲν ἀπὸ τῶν πλευρῶν ἔχει
740
τὴν διαίρεσιν, τοτὲ δὲ ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ἡγεῖται δὲ ἡ ἀπὸ
1·32
τῶν πλευρῶν, ὡς γνώριμος, ἕπεται δὲ ἡ ἀπὸ τῶν γωνιῶν, ὡς
2·30
ἰδιάζουσα, ἐπειδὴ καὶ αἱ τρεῖς αὗται γωνίαι τοῖς εὐθυ‐
3·23
γράμμοις μόνοις προσήκουσι σχήμασι, ἰσότης δὲ καὶ ἀν‐
4·16
ισότης τῶν πλευρῶν ἔστι δήπου καὶ ἐν τοῖς μὴ εὐθυγράμ‐
745.1
μοις. δοκεῖ δέ μοι καὶ πρὸς ἐκεῖνο ἀπιδὼν ὁ στοιχειωτὴς χω‐
745.2
ρὶς ἀπὸ τῶν γωνιῶν ποιήσασθαι τὴν διαίρεσιν, χωρὶς δὲ
745.3
ἀπὸ τῶν πλευρῶν, ὅτι μὴ πᾶν τρίγωνον καὶ τρίπλευρον.
745.4
ἔστι γὰρ τρίγωνα τὰ καλούμενα παρʼ αὐτοῖς ἀκιδοειδῆ, ἃ
745.5
τετράπλευρά ἐστιν, οἷον εἴ τις ἐπὶ μιᾶς τοῦ τριγώνου
1·33
πλευρᾶς ἀπὸ τῶν περάτων ἐντὸς συστήσηται δύο πλευ‐
2·31
ρὰς ἐντός· τὰ τοιαῦτα γὰρ τετράπλευρα μέν ἐστι, τρίγωνα
3·24
δέ· οὕτω δʼ ἂν εὕροις καὶ τετράγωνα πλείονας ἔχοντα
4·17
πλευράς. ἀλλὰ ταῦτα μὲν οὕτως· οἱ δὲ Πυθαγόρειοι τὸ
5·12
μὲν τρίγωνον ἁπλῶς ἀρχὴν εἶναι γενέσεώς φασι· καὶ γὰρ
755.1
τριχῆ διίστανται καὶ συναγωγοὶ τῶν πάντη μεριστῶν εἰσιν·
755.2
καὶ ὁ Φιλόλαος τὴν τοῦ τριγώνου γωνίαν τέτταρσιν ἀνῆκεν
755.3
θεοῖς, Κρόνῳ, Ἄρει, Ἅιδῃ, Διονύσῳ, τὴν ἄνωθεν ἀπὸ τοῦ
755.4
οὐρανοῦ καθήκουσαν εἴτʼ ἀπὸ τῶν κέντρων εἴτʼ ἀπὸ τῶν
755.5
τεττάρων τοῦ ζωδιακοῦ τμημάτων ἐν τούτοις περιλαβών·
760.1
ὁ μὲν γὰρ Κρόνος πᾶσαν ὑφίστησι τὴν ὑγρὰν καὶ ψυχρὰν
760.2
οὐσίαν, ὁ δὲ Ἄρης πᾶσαν τὴν ἔμπυρον φύσιν, ὁ δὲ Ἅιδης
760.3
τὴν χθονίαν ὅλην συνέχει ζωήν, ὁ δὲ Διόνυσος τὴν θερμὴν
760.4
ἅμα καὶ ὑγράν, ὅθεν καὶ ὁ οἶνος ταύτην ἔχων τὴν φύσιν ἀνεῖ‐
760.5
ται τῷ τὴν γένεσιν ἐπιτροπεύοντι θεῷ. πάντες δὲ οὗτοι κατὰ
765.1
μὲν τὰς εἰς τὰ δεύτερα ποιήσεις διεστήκασιν, ἥνωνται δὲ
765.2
ἀλλήλοις, διὸ καὶ κατὰ μίαν αὐτῶν γωνίαν συνάγει τὴν
765.3
ἕνωσιν ὁ Φιλόλαος. εἰ δὲ καὶ τῶν τριγώνων διαφοραὶ συνερ‐
765.4
γοῦσι πρὸς τὴν γένεσιν, εἰκότως ἂν ὁμολογοῖτο τὸ τρίγωνον
765.5
ἀρχηγὸν εἶναι τῆς τῶν ὑπὸ σελήνην συστάσεως· ἡ μὲν γὰρ
770.1
ὀρθὴ γωνία τὴν οὐσίαν αὐτοῖς παρέχεται καὶ τὸ μέτρον
770.2
ἀφορίζει τοῦ εἶναι, καὶ ὁ τοῦ ὀρθογωνίου τριγώνου λόγος
770.3
οὐσιοποιός ἐστι τῶν γενητῶν στοιχείων, ἡ δὲ ἀμβλεῖα τὴν
770.4
ἐπὶ πᾶν διάστασιν αὐτοῖς ἐνδίδωσι, καὶ ὁ τοῦ ἀμβλυγω‐
1·34
νίου λόγος εἰς μέγεθος αὔξει καὶ παντοίαν ἔκτασιν τὰ εἴδη
775.1
τὰ ἔνυλα, ἡ δὲ ὀξεῖα γωνία διαιρετὴν αὐτὴν ἀποτελεῖ τὴν
775.2
φύσιν, καὶ ὁ τοῦ ὀξυγωνίου λόγος ἐπʼ ἄπειρον αὐτοῖς τὰς
775.3
διαιρέσεις παρασκευάζει γενέσθαι· ἁπλῶς δὲ ὁ τριγωνικὸς
775.4
λόγος οὐσίαν διαστατὴν καὶ πάντη μεριστὴν ὑφίστησι τὴν
775.5
τῶν ἐνύλων σωμάτων. τοσαῦτα μὲν περὶ τριγώνων εἴχομεν
780.1
θεωρεῖν, ἐκ δὲ τούτων λάβοις ἂν τῶν διαιρέσεων, καὶ ὅτι
780.2
τὰ εἴδη πάντα τῶν τριγώνων ἑπτά ἐστι καὶ οὔτε πλείω
780.3
οὔτε ἐλάττω. τὸ μὲν ἰσόπλευρον ἕν ἐστι μόνον ὀξυγώνιον
780.4
ὑπάρχον, τῶν δὲ λοιπῶν ἑκάτερον τριπλοῦν· καὶ γὰρ ἰσο‐
780.5
σκελὲς ἢ ὀρθογώνιόν ἐστιν ἢ ἀμβλυγώνιον ἢ ὀξυγώνιον,
785.1
καὶ τὸ σκαληνὸν ὡσαύτως τὴν τρισσὴν ἔχει ταύτην διαφο‐
785.2
ράν. εἰ οὖν ταῦτα μὲν τριχῶς, τὰ δὲ ἰσόπλευρα μοναχῶς,
785.3
ἑπτὰ τὰ πάντα τῶν τριγώνων εἴδη λεγέσθω. λάβοις δʼ
785.4
ἂν καὶ κατὰ τὴν τῶν πλευρῶν διαίρεσιν τὴν τῶν τριγώνων
785.5
πρὸς τὰ ὄντα ἀναλογίαν· τὸ μὲν γὰρ ἰσόπλευρον κατὰ πάντα
790.1
ἰσότητι καὶ ἁπλότητι κρατούμενον συγγενές ἐστι ταῖς
790.2
θείαις ψυχαῖς (μέτρον γάρ ἐστι καὶ τῶν ἀνίσων ἡ ἰσότης,
790.3
ὥσπερ καὶ τὸ θεῖον πάντων τῶν δευτέρων), τὸ δὲ ἰσοσκελὲς
790.4
τοῖς κρείττοσι γένεσι τοῖς κατευθύνουσι τὴν ἔνυλον φύσιν,
790.5
ὧν τὸ μὲν πλέον κεκράτηται τῷ μέτρῳ, τὰ δὲ τελευταῖα
795.1
τῆς ἀνισότητος ἐφάπτεται καὶ τῆς ἀμετρίας τῆς ὑλικῆς
795.2
(καὶ γὰρ τῶν ἰσοσκελῶν αἱ μὲν δύο ἴσαι, ἡ δὲ βάσις ἄνισος),
795.3
τὸ δὲ σκαληνὸν ταῖς μερισταῖς ζωαῖς, αἳ πανταχόθεν χω‐
795.4
λεύουσιν καὶ σκάζουσιν, εἰς τὴν γένεσιν φερόμεναι καὶ
795.5
ἀναπιμπλάμεναι τῆς ὕλης.
1·35
Τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν,
2·32
ὅ ἐστιν ἰσόπλευρόν τε καὶ ὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃ
3·25
ὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δὲ τὸ ἰσόπλευ‐
4·18
ρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναν‐
5·13
τίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, οὔτε δὲ
805.1
ἰσόπλευρον οὔτε ὀρθογώνιον, τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευ‐
805.2
ρα τραπέζια καλείσθω.
1·36
Τὴν τῶν τετραπλεύρων διαίρεσιν εἰς δύο ποιεῖσθαι χρὴ
2·33
τὴν πρώτην καὶ τὰ μὲν αὐτῶν παραλληλόγραμμα λέγειν,
3·26
τὰ δʼ οὐ παραλληλόγραμμα, τῶν δὲ παραλληλογράμμων
810.1
τὰ μὲν καὶ ὀρθογώνια καὶ ἰσόπλευρα, ὡς τὰ τετράγωνα, τὰ
810.2
δὲ οὐδέτερα τούτων, ὡς τὰ ῥομβοειδῆ, τὰ δὲ ὀρθογώνια
810.3
μέν, οὐκ ἰσόπλευρα δέ, ὡς τὰ ἑτερομήκη, τὰ δὲ ἔμπαλιν
810.4
ἰσόπλευρα μέν, οὐκ ὀρθογώνια δέ, ὡς τοὺς ῥόμβους. ἢ γὰρ
810.5
ἀμφότερα ἔχειν ἀναγκαῖον, τὴν ἰσότητα τῶν πλευρῶν καὶ
815.1
τὴν ὀρθότητα τῶν γωνιῶν, ἢ οὐδέτερον ἢ τὸ ἕτερον, καὶ
815.2
τοῦτο διχῶς, ὡς τετραχῶς ὑφίσταται τὸ παραλληλόγραμ‐
815.3
μον. τῶν δὲ μὴ παραλληλογράμμων τὰ μὲν δύο μόνον ἔχει
815.4
παραλλήλους, οὐκέτι δὲ καὶ τὰς λοιπάς, τὰ δʼ οὐδʼ ὅλως
815.5
ἔχει τῶν πλευρῶν τινας παραλλήλους· καὶ τὰ μὲν καλεῖται
820.1
τραπέζια, τὰ δὲ τραπεζοειδῆ. τῶν δὲ τραπεζίων τὰ μὲν
820.2
ἴσας ἔχει τὰς συναπτούσας παραλλήλους ταύτας, τὰ δὲ
820.3
ἀνίσους, καὶ καλεῖται τὰ μὲν ἰσοσκελῆ τραπέζια, τὰ δὲ
820.4
σκαληνὰ τραπέζια. τὸ ἄρα τετράπλευρον ἑπταχῶς ἡμῖν
820.5
ὑποστήσεται· τὸ μὲν γάρ ἐστι τετράγωνον, τὸ δὲ ἑτερόμη‐
825.1
κες, τὸ δὲ ῥόμβος, τὸ δὲ ῥομβοειδές, τὸ δὲ τραπέζιον ἰσο‐
825.2
σκελές, τὸ δὲ σκαληνὸν τραπέζιον, τὸ δὲ τραπεζοειδές.
825.3
ἀλλʼ ὁ μὲν Ποσειδώνιος τελείαν εἰς ταῦτα πεποίηται τὴν
825.4
τῶν τετραπλεύρων εὐθυγράμμων τομὴν ἑπτὰ καὶ τούτων
825.5
τὰ εἴδη θέμενος, ὥσπερ δὴ καὶ τῶν τριγώνων. ὁ δὲ Εὐκλεί‐
830.1
δης εἰς μὲν παραλληλόγραμμα καὶ μὴ παραλληλόγραμμα
830.2
διαιρεῖν οὐκ ἠδύνατο μήτε περὶ τῶν παραλλήλων εἰπὼν
830.3
μήτε περὶ αὐτοῦ τοῦ παραλληλογράμμου διδάξας ἡμᾶς. τὰ
830.4
δὲ τραπέζια πάντα καὶ τὰ τραπεζοειδῆ κοινῷ προσείρηκεν
830.5
ὀνόματι τραπέζια περιγράφων αὐτὰ τῶν τεττάρων ἐκείνων,
835.1
οἷς ἐπαληθεύει τὸ τῶν παραλληλογράμμων ἴδιον. τοῦτο
835.2
δʼ ἐστὶ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας
835.3
ἔχειν· καὶ γὰρ τὸ τετράγωνον καὶ τὸ ἑτερόμηκες καὶ ὁ
835.4
ῥόμβος ἔχει τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας.
835.5
αὐτὸς δὲ ἐπὶ τοῦ ῥομβοειδοῦς μόνον τοῦτο προσέθηκεν,
840.1
ἵνα μὴ διὰ ψιλῶν αὐτὸ παραστήσῃ τῶν ἀποφάσεων οὔτε
840.2
ἰσόπλευρον οὔτε ὀρθογώνιον εἰπών. ἐφʼ ὧν γὰρ ἰδιαζόντων
840.3
ἀποροῦμεν λόγων, χρήσασθαι τοῖς κοινοῖς ἀναγκαῖον· ὅτι
840.4
δὲ πάντων ἐστὶ τοῦτο κοινὸν τῶν παραλληλογράμμων,
840.5
αὐτοῦ δεικνύντος ἀκουσόμεθα. ἔοικεν δὲ καὶ ὁ ῥόμβος
845.1
σαλευθὲν εἶναι τετράγωνον καὶ τὸ ῥομβοειδὲς κεκινημένον
845.2
ἑτερόμηκες· διὸ κατὰ τὰς πλευρὰς οὐ διέστηκεν ταῦτα ἐκεί‐
845.3
νων, κατὰ δὲ τὰς τῶν γωνιῶν ἀμβλύτητας καὶ ὀξύτητας
845.4
ἐκείνων ὀρθογωνίων ὄντων. ἐὰν γὰρ νοήσῃς τὸ τετράγωνον
845.5
ἢ τὸ ἑτερόμηκες κατὰ τὰς ἀπεναντίας γωνίας διελκόμενον,
1·37
εὑρήσεις ταύτας μὲν συναγομένας καὶ ὀξείας γινομένας,
2·34
τὰς δὲ λοιπὰς διισταμένας καὶ ἀμβλείας ἀναφαινομένας.
3·27
καὶ ἔοικεν καὶ τὸ ὄνομα τῷ ῥόμβῳ κεῖσθαι ἀπὸ τῆς κινή‐
4·19
σεως· καὶ γὰρ τὸ τετράγωνον εἰ νοήσειας ῥομβούμενον,
5·14
φανεῖταί σοι κατὰ τὰς γωνίας παρενηνεγμένον, ὥσπερ δὴ
855.1
καὶ ὁ κύκλος ῥομβούμενος ἔλλειψις φαίνεται. περὶ δὲ αὐτοῦ
855.2
τοῦ τετραγώνου ζητήσειας ἄν, διὰ τί ταύτην ἔσχεν τὴν
855.3
προσηγορίαν, καὶ οὐχ ὥσπερ τὸ τρίγωνον κοινόν ἐστι πᾶσι
855.4
καὶ τοῖς μὴ ἰσογωνίοις μηδὲ ἰσοπλεύροις καὶ τὸ πεντάγω‐
855.5
νον ὡσαύτως, οὕτω καὶ τὸ τετράγωνον λέγεσθαι δύναται
860.1
καὶ κατὰ τῶν ἄλλων τετραπλεύρων. αὐτὸς γοῦν ὁ γεω‐
860.2
μέτρης ἐπʼ ἐκείνων προστίθησι τρίγωνον ἰσόπλευρον ἢ
860.3
πεντάγωνον, ὅ ἐστιν ἰσόπλευρον καὶ ἰσογώνιον, ὡς δυνα‐
860.4
μένων τούτων καὶ μὴ τοιούτων εἶναι. τὸ δὲ τετράγωνον
860.5
ῥηθὲν εὐθὺς τὸ ἰσόπλευρον αὐτῷ δηλοῖ καὶ ὀρθογώνιον.
865.1
λόγος δὲ τούτου ὅδε· μόνον τὸ τετράγωνον χωρίον καὶ κατὰ
865.2
τὰς πλευρὰς ἔχει τὸ ἄριστον καὶ κατὰ τὰς γωνίας· ἑκάστη
865.3
γὰρ αὐτῶν ὀρθή ἐστιν τὸ μέτρον ἀπολαβοῦσα τῶν γωνιῶν
865.4
τὸ μήτε ἐπίτασιν μήτε ἄνεσιν ἐπιδεχόμενον. κατʼ ἀμφό‐
865.5
τερα οὖν πλεονεκτούσης εἰκότως ἔσχεν τὴν κοινὴν ἐπ‐
870.1
ωνυμίαν. τὸ δὲ τρίγωνον κἂν ἴσας ἔχῃ τὰς γωνίας, ἀλλὰ
870.2
ὀξείας πάσας, καὶ τὸ πεντάγωνον ἀμβλείας πάσας. εἰκότως
1·38
ἄρα τὸ τετράγωνον ἰσότητι πλευρῶν καὶ ὀρθότητι γωνιῶν
2·35
συμπεπληρωμένον μόνον ἐκ πάντων τετραπλεύρων ταύτης
3·28
τῆς προσηγορίας ἔτυχεν· τοῖς γὰρ ὑπερέχουσι τῶν εἰδῶν
875.1
τὸ τοῦ ὅλου πολλάκις ἐπιφημίζομεν ὄνομα. δοκεῖ δὲ καὶ
875.2
τοῖς Πυθαγορείοις τοῦτο διαφερόντως τῶν τετραπλεύρων
875.3
εἰκόνα φέρειν τῆς θείας οὐσίας· τήν τε γὰρ ἄχραντον τάξιν
875.4
διὰ τούτου μάλιστα σημαίνουσιν· ἥ τε γὰρ ὀρθότης τὸ ἄκλι‐
875.5
τον καὶ ἡ ἰσότης τὴν μόνιμον δύναμιν ἀπομιμεῖται· κίνησις
880.1
γὰρ ἀνισότητος ἔκγονος, στάσις δὲ ἰσότητος. οἱ τοίνυν τῆς
880.2
σταθερᾶς ἱδρύσεως αἴτιοι τοῖς ὅλοις καὶ τῆς ἀχράντου καὶ
880.3
ἀκλίτου δυνάμεως εἰκότως διὰ τοῦ τετραγωνικοῦ σχήμα‐
880.4
τος ὡς ἀπʼ εἰκόνος ἐμφαίνονται. καὶ πρὸς τούτοις ὁ Φιλό‐
880.5
λαος κατʼ ἄλλην ἐπιβολὴν τὴν τοῦ τετραγώνου γωνίαν
885.1
Ῥέας καὶ Δήμητρος καὶ Ἑστίας ἀποκαλεῖ. διότι γὰρ τὴν
885.2
γῆν τὸ τετράγωνον ὑφίστησιν, καὶ στοιχεῖόν ἐστιν αὐτῆς
885.3
προσεχές, ὡς παρὰ τοῦ Τιμαίου μεμαθήκαμεν, ἀπὸ δὲ
885.4
πασῶν τούτων τῶν θεαινῶν ἀπορροίας ἡ γῆ δέχεται καὶ
885.5
γονίμους δυνάμεις, εἰκότως τὴν τοῦ τετραγώνου γωνίαν
890.1
ἀνῆκεν ταύταις ταῖς ζωογόνοις θεαῖς. καὶ γὰρ Ἑστίαν
890.2
καλοῦσι τὴν γῆν καὶ Δήμητρά τινες καὶ τῆς ὅλης Ῥέας
890.3
αὐτὴν μετέχειν φασίν, καὶ πάντα ἐστὶν ἐν αὐτῇ τὰ γεννη‐
890.4
τικὰ αἴτια χθονίως. τὴν τοίνυν μίαν ἕνωσιν τῶν θείων τού‐
890.5
των γενῶν τὴν τετραγωνικήν φησι γωνίαν περιέχειν. ἀπεικά‐
895.1
ζουσι δὲ καὶ πρὸς τὴν σύμπασαν ἀρετὴν τὸ τετράγωνον
895.2
ὡς ἔχον τέτταρας ὀρθὰς τελείαν ἑκάστην, ᾗπερ δὴ καὶ τὰς
895.3
ἀρετὰς λέγομεν ἑκάστην τελείαν καὶ αὐτάρκη καὶ ἄμετρον
895.4
καὶ ὅρον τῆς ζωῆς καὶ πάσας μεσότητας ἀμβλείας καὶ
895.5
ὀξείας. δεῖ δὲ μὴ λανθάνειν, ὅπως τὴν μὲν τριγωνικὴν γω‐
1·39
νίαν ὁ Φιλόλαος τέτταρσιν ἀνῆκεν θεοῖς, τὴν δὲ τετραγω‐
2·36
νικὴν τρισίν, ἐνδεικνύμενος αὐτῶν τὴν διʼ ἀλλήλων χώ‐
3·29
ρησιν καὶ τὴν ἐν πᾶσιν πάντων κοινωνίαν τῶν τε περισσῶν
4·20
ἐν τοῖς ἀρτίοις καὶ τῶν ἀρτίων ἐν τοῖς περισσοῖς. τριὰς οὖν
1·40
τετραδικὴ καὶ τετρὰς τριαδικὴ τῶν τε γονίμων μετέχουσαι
905.1
καὶ ποιητικῶν ἀγαθῶν τὴν ὅλην συνέχουσι τῶν γενητῶν
905.2
διακόσμησιν· ἀφʼ ὧν ἡ δυωδεκὰς εἰς μίαν μονάδα τὴν τοῦ
905.3
Διὸς ἀρχὴν ἀνατείνεται· τὴν γὰρ τοῦ δωδεκαγώνου γωνίαν
905.4
Διὸς εἶναί φησιν ὁ Φιλόλαος, ὡς κατὰ μίαν ἕνωσιν τοῦ
905.5
Διὸς ὅλον συνέχοντος τὸν τῆς δυωδεκάδος ἀριθμόν· ἡγεῖ‐
910.1
ται γὰρ καὶ παρὰ τῷ Πλάτωνι δυωδεκάδος ὁ Ζεὺς καὶ
910.2
ἀπολύτως ἐπιτροπεύει τὸ πᾶν. τοσαῦτα καὶ περὶ τῶν τετρα‐
910.3
πλεύρων εἴχομεν λέγειν τήν τε τοῦ στοιχειωτοῦ διάνοιαν
910.4
ἐμφανίζοντες καὶ πρὸς τὰς θεωρητικωτέρας ἐπιβολὰς
910.5
ἀφορμὰς διδόντες τοῖς τῶν νοητῶν καὶ ἀφανῶν οὐσιῶν
915.1
τῆς γνώσεως ἐφιεμένοις.
915.2
Παράλληλοι εὐθεῖαί εἰσιν, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ
915.3
οὖσαι καὶ ἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη
915.4
ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.
915.5
Τίνα μὲν στοιχεῖα τῶν παραλλήλων καὶ τίσι γνωρίζονται
920.1
συμπτώμασιν, ἐν τοῖς μετὰ ταῦτα μαθησόμεθα, τίνες δέ
920.2
εἰσιν αἱ παράλληλοι εὐθεῖαι, διὰ τούτων ἀφορίζεται τῶν
920.3
ῥημάτων. δεῖ τοίνυν αὐτάς, φησίν, ἔν τε ἑνὶ ἐπιπέδῳ εἶναι
920.4
καὶ ἐκβαλλομένας ἐφʼ ἑκάτερα τὰ μέρη μὴ συμπίπτειν
920.5
ἀλλήλαις. ἐκβάλλεσθαι εἰς ἄπειρον· καὶ γὰρ αἱ μὴ παράλ‐
925.1
ληλοι μέχρι τινὸς ἐκβαλλόμεναι μείναιεν ἂν ἀσύμπτωτοι,
925.2
τὸ δʼ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλομένας μὴ συμπίπτειν χαρακτηρί‐
925.3
ζει τὰς παραλλήλους, καὶ οὐδὲ τοῦτο ἁπλῶς, ἀλλὰ τὸ ἐφʼ
925.4
ἑκάτερα ἐκβάλλεσθαι ἐπʼ ἄπειρον καὶ μὴ συμπίπτειν. καὶ
925.5
τῶν μὴ παραλλήλων δυνατὸν κατὰ θάτερα μὲν τὴν ἐκβολὴν
930.1
ἐπʼ ἄπειρον γενέσθαι, κατὰ τὰ λοιπὰ δὲ οὔ. συννεύουσαι
930.2
γὰρ ἐπὶ τάδε τὰ μέρη πλέον ἀφίστανται ἀλλήλων κατὰ τὰ
930.3
ἕτερα. τὸ δὲ αἴτιον, ὅτι δύο εὐθεῖαι περιέχειν οὐ δύνανταί
930.4
τι χωρίον· εἰ δὲ κατὰ ἀμφότερα συννεύσαιεν, τοῦτο συμ‐
930.5
βήσεται. καὶ μέντοι καὶ τὸ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ εἶναι τὰς
935.1
εὐθείας ὀρθῶς προσείληπται· εἰ γὰρ ἡ μὲν εἴη ἐν τῷ
935.2
ὑποκειμένῳ, ἡ δὲ ἐν μετεώρῳ, κατὰ πᾶσαν θέσιν ἀσύμ‐
935.3
πτωτοί εἰσιν ἀλλήλαις καὶ οὐ διὰ τοῦτο παράλληλοί εἰσιν.
935.4
ἓν οὖν ἔστω τὸ ἐπίπεδον, καὶ ἐκβαλλέσθωσαν ἐπʼ ἄπειρον
935.5
κατὰ ἀμφότερα καὶ συμπιπτέτωσαν ἀλλήλαις κατὰ μη‐
940.1
δέτερα· τούτων γὰρ ὑπαρχόντων ἔσονται παράλληλοι
940.2
εὐθεῖαι. καὶ ὁ μὲν Εὐκλείδης τοῦτον ὁρίζεται τὸν τρόπον
940.3
τὰς παραλλήλους εὐθείας, ὁ δὲ Ποσειδώνιος· παράλληλοι,
940.4
φησίν, εἰσιν αἱ μήτε συννεύουσαι μήτε ἀπονεύουσαι ἐν ἑνὶ
940.5
ἐπιπέδῳ, ἀλλʼ ἴσας ἔχουσαι πάσας τὰς καθέτους τὰς ἀγο‐
945.1
μένας ἀπὸ τῶν τῆς ἑτέρας σημείων ἐπὶ τὴν λοιπήν· ὅσαι
945.2
δʼ ἂν ἐλάττους ἀεὶ ποιῶσι τὰς καθέτους, συννεύουσιν
945.3
ἀλλήλαις· ἡ γὰρ κάθετος τά τε ὕψη τῶν χωρίων καὶ τὰ
945.4
διαστήματα τῶν γραμμῶν ὁρίζειν δύναται. διόπερ ἴσων
945.5
μὲν τῶν καθέτων οὐσῶν ἴσα τὰ διαστήματα τῶν εὐθειῶν,
1·41
μειζόνων καὶ ἐλαττόνων γιγνομένων καὶ ἡ ἀπόστασις
2·37
ἐλασσοῦται, καὶ συννεύουσιν ἀλλήλαις, ἐφʼ ἃ μέρη εἰσὶν αἱ
3·30
κάθετοι ἐλάσσονες. δεῖ δὲ εἰδέναι, ὅτι τὸ ἀσύμπτωτον οὐ
4·21
πάντως παραλλήλους ποιεῖ τὰς γραμμάς· καὶ γὰρ τῶν
5·15
ὁμοκέντρων κύκλων αἱ περιφέρειαι οὐ συμπίπτουσιν·
955.1
ἀλλὰ δεῖ καὶ ἐπʼ ἄπειρον αὐτὰς ἐκβάλλεσθαι. τοῦτο δὲ οὐ
955.2
μόναις ὑπάρχει ταῖς εὐθείαις, ἀλλὰ καὶ ἄλλαις γραμμαῖς·
955.3
δυνατὸν γὰρ νοῆσαι τεταγμένας ἕλικας περὶ εὐθείας γρα‐
955.4
φομένας, αἵτινες συνεκβαλλόμεναι ταῖς εὐθείαις εἰς ἄπει‐
955.5
ρον οὐδὲ τότε συμπίπτουσιν. ταῦτα μὲν οὖν παρὰ τούτων
960.1
ὀρθῶς Γεμῖνος διεῖλεν ἐξ ἀρχῆς, ὅτι τῶν γραμμῶν αἱ μέν
960.2
εἰσιν ὡρισμέναι καὶ σχῆμα περιέχουσιν, ὡς ὁ κύκλος καὶ
960.3
ἡ τῆς ἐλλείψεως γραμμὴ καὶ ἡ κισσοειδὴς καὶ ἄλλαι παμ‐
960.4
πληθεῖς, αἱ δὲ ἀόριστοι καὶ εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι, ὡς
960.5
ἡ εὐθεῖα καὶ ἡ τοῦ ὀρθογωνίου κώνου τομὴ καὶ ἡ τοῦ ἀμ‐
965.1
βλυγωνίου καὶ ἡ κογχοειδής. πάλιν δὲ αὐτῶν εἰς ἄπειρον
965.2
ἐκβαλλομένων αἱ μὲν οὐδὲν σχῆμα περιλαμβάνουσιν, ὡς ἡ
1·42
εὐθεῖα καὶ αἱ κωνικαὶ τομαὶ αἱ εἰρημέναι, αἱ δὲ συν‐
2·38
ελθοῦσαί τε καὶ ποιήσασαι σχῆμα ἐπʼ ἄπειρον τὸ λοιπὸν
3·31
ἐκφέρονται· τούτων δὲ αἱ μέν εἰσιν ἀσύμπτωτοι, αἱ, ὅπως
970.1
ποτʼ ἂν ἐκβληθῶσιν, μὴ συμπίπτουσαι, συμπτωταὶ δὲ αἵ
970.2
ποτε συμπεσούμεναι. τῶν δὲ ἀσυμπτώτων αἱ μὲν ἐν ἑνί
970.3
εἰσιν ἀλλήλαις ἐπιπέδῳ, αἱ δὲ οὔ. τῶν δὲ ἀσυμπτώτων καὶ
970.4
ἐν ἑνὶ οὐσῶν ἐπιπέδῳ αἱ μὲν ἴσον αἰεὶ διάστημα ἀφεστήκα‐
970.5
σιν ἀλλήλων, αἱ δὲ μειοῦσιν ἀεὶ τὸ διάστημα, ὡς ἡ ὑπερ‐
975.1
βολὴ πρὸς τὴν εὐθεῖαν καὶ ἡ κογχοειδὴς πρὸς τὴν εὐθεῖαν·
975.2
αὗται γὰρ ἀεὶ ἐλασσουμένου τοῦ διαστήματος ἀεὶ ἀσύμ‐
975.3
πτωτοί εἰσι καὶ συννεύουσι μὲν ἀλλήλαις, οὐδέποτε δὲ
975.4
συννεύουσιν παντελῶς, ὃ καὶ παραδοξότατόν ἐστιν ἐν γεω‐
975.5
μετρίᾳ θεώρημα δεικνῦον σύννευσίν τινων γραμμῶν ἀσύν‐
980.1
νευστον. τῶν δὲ ἴσον ἀεὶ ἀπεχουσῶν διάστημα αἵ εἰσιν
980.2
εὐθεῖαι μηδέποτε ἔλασσον ποιοῦσαι τὸ μεταξὺ αὐτῶν ἐν
980.3
ἑνὶ ἐπιπέδῳ, παράλληλοί εἰσιν. τοσαῦτα καὶ ἀπὸ τῆς
980.4
Γεμίνου φιλοκαλίας εἰς τὴν τῶν προκειμένων ἐξήγησιν
980.5
ἀνελεξάμεθα.
1·43
Τὸ βιβλίον τοῦτο χρήσιμον εἰς πολλά. καὶ γὰρ πρὸς
2·39
στερεωμετρίαν καὶ τὴν τῶν ἐπιπέδων συμβάλλεται θεω‐
3·32
ρίαν, λύεται δὲ πολλὰ διʼ αὐτοῦ τῶν προβλημάτων, εἴς τε
4·22
μὴν ἀστρονομίαν οὐκ ὀλίγα συμβάλλεται· σκοπὸν δὲ ἔχει
5.1·2
εὐθειῶν ἀναγραφὰς καὶ τῶν μερῶν παραδοῦναι, ἀφʼ ὧν
5.2·2
ἄλογοι τομαὶ φανήσονται εὐθειῶν. εὑρίσκει δὲ καὶ τὰς δύο
5.3·2
μεσότητας ἀριθμητικὴν καὶ γεωμετρικήν· οὐ δεῖται δὲ
5.4·2
λήμματος οὐδὲ ἔχει πρὸς δεῖξιν ἔνστασιν.
1·44
Σκοπός ἐστι περὶ τῶν πρὸς εὐθείας καὶ γωνίας κυκλι‐
2·40
κῶν συμπτωμάτων διαλαβεῖν.
1·45
Ποικιλωτέραν οὖσαν τὴν τῶν περιγραφῶν καὶ ἐγγρα‐
2·41
φῶν θεωρίαν οὐκ ἄχρι πολλοῦ προάγει, ἐλθὼν δὲ ἄχρι τοῦ
3·33
ἑξαγώνου καὶ ἐπὶ τέλει παραδοὺς τὰ περὶ τοῦ πεντεκαιδε‐
4·23
καγώνου εἰς ἀστρονομικὴν θεωρίαν συμβαλλόμενα παύεται.
5.1·3
τὸ δὲ πρῶτον θεώρημα λῆμμά ἐστι λήμματος τῆς τοῦ
5.2·3
πενταγώνου συστάσεως, καὶ ὅσα γε ἐπὶ τῇ τοιαύτῃ τάξει
5.3·3
ἔδει ἐκείνῳ συντετάχθαι· ἀλλʼ ἐπεὶ ἁπλουστέραν ἔχει
5.4·3
κατασκευὴν τῆς τοῦ τριπλεύρου συστάσεως, προτέτακται
5.5·2
τῶν ἄλλων θεωρημάτων. ἰστέον δέ, ὅτι, εἰ μὲν ἴση ᾖ τῇ
10.1·2
διαμέτρῳ ἡ δοθεῖσα, μοναχῶς ἢ ἀπειραχῶς γένοιτο ἂν τὸ
10.2·2
πρόβλημα, εἰ δὲ ἐλάσσων, διχῶς· ἀπὸ γὰρ τοῦ αὐτοῦ
10.3·2
σημείου, οἷον τοῦ Ζ, αἱ ἐπὶ τὰ Β, Γ ἐπιζευγνύμεναι ἴσαι
10.4·2
εἰσίν.
1·46
Σκοπὸς τῷ πέμπτῳ βιβλίῳ περὶ ἀναλογιῶν διαλαβεῖν·
2·42
κοινὸν γὰρ τοῦτο τὸ βιβλίον γεωμετρίας τε καὶ ἀριθμητι‐
3·34
κῆς καὶ μουσικῆς καὶ πάσης ἁπλῶς τῆς μαθηματικῆς
4·24
ἐπιστήμης. τὰ γὰρ ἐν αὐτῷ ἀποδεικνύμενα οὐ μόνον γεω‐
5.1·4
μετρικοῖς ἁρμόζει θεωρήμασιν, ἀλλὰ καὶ πᾶσι τοῖς ὑπὸ
5.2·4
μαθηματικὴν τεταγμένοις, ὡς προείρηται, ἐπιστήμην. ὁ
5.3·4
μὲν οὖν σκοπὸς οὗτος, τὸ δὲ βιβλίον Εὐδόξου τινὲς εὕρεσιν
5.4·4
εἶναι λέγουσι τοῦ Πλάτωνος διδασκάλου. ἐπεὶ οὖν ὁ σκο‐
5.5·3
πὸς περὶ ἀναλογιῶν, ἡ δὲ ἀναλογία λόγων τινῶν σχέσις,
10.1·3
ἀναγκαῖον γνῶναι πρότερον, τίνες οἱ τοιοῦτοι λόγοι. δεῖ
10.2·3
γὰρ τὰ ἁπλᾶ πρότερον γνῶναι τῶν συνθέτων. ἐὰν τοίνυν
10.3·3
τινὰ συγκρίνηται πρὸς ἄλληλα, φέρε εἰπεῖν δύο μεγέθη,
10.4·3
αὐτὰ μὲν ὅροι καλοῦνται, ἡ δὲ ἀπὸ τοῦ ἑτέρου ἐπὶ τὸ ἕτε‐
10.5·2
ρον μετάστασις διάστημα, ἡ δὲ τοῦ ἑτέρου πρὸς τὸ ἕτερον
15.1·2
σύγκρισις σχέσις, ἣν ἐκάλεσαν οἱ παλαιοὶ λόγον, τὴν δὲ
15.2·2
τούτου τοῦ λόγου πρὸς ἄλλον λόγον καθʼ ὁμοιότητα σύγ‐
15.3·2
κρισιν ἤτοι σχέσιν ἀναλογίαν προσηγόρευσαν, ἵνα μὴ ὡς
15.4·2
τόδε τὸ μέγεθος συγκρίνηται, ἀλλʼ ὡς ὅδε ὁ λόγος πρὸς
15.5·2
τόνδε τὸν λόγον. αὕτη δὲ ἡ σύγκρισις λόγος λέγεται λόγου,
20
οἷον ἐὰν ὦσι δύο εὐθεῖαι, ὧν ἡ ἑτέρα πρὸς τὴν λοιπὴν δι‐
1·47
πλασίονα λόγον ἔχει, τὸ ἀπὸ τῆς τὸν διπλασίονα λόγον
2·43
ἐχούσης τετράγωνον τετραπλασίονα λόγον ἕξει πρὸς τὸ
3·35
ἀπὸ τῆς λοιπῆς τετράγωνον ἤπερ ἡ μείζων εὐθεῖα πρὸς
4·25
τὴν εὐθεῖαν· τὰ γὰρ μήκει διπλάσια δυνάμει τετραπλάσια.
25.1·2
ὁ τοίνυν λόγος τῶν τετραγώνων τετραπλάσιος ὢν διπλα‐
25.2·2
σίου ὄντος τοῦ λόγου τῶν εὐθειῶν διπλάσιός ἐστιν. κα‐
25.3·2
λεῖται δὲ οὗτος λόγου λόγος. ἀλλʼ εἴη ἂν οὗτος ὑπὸ τὸ πο‐
25.4·2
σόν· διττὸς γὰρ ὁ λόγος ὁ μὲν ἐν ἀξίᾳ, ὁ δὲ ἐν ποσῷ. καὶ
25.5·2
τοῦ μὲν ἐν ἀξίᾳ οὐδέν ἐστιν εἶδος πρὸς τὴν παροῦσαν χρείαν.
30.1·2
τοῦ δὲ κατὰ τὸ ποσὸν εἴδη ἐστὶ πέντε· ὁ μὲν γάρ ἐστι πολ‐
30.2·2
λαπλάσιος, ὡς τοῦ τρία ὁ ἕξ, ὁ δὲ ἐπιμόριος, ὡς τοῦ τρία ὁ
30.3·2
τέσσαρα, ὁ δὲ ἐπιμερής, ὡς τοῦ τρία ὁ πέντε. καὶ οὗτοι μὲν
30.4·2
ἁπλοῖ, τούτων δὲ ἔτι ἁπλούστερος ὁ πολλαπλάσιος. ἕτεροι
30.5·2
δὲ ἐκ τῆς τούτων συνθέσεως γίνονται δύο ὅ τε πολλαπλα‐
35.1·2
σιεπιμόριος, ὡς τοῦ τρία ὁ ἑπτά, καὶ ὁ πολλαπλασιεπιμε‐
35.2·2
ρής, ὡς τοῦ τρία ὁ ὀκτώ. ὑπόλογοι δέ εἰσιν οἱ ἐλάσσονες
35.3·2
τῶν μειζόνων, ὑποπολλαπλάσιος, ὑπεπιμόριος καὶ ἑξῆς
35.4·2
ὁμοίως. ἰστέον δέ, ὡς τὸ βιβλίον διχῇ διῄρηται καὶ περιέχει
35.5·2
τὰ μὲν πρῶτα τὴν τῶν ἁπλουστέρων διδασκαλίαν, τουτ‐
40.1·2
έστι τὴν τῶν πολλαπλασίων, τὰ δὲ δεύτερα καθολικώτερον
40.2·2
περὶ πάντων τῶν λόγων. δεῖ γὰρ ἐπὶ παντός, ὡς εἴρηται,
40.3·2
πράγματος τὴν τῶν ἁπλῶν ἡγεῖσθαι διδασκαλίαν. τῷ δὲ
40.4·2
τῆς τοῦ βιβλίου διαιρέσεως τρόπῳ καὶ ἡ τῶν ὅρων γεγένη‐
40.5·2
ται διαίρεσις· οἱ μὲν γὰρ πρότεροι περὶ μερῶν καὶ πολ‐
45.1·2
λαπλασίων, οἱ δὲ ἑξῆς καθολικώτεροι περὶ πάντων τῶν
45.2·2
λόγων.
2·44
Ἰστέον, ὅτι τὸ εʹ βιβλίον ὅλον θεωρηματικόν ἐστιν.
1·48
Εἴτε ἀμβλυγώνια εἴτε ὀξυγώνια εἴτε ὀρθογώνια· τὸ
2·45
δὲ εὐθύγραμμα εἴρηκε πρὸς ἀντιδιαστολὴν τῶν περιγραμ‐
3·36
μῶν.
1col.1
ἀρτιάκις ἄρ‐
1col.2
τιος ὁ μέχρι
1col.3
μονάδος εἰς
1col.4
ἴσα διαιρού‐
1col.5.1
μενος ὡς ὁ
1col.5.2
ξδ· μέχρι
1col.5.3
γὰρ μονάδος
1col.1·2
διαιρεῖται.
1·49
Ἰστέον, ὅτι, ὁπηνίκα λέγομεν ἀριθμοὺς εὑρεῖν φέρε
2·46
εἰπεῖν δ ἑξῆς ἀνάλογον ἐν τῷ δοθέντι λόγῳ, τὸ λεγόμενον
3·37
διὰ τῆς προτάσεως τοιοῦτόν ἐστι· τίνες εἰσὶν οἱ τέσσαρες
4·26
ἀριθμοί, οἵτινες κατὰ συνέχειαν τὴν αὐτὴν πρὸς ἀλλήλους
5.1·5
δύνανται σώζειν συνέχειαν, οἵτινες καὶ ἐλάχιστοί εἰσι τῶν
5.2·5
τὸν αὐτὸν λόγον ἐχόντων αὐτοῖς, ἐλάχιστοι δέ, οὐχ ὅτι οὐ
5.3·5
δύνανται ἐλαχιστότεροι αὐτῶν εὑρεθῆναι τὸν αὐτὸν λόγον
5.4·5
ἔχοντες αὐτοῖς (τοῦτο γὰρ ψεῦδός ἐστιν), ἀλλʼ ὅτι ἑξῆς τέσ‐
5.5·4
σαρες ἐν τῷ αὐτῷ λόγῳ ἐλαχιστότεροι οὐ δύνανται ἄλλοι
10.1·4
εὑρεθῆναι. οἷον τέσσαρες ἑξῆς ἀνάλογόν εἰσιν ὁ ὀκτὼ καὶ
10.2·4
ὁ ιβ καὶ ὁ ιη καὶ ὁ κζ ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, καὶ τούτων εἰσὶν
10.3·4
ἄλλοι ἐλαχιστότεροι ἐν ἡμιολίῳ λόγῳ, τέσσαρες δὲ οὐδα‐
10.4·4
μῶς, ἀλλʼ οἱ εὐθὺς μετʼ αὐτοὺς ἐλάχιστοι κατὰ συνέχειαν
10.5·3
ἡμιόλιοι τρεῖς εἰσιν οἷον ὁ δ ὁ ϛ ὁ θ, πάλιν οἱ τῶν δ ϛ θ
15.1·3
ἐλαχιστότεροι δύο εἰσί, τρεῖς δὲ οὐδαμῶς, οἷον ὁ γ καὶ ὁ β.
15.2·3
ἔστιν οὖν τὸ λεγόμενον τὸ ἀριθμοὺς εὑρεῖν ἑξῆς ἀνάλογον
15.3·3
ἐλαχίστους δυνάμει τοιοῦτον· δεῖ εὑρεῖν τέσσαρας ἀνάλο‐
15.4·3
γον ἀριθμούς, οἵτινες ἔσονται ἐλάχιστοι, τουτέστιν ὧν
15.5·3
ἐλαχιστότεροι κατὰ συνέχειαν τέσσαρες οὐ δύνανται εὑρε‐
20·2
θῆναι. κἂν οὖν ἑπτὰ ἑξῆς ἀνάλογον ἐλαχίστους κἂν ι εὑρί‐
1·50
σκειν κἂν ἄλλους ὅσους δή τινας παρακελευώμεθα, τοιοῦ‐
2·47
τόν τι προσταττόμεθα. εὑρεῖν οὖν δεῖ τέσσαρας ἐλαχίστους,
3·38
ὧν τεσσάρων ἄλλοι τέσσαρες ἑξῆς ἐλαχιστότεροι οὐ δύναν‐
4·27
ται εἶναι, ἢ εὑρεῖν δέκα ἑξῆς ἐλαχίστους, ὧν δέκα ἕτεροι
25
δέκα ἑξῆς ἐλαχιστότεροι οὐ δύνανται εἶναι.
1·51
Ἔστω ὁ Α μονάδων ιη, ὁ δὲ Β ὀκτώ, πολλαπλασιάσαν‐
2·48
τες δὲ ἀλλήλους ποιείτωσαν τὸν ρμδ. ὁ μὲν ρμδ τετράγω‐
3·39
νός ἐστιν, πλευρὰ δὲ αὐτοῦ ὁ ιβ· δωδεκάκις γὰρ δώδεκα
4·28
ρμδ. ὅτι καὶ ὁ ιη καὶ η ὅμοιοί εἰσι, δῆλον· εἰσὶ γὰρ πλευραὶ
5.1·6
τοῦ μὲν ιη ὁ ϛ καὶ ὁ γ, τοῦ δὲ η ὁ δ καὶ ὁ β. καί ἐστιν ὡς ὁ
5.2·6
ϛ πρὸς τὸν γ, ὁ δ πρὸς τὸν β.
1·52
Ὁ σκοπὸς τοῦ ιʹ βιβλίου τῷ Εὐκλείδῃ διδάξαι περὶ
2·49
συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων καὶ περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων·
3·40
οὐ γὰρ ταὐτὸν ἀσύμμετρα καὶ ἄλογα, διότι τὰ μὲν φύσει
4·29
ἔστιν, τὰ δὲ ἄλογα καὶ ῥητὰ θέσει. εἰ γὰρ καὶ τὴν τοῦ τε‐
5.1·7
τραγώνου διάμετρον φύσις ἀσύμμετρον ποιεῖ πρὸς τὴν πλευ‐
5.2·7
ράν, ἀλλὰ κατὰ τοὺς ἐν ἑαυτῇ ἐκείνου λόγους ποιεῖ καὶ οὐ
5.3·6
κατὰ τὸ ἐπιτυχόν· ὥστε οὐδὲν τῶν ἀσυμμέτρων τῇ φύσει
5.4·6
εἴη ἄλογον, ἀσύμμετρον δέ. καὶ γὰρ ἡ φύσις αὐτὸ ποιεῖ
5.5·5
κατὰ πᾶν μέτρον ἀκοινώνητον τῷδέ τινι. ἐν μὲν οὖν τοῖς
10.1·5
πρώτοις περὶ συμμέτρων καὶ ἀσυμμέτρων διαλαμβάνει
10.2·5
πρὸς τὴν φύσιν αὐτῶν αὐτὰ ἐξετάζων, ἐν δὲ τοῖς ἑξῆς περὶ
10.3·5
ῥητῶν καὶ ἀλόγων οὐ πασῶν (τινὲς γὰρ αὐτῷ ὡς ἐνιστά‐
10.4·5
μενοι ἐγκαλοῦσιν), ἀλλὰ τῶν ἁπλουστάτων εἰδῶν, ὧν
10.5·4
συντιθεμένων γίνονται ἄπειροι ἄλογοι, ὧν τινας καὶ ὁ
15.1·4
Ἀπολλώνιος ἀναγράφει. ἐπιστήμης δὲ τὰ αἴτια καὶ ἀρχη‐
15.2·4
γικὰ καὶ ἁπλᾶ ἐπισκέπτεσθαι, οὐ τὰ καθʼ ἕκαστα καὶ
15.3·4
ἄπειρα. ἐκτίθεται δʼ οὖν τῶν ἀλόγων ἁπλᾶ εἴδη ιγ εὑρεθέν‐
15.4·4
τα κατὰ τρόπους τρεῖς, παρʼ ἃ οὐχ εὑρεθήσεται ἄλλα ἁπλᾶ.
15.5·4
εἰσὶ δὲ οἱ τρόποι ὅ τε κατὰ ἀναλογίαν, διʼ οὗ μίαν εὑρίσκει,
20.1·2
καὶ ὁ κατὰ σύνθεσιν, διʼ οὗ ἕξ, καὶ ὁ κατὰ διαίρεσιν, διʼ οὗ
20.2·2
τὰς λοιπὰς ἕξ. ἦλθον δὲ τὴν ἀρχὴν ἐπὶ τὴν τῆς συμμετρίας
1·53
ζήτησιν οἱ Πυθαγόρειοι πρῶτοι αὐτὴν ἐξευρόντες ἐκ τῆς
2·50
τῶν ἀριθμῶν κατανοήσεως. κοινοῦ γὰρ ἁπάντων ὄντος
3·41
μέτρου τῆς μονάδος καὶ ἐπὶ τῶν μεγεθῶν κοινὸν μέτρον
25.1·3
εὑρεῖν οὐκ ἠδυνήθησαν. αἴτιον δὲ τὸ πάντα μὲν καὶ ὁποιον‐
25.2·3
οῦν ἀριθμὸν καθʼ ὁποιασοῦν τομὰς διαιρούμενον μόριόν
25.3·3
τι καταλιμπάνειν ἐλάχιστον καὶ τομῆς ἀνεπίδεκτον, πᾶν
25.4·3
δὲ μέγεθος ἐπʼ ἄπειρον διαιρούμενον μὴ καταλιμπάνειν
25.5·3
μόριον, ὃ διὰ τὸ εἶναι ἐλάχιστον τομὴν οὐκ ἐπιδέξεται,
30.1·3
ἀλλὰ καὶ ἐκεῖνο ἐπʼ ἄπειρον τεμνόμενον ποιεῖν ἄπειρα
30.2·3
μόρια, ὧν ἕκαστον ἐπʼ ἄπειρον τμηθήσεται, καὶ ἁπλῶς τὸ
30.3·3
μὲν μέγεθος κατὰ μὲν τὸ μερίζεσθαι μετέχειν τῆς τοῦ
30.4·3
ἀπείρου ἀρχῆς, κατὰ δὲ τὴν ὁλότητα τῆς τοῦ πέρατος,
30.5·3
τὸν δὲ ἀριθμὸν κατὰ μὲν τὸ μερίζεσθαι τῆς τοῦ πέρατος,
35.1·3
κατὰ δὲ τὴν ὁλότητα τῆς τοῦ ἀπείρου. ἐπεὶ οὖν τὰ μέτρα
35.2·3
τῶν μετρουμένων ἐλάττονα εἶναι προσήκει, μετρεῖται δὲ
35.3·3
πᾶς ἀριθμός, ἀνάγκη πάντων ἔλαττόν τι εἶναι τὸ μέτρον.
35.4·3
ὥστε καὶ τῶν μεγεθῶν, εἰ πάντα μετρεῖται κοινῷ μέτρῳ,
35.5·3
ἀνάγκη εἶναί τι ἐλάχιστον. ἀλλʼ ἐπὶ μὲν τῶν ἀριθμῶν
40.1·3
ἔστιν· πεπέρασται γάρ, ὡς προείρηται· ἐπὶ δὲ τῶν μεγε‐
40.2·3
θῶν οὐκέτι. οὐκ ἄρα κοινὸν πάντων τι μεγεθῶν μέτρον.
40.3·3
τοῦτο οὖν καὶ οἱ Πυθαγόρειοι ἐγνωκότες συμμετρίαν
40.4·3
ὡς ἦν τοῖς μεγέθεσι δυνατόν, ἐξεῦρον. πάντα γὰρ τὰ ὑπὸ
40.5·3
τὸ αὐτὸ μέτρον μεγέθη σύμμετρα ὠνόμασαν, τὰ δὲ οὐχ
45.1·3
ὑποπίπτοντα τῷ αὐτῷ μέτρῳ ἀσύμμετρα, καὶ τούτων
45.2·3
πάλιν, ὅσα μὲν ἄλλῳ τινὶ κοινῷ μετρεῖται μέτρῳ, ἀλλήλοις
45.3·2
σύμμετρα, ὅσα δὲ μή, ἀσύμμετρα, ἐκείνοις. καὶ οὕτω θέσει
45.4·2
λαμβανομένων τῶν μέτρων πάντα εἰς συμμετρίας ἀνήγαγον
1·54
διαφόρους, εἰ δὲ εἰς διαφόρους, καὶ ὡς πρός τινα οὐ πάντα
1·55
σύμμετρα εἶναι δύναται. ῥητὰ δὲ πάντα καὶ πάντα ἄλογα
2·51
δυνατὸν εἶναι ὡς πρός τι· διὸ τὸ μὲν σύμμετρον φύσει ἂν
3·42
εἴη αὐτοῖς καὶ τὸ ἀσύμμετρον, τὸ δὲ ῥητὸν καὶ ἄλογον
4·30
θέσει. εὑρίσκεται δὲ τὰ σύμμετρα καὶ ἀσύμμετρα τριχῶς
5·16
κατὰ τὰς τρεῖς διαστάσεις· καὶ γὰρ γραμμαὶ καὶ ἐπιφάνειαι
55.1·2
καὶ στερεά, ὡς ὁ Θέων δείκνυσι καί τινες ἄλλοι. ὅτι δὲ ἐπʼ
55.2·2
ἄπειρον τὸ μέγεθος διαιρετόν, τοιούτῳ θεωρήματι κέχρην‐
55.3·2
ται. ἰσόπλευρον λαβόντες τρίγωνον τέμνουσι τὴν βάσιν
55.4·2
δίχα καὶ ἑνὶ τῶν τμημάτων ἴσον ἀποθέμενοι ἐπὶ μιᾶς τῶν
55.5·2
πλευρῶν ὡς ἐπὶ τὰ πρὸς τῇ βάσει μέρη παράλληλον ἄγουσι
60.1·2
διʼ ἐκείνου, καὶ ἔσται πάλιν ἰσόπλευρον τὸ ἀπολαμβανό‐
60.2·2
μενον τρίγωνον, οὗ πάλιν τὴν βάσιν κατὰ τὰ αὐτὰ τέ‐
60.3·2
μνοντες ὡσαύτως ποιοῦσι καὶ οὐ‐
60.4·2
δέποτε καταλήγουσι πρὸς τῇ τοῦ
60.5·2
τριγώνου κορυφῇ. εἰ γὰρ κατα‐
65.1·2
λήξουσιν, τὸ ἥμισυ τῆς βάσεως
65.2·2
τοῦ τότε ἰσοπλεύρου τριγώνου
65.3·2
ἑκατέρᾳ τῶν πλευρῶν ἴσον ἔσται.
65.4·2
ὥστε καὶ αἱ δύο τῇ λοιπῇ· ὅπερ
65.5·2
ἄτοπον.
70.1·2
Ὅτι δὲ χρήσιμος ἡ τούτων θεωρία, μὴ καὶ περιττὸν λέ‐
70.2·2
γειν. τῶν γὰρ Πυθαγορείων λόγος τὸν πρῶτον τὴν περὶ
70.3·2
τούτων θεωρίαν εἰς τοὐμφανὲς ἐξαγαγόντα ναυαγίῳ περι‐
70.4·2
πεσεῖν, καὶ ἴσως ᾐνίττοντο, ὅτι πᾶν τὸ ἄλογον ἐν τῷ παντὶ
70.5·2
καὶ ἄλογον καὶ ἀνείδεον κρύπτεσθαι φιλεῖ, καὶ εἴ τις ἂν
75.1·2
ψυχὴ ἐπιδράμοι τῷ τοιούτῳ εἴδει τῆς ζωῆς πρόχειρον καὶ
75.2·2
φανερὸν τοῦτο ποιήσηται, εἰς τὸν τῆς γενέσεως ὑποφέρε‐
75.3·2
ται πόντον καὶ τοῖς ἀστάτοις ταύτης κλύζεται ῥεύμασιν.
75.4·2
τοιοῦτον σέβας καὶ οὗτοι εἶχον οἱ ἄνδρες περὶ τὴν τῶν ἀλό‐
75.5·2
γων θεωρίαν.
3col.1
αἱ μὲν μή‐
3col.2
κει καὶ δυ‐
3col.3
νάμει σύμ‐
3col.4
μετροι. τὸ
3col.5.1
ὑπὸ ῥητῶν
3col.5.2
μήκει συμ‐
3col.5.3
μέτρων καὶ
3col.5.4
δυνάμει
3col.5.5
περιεχόμε‐
3col.10.1
νον ὀρθο‐
3col.10.2
γώνιον χω‐
3col.10.3
ρίον ῥητόν
3col.10.4
ἐστι. καὶ
3col.10.5
ἐὰν ῥητὸν
3col.15.1
χωρίον
3col.15.2
παρὰ ῥη‐
3col.15.3
τὴν παρα‐
3col.15.4
βληθῇ, πλά‐
3col.15.5
τος ποιεῖ ῥη‐
3col.20.1
τὸν καὶ
3col.20.2
σύμμετρον
3col.20.3
τῇ παρʼ ἣν
3col.20.4
παράκει‐
3col.1·2
ται μήκει.
5col.1
Ἀπὸ ῥητοῦ μέσου
5col.2
ἀφαιρουμένου | ἀπὸ
5col.3
μέσου ῥητοῦ ἀφαιρου‐
5col.4
μένου | ἀπὸ μέσου μέ‐
5col.5
σου ἀφαιρουμένου |
5col.1·2
ἀσυμμέτρου τῷ ὅλῳ
6col.1
κατὰ σύνθεσιν.
6col.2
[ἡ] σύμμετρος
6col.3
οὖσα μιᾷ τού‐
6col.4
των τῶν ἀλό‐
6col.5.1
γων καὶ αὐτὴ
6col.5.2
ἄλογός ἐστι
6col.5.3
καὶ τοῦ αὐτοῦ
6col.1·2
ὀνόματος
7col.1
αἱ μέν εἰσι ῥηταὶ αἱ
7col.2
ὁπωσοῦν τῇ ἐκκειμέ‐
7col.3
νῃ ῥητῇ σύμμετροι,
7col.4
μήκει σύμμετροι, δυ‐
7col.5.1
νάμει μόνον σύμμε‐
7col.5.2
τροι καὶ τῇ ῥητῇ καὶ
7col.5.3
ἀλλήλοις. τὸ ὑπὸ ῥη‐
7col.5.4
τῶν μήκει συμμέ‐
7col.5.5
τρων περιεχόμενον
7col.10
ῥητὸν καὶ ἡ δυναμέ‐
7col.1·2
νη αὐτὸ ῥητή.
170col.1
Τοῦ η ἡ πλευρά
170col.2
٢
170col.3
٤٩
170col.4
٤٢
170col.5
٢٠
170col.1·2
١٥
184col.1
Τὸ ὑπὸ τῶν δύο μέσων παραλληλόγραμμον [ἤτοι τῆς ΒΓ καὶ ΒΑ τὸ ΑΓ].
184col.2
٧
184col.3
٥٩
184col.4
٥٣
184col.5
٢٨
184col.1·2
٢٠
243col.1
ἡ ΑΒ
243col.2
٢
243col.3
٢١
243col.1·2
٣٥
289col.1
Τὸ ΕΗ
289col.2
٥
289col.3
٣٥
289col.4
٤٣
289col.5.1
٣٦
289col.5.2
٢٥
289col.1·2
١٠
356col.1
Ἡ ΑΓ
356col.2
١
356col.3
٤٠
356col.1·2
٢٧
366col.1
Ἡ ΑΒ ὅλη
366col.2
٤
366col.3
٥٩
366col.1·2
١٤
369col.1
Ἡ ΑΒ ὅλη
369col.2
٤
369col.3
٩
369col.1·2
٤٩
372col.1
Ἡ ΑΒ ὅλη
372col.2
٣
372col.3
٢٠
372col.1·2
٤٣
382col.1
Ἡ ΑΓ
382col.2
٥
382col.3
١٣
382col.1·2
١١
389col.1
Ἡ ΑΓ
389col.2
١
389col.3
٤٠
389col.1·2
٢٧
396col.1
τὸ ἀπὸ τῆς ΗΓ
396col.2
١٠
396col.3
١٧
396col.4
٨
396col.5
٣٤
396col.1·2
١٧
409col.1
Ἡ ΛΝ
409col.2
٨
409col.3
٥٢
409col.1·2
٣٩
422col.1
Ἡ ΑΔ
422col.2
٢
422col.3
٤٧
422col.1·2
٣٥
422col.2·2
ἡ ΑΓ
422col.2·3
٤
424col.1
Ἡ ΔΗ
424col.2
١٠
424col.3
١٨
424col.4
٥
424col.5
٤٠
426col.1
Ἡ ΑΔ
426col.2
٣
426col.3
٢٧
426col.1·2
٥٠
426col.2·2
ἡ ΑΓ
426col.2·3
٤
427col.1
Ἡ ΑΒ
427col.2
٢٠
427col.3
τὸ ἀπὸ
427col.4
τῆς ΑΒ
427col.5
٤٠٠
430col.1
Ἡ ΑΒ
430col.2
٢
430col.3
٥⸎
430col.1·2
٤٤
430col.2·2
ἡ ΓΔ
430col.2·3
٤
434col.1
ἡ ΑΒ
434col.2
٣
434col.3
٤٩
434col.1·2
٤٢
434col.2·2
ἡ ΓΔ
434col.2·3
٤
435col.1
Τὸ ΓΕ
435col.2
٥
435col.3
٥١
435col.4
١٨
435col.5
١٢
436col.1
ἡ ΑΒ
436col.2
١
436col.3
٤٠
436col.1·2
٢٧
441col.1
Ἡ ΑΒ
441col.2
٧
441col.3
٣٩
441col.1·2
٢٤
442col.1
Ἡ ΑΒ
442col.2
٣
442col.3
٤٩
442col.1·2
٤٢
443col.1
Ἡ Α
443col.2
٣
443col.3
٤٩
443col.1·2
٤٢
445col.1
Ἡ ΓΖ
445col.2
١
445col.3
٢٧
445col.4
٤٩
445col.5
٣٣
447col.1
Ἡ πλευρὰ τοῦ ΕΓ
447col.2
٥
447col.3
٤٢
447col.1·2
١٤
447col.2·2
τὸ ΒΓ
447col.2·3
٣٦
447col.3·2
ἡ ΖΗ
447col.3·3
٤
449col.1
Ἡ πλευρὰ
449col.2
τοῦ ..
449col.3
٥
449col.4
٢٨
449col.5
٣٨
453col.1
Ἡ ἀποτομή
453col.2
ἡ ΕΖ
453col.3
١٠
453col.4
١٨
453col.5
٥
453col.1·2
٤٠
460col.1
Ἡ Α
460col.2
٦
460col.3
τὸ ἀπὸ
460col.4
ταύτης
460col.5
λϛ
1·56
Οἱ παλαιοὶ τὴν τῶν ἐπιπέδων γνῶσιν ἀπὸ τῆς τῶν
2·52
στερεῶν ἐπιστήμης διέστελλον· ἐκείνην μὲν γὰρ γεω‐
3·43
μετρίαν ἐκάλουν, ὡς καὶ Πλάτων ἐν τῇ Πολιτείᾳ δηλοῖ,
4·31
ταύτην δὲ στερεομετρίαν. οἱ νεώτεροι δὲ διὰ τὸ ἀμφοῖν
5.1·8
τοῖν ἐπιστήμαιν κοινὴν εἶναι τὴν περὶ μεγέθη γνῶσιν
5.2·8
κοινῷ καὶ ὀνόματι τὴν γεωμετρίαν ἐκάλεσαν συνάψαντες
5.3·7
αὐτὰς ὡσανεὶ μίαν πραγματείαν οὖσαν διὰ τὸ περὶ ταὐτό,
5.4·7
ὥσπερ εἴρηται, ἔχειν.
5.5·6
Ὡς ἐν τοῖς ἐπιπέδοις ἦν τὰ μὲν εὐθύγραμμα, τὰ δὲ κυκλι‐
10.1·6
κά, τὰ δὲ μικτὰ ὡς οἱ θυραῖοι καὶ αἱ ἕλικες, οὕτω καὶ ἐν
10.2·6
τοῖς στερεοῖς τὰ μὲν ἐξ εὐθυγράμμων ἐπιπέδων, τὰ δὲ
10.3·6
ἐκ περιφερογράμμων, τὰ δὲ ἐκ μικτῶν ὡς κύλινδρος καὶ
10.4·6
κῶνος· ἔστι δὲ πρὸς μὲν τοῦ πέρατος τὰ κυκλικά, πρὸς
10.5·5
δὲ τοῦ ἀπείρου τὰ εὐθύγραμμα ἢ ἐξ εὐθυγράμμων, πρὸς δὲ
15
τοῦ κρυφίου τὰ μικτά.
1·57
Καὶ τὸ ἀντιστρόφιον τούτου ζητητέον. τοῦτο δὲ καὶ
2·53
τὸ ἑξῆς λημμάτιά ἐστι τῶν μελλόντων λέγεσθαι, ὁμοίως
3·44
δὲ καὶ τὸ τρίτον εἰς τὸν περὶ πυραμίδων καὶ κώνων λόγον.
1·58
Ἐν τούτῳ τῷ βιβλίῳ, τουτέστι τῷ ιγʹ, γράφεται τὰ
2·54
λεγόμενα Πλάτωνος ε σχήματα, ἃ αὐτοῦ μὲν οὐκ ἔστιν,
3·45
τρία δὲ τῶν προειρημένων ε σχημάτων τῶν Πυθαγορείων
4·32
ἐστίν, ὅ τε κύβος καὶ ἡ πυραμὶς καὶ τὸ δωδεκάεδρον,
5.1·9
Θεαιτήτου δὲ τό τε ὀκτάεδρον καὶ τὸ εἰκοσάεδρον. τὴν δὲ
5.2·9
προσωνυμίαν ἔλαβεν Πλάτωνος διὰ τὸ μεμνῆσθαι αὐτὸν
5.3·8
ἐν τῷ Τιμαίῳ περὶ αὐτῶν· Εὐκλείδου δὲ ἐπιγράφεται καὶ
5.4·8
τοῦτο τὸ βιβλίον διὰ τὸ στοιχειώδη τάξιν ἐπιτεθεικέναι
5.5·7
καὶ ἐπὶ τούτου τοῦ στοιχείου.
1·59
καὶ κείσθω τῇ ΕΖ p. 2, 24] ἡ γὰρ ΔΕ μείζων τῆς
2·55
ΕΖ. ὅτι δὲ μείζων ἡ ΔΕ τῆς ΕΖ, δῆλον ἐκ τοῦ δύνασθαι
3·46
τὴν μὲν ΔΓ ἑξαγώνου πλευρὰν οὖσαν τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ,
4·33
ΕΓ, τὴν δὲ ΖΓ δεκαγώνου οὖσαν τὰ ἀπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ.
5.1·10
ἐπεὶ οὖν ἡ ΔΓ μείζων τῆς ΖΓ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΔΕ, ΕΓ
5.2·10
μείζονά εἰσι τῶν ἀπὸ τῶν ΖΕ, ΕΓ, καὶ κοινοῦ ἀφαιρεθέν‐
5.3·9
τος τοῦ ἀπὸ τῆς ΕΓ μεῖζον τὸ ἀπὸ τῆς ΔΕ τοῦ ἀπὸ τῆς
5.4·9
ΕΖ· ὥστε καὶ ἡ ΔΕ τῆς ΕΖ μείζων ἐστίν.
1·60
Ἀπὸ μὲν τοῦ Κ ἐπὶ τὸ ΕΖΛΘ, ἀπὸ δὲ τοῦ Λ ἐπὶ τὸ
2·56
ΖΗΘΚ, ἀπὸ δὲ τοῦ Θ ἐπὶ τὸ ΗΕΚΛ.
1·61
Ἐπίπεδον ἐπιφανείας διαφέρει, ὅτι τὸ μὲν ἐπίπεδον
2·57
ἐπὶ τοῦ λεῖα καὶ ἴσα τὰ οἰκεῖα μόρια ἔχοντος λέγεται, ἡ δὲ
3·47
ἐπιφάνεια καὶ ἐπὶ τοῦ ἄνισα.
1·62
αʹ γένος. πολλαπλάσιος ἀριθμός ἐστιν ὁ μετρούμενος
2·58
ὑπὸ τοῦ, οὗ ἐστι πολλαπλάσιος, καὶ λέγεται κατὰ γένος,
3·48
κατὰ εἶδος δὲ διπλάσιος, τριπλάσιος καὶ εἰς ἄπειρον.
4·34
βʹ. κατὰ γένος ἐπιμόριος ἀριθμός ἐστιν ὁ ὑπὸ ἑτέρου
5.1·11
μετρούμενος ἅπαξ καὶ περισσεύων τινός, ὅπερ τινὸς μετρεῖ
5.2·11
τὸν μετρήσαντα, οἷον ὁ θ καὶ ὁ ιβ· μετρεῖ ὁ θ τὸν ιβ καὶ
5.3·10
περισσεύει γ, καὶ ὁ γ μετρεῖ τὸν θ. κατὰ εἶδος δὲ ἐπίτριτος,
5.4·10
ἐπιτέταρτος, ἐπιέβδομος καὶ εἰς ἄπειρον.
5.5·8
γʹ. κατὰ γένος ἐπιμερὴς δὲ ὁ μετρούμενος ὑπὸ ἑτέρου
10.1·7
ἅπαξ, καὶ περισσεύει τι, ὅπερ οὐ μετρεῖ τὸν μετρήσαντα,
10.2·7
οἷον ὁ θ καὶ ὁ ια. κατὰ εἶδος δὲ ἐπιδισμόριος ἢ ἐπιτρισμό‐
10.3·7
ριος καὶ ἔτι κατὰ εἶδος ἐπιδισέννατος καὶ ἐπιτρισέννατος.
10.4·7
Ἐὰν τρεῖς εὐθεῖαι ἀνάλογον ὦσιν, ἡ πρώτη πρὸς τὴν γʹ
10.5·6
διπλασίονα λόγον ἔχειν λέγεται ἤπερ πρὸς τὴν βʹ, τουτ‐
15.1·5
έστιν ἐὰν ἔχῃ ἡ αʹ πρὸς τὴν βʹ λόγον τριπλασίονα, ἡ αʹ
15.2·5
πρὸς τὴν γʹ λόγον ἕξει δὶς τὸν αὐτὸν τὸν τριπλασίονα,
15.3·5
τουτέστιν ἐννεαπλασίονα· τρὶς γὰρ τὰ τρία θ. τοῦτο γάρ
15.4·5
ἐστι καὶ τὸ λεγόμενον ἐν τοῖς ὅροις τοῦ ϛʹ βιβλίου.
15.5·5
Λόγος ἐκ λόγων συγκεῖσθαι λέγεται καὶ τὰ ἑξῆς· οἷον
20·3
τρὶς τρὶς θ, ὁ ἐννεαπλοῦς διπλασίων ἐστὶ τοῦ τριπλασίου,
1·63
καί ἐστι λόγος ἐκ λόγων συγκείμενος. ὁ δὲ δωδεκαπλάσιος
2·59
λόγος σύγκειται ἐκ β λόγων τριπλασίου τε καὶ τετραπλα‐
3·49
σίου ἢ διπλασίου καὶ ἑξαπλασίου, καὶ ἐπὶ πάντων τὸ αὐτὸ
4·35
νοείσθω. τὰ ὅμοια τρίγωνα πρὸς ἄλληλα ἐν διπλασίονι
25.1·4
λόγῳ ἐστὶ τῶν ὁμολόγων πλευρῶν, καί ἐστιν ὁ μὲν τῆς
25.2·4
εὐθείας πρὸς τὴν εὐθεῖαν τὴν ὁμόλογον τῆς βγ πρὸς τὴν εζ
25.3·4
τριπλάσιος, ὁ δὲ λόγος τοῦ αβγ τριγώνου πρὸς τὸ εδζ
25.4·4
τρίγωνον ἐννεαπλάσιος, ὁ δὲ λόγος τοῦ λόγου διπλάσιος.
25.5·4
[Start of a diagram]ἁπλοῖ ἁπλοῖ ἁπλοῖ
30.1·4
πολλαπλάσιος ἐπιμόριος ἐπιμερίς
30.2·4
διπλοῖ οἱ πολλαπλάσιοι
30.3·4
πολλαπλασιεπιμόριος πολλαπλασιεπιμερίς
30.4·4
ὑποπολλαπλάσιος ὑποεπιμόριος ὑποεπιμερίς
30.5·4
ὑποπολλαπλασιεπιμόριος ὑποπολλαπλασιεπιμερίς[End of a diagram]
35.1·4
Ἡ πηλικότης τοῦ τριπλασίου ἐστὶν ὁ τρία πρὸς ἕνα, τοῦ
35.2·4
τετραπλασίου ὁ τέσσαρα πρὸς ἕνα, τοῦ ἡμιολίου ὁ τρία
1·64
πρὸς δύο καὶ τὸ ἑξῆς.
2·60
Ὁ ἐκ διπλασίου καὶ ἡμιολίου ὁ τοῦ ἓξ πρὸς τρία καὶ τρία
3·50
πρὸς δύο. ὁ ἐξ ἡμιολίου καὶ τριπλασίου λαμβανόμενος ὁ
40.1·4
τρία καὶ δύο ἡμιόλιος, ὁ δύο καὶ ἕνα διπλάσιος. ὁ ἐξ
40.2·4
ἐπιτρίτου καὶ τετραπλασίου λαμβανόμενος ἐπίτριτος ὁ ιϛ
40.3·4
τοῦ ιβ, καὶ ὁ ιβ τοῦ τρία τετραπλάσιος. ὁ ἐξ ἀφαιρέσεως
40.4·4
διπλασίου τριπλάσιος ὁ καταλειπόμενος ὑποημιόλιος. ὁ
40.5·4
ἓξ διπλάσιός ἐστι τοῦ γ. ἐὰν ἀπὸ τοῦ ϛ ἀφαιρῇς πρὸς δύο
45
ἤγουν τὸ τριπλάσιον, καταλείπεται ὁ δύο πρὸς τρία ὑπο‐
1·65
ημιόλιος.
2·61
Ὁ ἐξ ἀφαιρέσεως τοῦ διπλασίου τριπλάσιος πρὸς τὸν
3·51
ἐλάσσονα ὁ καταλειπόμενος ὑποημιόλιος. ὁ β πρὸς ἕνα
4·36
διπλάσιος, ἐὰν ἀφέλωμεν ἀπὸ τοῦ ἑνὸς τὸν τρία πρὸς ἕνα
1·66
τριπλάσιον, καταλείπεται δύο πρὸς τρία ὑποημιόλιος.
2·62
Ὅτε οἱ τρεῖς ὅροι οὐκ εἰσὶν ἐν τῇ ταυτότητι τῶν λόγων
3·52
τῆς ἀναλογίας, τότε οὐ λέγομεν τὸ πρῶτον καὶ τὸ τρίτον
4·37
διπλασίονα λόγον ἔχειν ἤπερ πρὸς τὸ δεύτερον.
5·17
Ἔστωσαν γὰρ ἀριθμοὶ οἱ α, β, γ, καὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β
55.1·3
ἔστω ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ὁ ε, ὁ δὲ ὑπὸ α, γ ὁ ζ, καὶ ὁ μὲν α τὸν
55.2·3
ε πολλαπλασιάσας τὸν η ποιείτω, ὁ δὲ β τὸν ζ πολλαπλα‐
55.3·3
σιάσας τὸν θ ποιείτω, καὶ ἔτι ὁ γ τὸν δ πολλαπλασιάσας
55.4·3
τὸν κ ποιείτω. λέγω, ὅτι ἴσοι εἰσὶν οἱ η,
55.5·3
θ, κ ἀριθμοί. ἐπεὶ γὰρ ὁ α τὸν β πολ‐
60.1·3
λαπλασιάσας τὸν δ πεποίηκεν, τὸν δὲ γ
60.2·3
πολλαπλασιάσας τὸν ζ πεποίηκεν, ἔστιν
60.3·3
ἄρα, ὡς ὁ β πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς
60.4·3
τὸν ζ. ὁ ἄρα ὑπὸ β, ζ, τουτέστιν ὁ θ, ἴσος
60.5·3
ἐστὶ τῷ ὑπὸ γ, δ, τουτέστι τῷ κ. πάλιν
65.1·3
ἐπεὶ ὁ γ τὸν μὲν α πολλαπλασιάσας τὸν
65.2·3
ζ πεποίηκεν, τὸν δὲ β πολλαπλασιάσας
65.3·3
τὸν ε πεποίηκεν, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ α πρὸς τὸν β, οὕτως ὁ ζ
65.4·3
πρὸς τὸν ε. ὁ ἄρα ὑπὸ α, ε, τουτέστιν ὁ η, ἴσος ἐστὶ τῷ
65.5·3
ὑπὸ β, ζ, τουτέστι τῷ θ. οἱ ἄρα η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι
70.1·3
ἀλλήλοις εἰσίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
70.2·3
Ἔστω β μεγέθη τὰ α, γ, καὶ ἐχέτω λόγον τὸ α πρὸς τὸ γ,
70.3·3
οὗ πηλικότης ὁ δ, καὶ παρεμπεσέτω μέσον τῶν α, γ μεγε‐
70.4·3
θῶν τυχὸν μέγεθος τὸ β. λέγω, ὅτι ὁ τοῦ α πρὸς τὸ γ λόγος
70.5·3
ὁ δ σύγκειται ἐκ τοῦ, ὃν ἔχει τὸ α πρὸς τὸ β, οὗ πηλικότης
75.1·3
τὸ ζ, καὶ τοῦ β πρὸς τὸ γ, οὗ πηλικότης τὸ ε. ἐπεὶ γὰρ ὁ δ
75.2·3
τὸ γ πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν, τὸ α ἄρα τοῦ γ
1·67
πολλαπλάσιόν ἐστι κατὰ τὸ δ. πάλιν ἐπεὶ ὁ ε τὸ γ πολλα‐
2·63
πλασιάσας τὸ β πεποίηκε, ὁ δὲ ζ τὸ β
3·53
πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν, ὁ ἄρα
80.1·2
ζ τὸν ἐκ τῶν ε, γ πολλαπλασιάσας τὸ α
80.2·2
πεποίηκεν. καὶ ὁ γ ἄρα τὸν ἐκ τῶν ζ, ε
80.3·2
πολλαπλασιάσας τὸ α πεποίηκεν διὰ
80.4·2
τὸ πρὸ ἑαυτοῦ λῆμμα. ἴσος ἄρα ἐστὶν
80.5·2
ὁ ἐκ τῶν ζ, ε τῷ δ. ὁ δ ἄρα σύγκειται
85.1·2
ἐκ τοῦ πολλαπλασιασμοῦ τῶν ζ, ε.
85.2·2
Ὑπόμνημα σχόλιον εἰς τὰς τῶν λόγων σύνθεσίν τε καὶ
85.3·2
ἀφαίρεσιν Λέοντος.
85.4
Ἔστωσαν ἀριθμοὶ οἱ α, β, γ, καὶ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἔστω
85.5
ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ ὁ ε, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ α, γ ὁ ζ, καὶ πάλιν ὁ
90.1·2
μὲν ὑπὸ α, ε ἔστω ὁ η, ὁ δὲ ὑπὸ β, ζ ὁ
90.2·2
θ, καὶ ἔτι ὁ ὑπὸ γ, δ ὁ κ. λέγω, ὅτι οἱ
90.3·2
η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν.
90.4·2
ἐπεὶ γὰρ ὁ μὲν ὑπὸ α, β ἐστιν ὁ δ, ὁ δὲ
90.5·2
ὑπὸ α, γ ἐστιν ὁ ζ, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ β
95.1·2
πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς τὸν ζ. ὁ ἄρα
95.2·2
ὑπὸ γ, δ ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ β, ζ, τουτ‐
95.3·2
έστιν ὁ κ ἴσος ἐστὶ τῷ θ. πάλιν ἐπεὶ ὁ
95.4·2
μὲν ὑπὸ α, β ἐστιν ὁ δ, ὁ δὲ ὑπὸ β, γ
95.5·2
ἐστιν ὁ ε, ἔστιν ἄρα, ὡς ὁ α πρὸς τὸν γ, οὕτως ὁ δ πρὸς
1·68
τὸν ε· ὁ ἄρα ὑπὸ γ, δ, τουτέστιν ὁ κ, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ α,
2·64
ε, τουτέστι τῷ η. ἀλλʼ ὁ κ τῷ θ ἐστιν ἴσος· οἱ τρεῖς ἄρα οἱ
3·54
η, θ, κ ἀριθμοὶ ἴσοι ἀλλήλοις εἰσίν.
4·38
Λῆμμα βʹ
5·18
Ἔστω ἀριθμὸς ὁ α τοῦ β πολλαπλάσιος κατὰ τὸν γ. λέγω,
105
ὅτι καὶ ὁ β τοῦ α πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον
1·69
μέρος τοῦ γ. ἐπεὶ γὰρ ὁ β τὸν α μετρεῖ κατὰ τὸν γ, ἔστιν
2·65
ἄρα, ὡς ὁ β πρὸς τὸν πρῶτον, οὕτως ἡ μονὰς πρὸς τὸν γ.
3·55
ὡς δὲ ἡ μονὰς πρὸς τὸν γ, οὕτως τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ
4·39
πρὸς μονάδα. καὶ ὡς ἄρα ὁ β πρὸς τὸν α,
110.1·2
οὕτως τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ πρὸς
110.2·2
μονάδα. ὁ ἄρα ὑπὸ τοῦ β καὶ μονάδος, τουτ‐
110.3·2
έστιν αὐτὸς ὁ β, ἴσος ἐστὶ τῷ ὑπὸ τοῦ
110.4·2
α καὶ τοῦ ὁμωνύμου τῷ γ.
110.5·2
ια ιβ
115.1·2
ιγ μ̊ ὁμώνυμον
115.2·2
τοῦ γ μόριον
115.3·2
τὸ γʹ
115.4·2
Ἵνα δὲ καὶ ἀριθμητικῶς σαφηνισθῇ τὰ τοιαῦτα, ἐπὶ μὲν
115.5·2
τοῦ αʹ λήμματος λέγομεν, ὅτι ὁ τετράκις πέντε ἑξάκις
120.1·2
ἴσος ἐστὶ τῷ πεντάκις τε ἓξ τετράκις καὶ τῷ ἑξάκις τέσσαρα
120.2·2
πεντάκις, τουτέστι τῷ ρκ. ἐπὶ δὲ τοῦ βʹ λήμματος ὁ ἑκατὸν
120.3·2
τοῦ εἴκοσι πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν ε, καὶ ὁ κ τοῦ ρ
120.4·2
πολλαπλάσιός ἐστι κατὰ τὸν εʹ.
120.5·2
Λῆμμα γʹ
125.1·2
Ἔστω ὁ α τοῦ β ἐπιμόριος κατὰ τὸν γ. λέγω, ὅτι καὶ ὁ β
125.2·2
τοῦ α ἐπιμόριός ἐστι κατὰ τὸ ὁμώνυμον μόριον τοῦ γ
125.3·2
ἐναλλάξ, τουτέστιν, εἴ ἐστιν ὁ α τοῦ β ἐπίτριτος, τουτέστιν
125.4·2
ἔχων αὐτοῦ τρίτα τέσσαρα, καὶ ὁ β τοῦ α ἔσται τέταρτα
125.5·2
τρία. ἐπεὶ γὰρ ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχει, ὃν τέσσαρα πρὸς
130.1·2
τρία, καὶ ὁ β ἄρα πρὸς τὸν α λόγον ἕξει, ὃν τρία πρὸς τέσ‐
130.2·2
σαρα, καὶ ἐπὶ τῶν ἑξῆς ἐπιμορίων ὡσαύτως.
130.3·2
Λῆμμα δʹ
130.4·2
Ἀλλὰ καὶ ἐπὶ τῶν ἐπιμερῶν τὸ αὐτὸ συμβαίνει. εἰ γὰρ ὁ
130.5·2
α πρὸς τὸν β λόγον ἔχει, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν ε, καὶ ὁ β πρὸς
135.1·2
τὸν α λόγον ἕξει, ὃν ὁ ε πρὸς τὸν ζ ἐναλλάξ, τουτέστιν ἀντὶ
135.2·2
τοῦ ἑπταπέμπτου τὸν πενταέβδομον, καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων
135.3·2
ὡσαύτως. τὰ δʼ αὐτὰ νοεῖν δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν συνθέτων λόγων
135.4·2
οἷον πολλαπλασιεπιμορίων καὶ πολλαπλασιεπιμερῶν. εἰ
135.5·2
γὰρ ἔσται τυχὸν ὁ α τοῦ β διπλασιεπίτριτος, τουτέστι
140
λόγον ἔχων πρὸς τὸν β, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν γ, τουτέστιν ἑπτά‐
1·70
τριτος αὐτοῦ, ἔσται καὶ ὁ β τοῦ α ὑποδιπλασιεπίτριτος,
2·66
τουτέστι λόγον ἔχων πρὸς αὐτόν, ὃν ὁ γ πρὸς τὸν ζ, τουτ‐
3·56
έστι τριέβδομος. τὸ δʼ αὐτὸ νοητέον καὶ ἐπὶ τῶν πολλα‐
4·40
πλασιεπιμερῶν. εἰ γὰρ ὁ α τοῦ β διπλασιεπιτρίπεμπτος εἴη,
145.1·2
τουτέστι λόγον ἔχων πρὸς αὐτόν, ὃν ὁ ιγ πρὸς τὸν ε, τουτ‐
145.2·2
έστι τρισκαιδεκαπέμπτος, ἔσται καὶ ὁ β τοῦ α πεντατρισ‐
145.3·2
καιδέκατος, καὶ τὰ ἄλλα οὕτως.
145.4·2
Τούτων δὲ προθεωρηθέντων ἔστω τὸ α μέγεθος πρὸς
145.5·2
τὸ β λόγον ἔχον, οὗ λόγου πηλικότης ἔστω τὸ γ, καὶ
1·71
μεταξὺ τῶν α, β ἐμπιπτέτω τυχὸν μέγεθος τὸ δ. λέγω.
2·67
ὅτι ὁ τοῦ α πρὸς τὸ β λόγος συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει
3·57
τὸ α πρὸς τὸ δ καὶ τὸ δ πρὸς τὸ β. ὅτι μὲν γὰρ τὸ β τὴν γ
4·41
πηλικότητα τοῦ λόγου πολλαπλασιάσαν τὸ α ἐποίησεν,
5·19
δῆλον· ἀλλʼ ἐπεὶ πάλιν τὸ β μέγεθος τὴν ζ πηλικότητα
155.1·2
τοῦ λόγου τῶν δ, β πολλαπλασιάσαν τὸ δ πεποίηκεν,
155.2·2
ἀλλὰ καὶ τὸ δ μέγεθος τὴν ε πηλικότητα τοῦ λόγου τῶν α,
155.3·2
δ πολλαπλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν, διὰ τὸ αʹ ἄρα λῆμμα,
155.4·2
ἐπειδὴ τὸ ε τὸν ἐκ τῶν β, ζ πολλα‐
155.5·2
πλασιάσαν τὸ α πεποίηκεν, καὶ τὸ β ἄρα
160.1·2
τὸν ἐκ τῶν ε, ζ πολλαπλασιάσαν τὸ α
160.2·2
πεποίηκεν. ἀλλὰ μὴν καὶ ὁ ὑπὸ β, γ
160.3·2
ἐστιν ὁ α, καὶ πάλιν ὁ ὑπὸ β, ζ, ε ἐστιν
160.4·2
ὁ α· ἴσος ἄρα ἐστὶν ὁ ὑπὸ β, γ τῷ ὑπὸ
160.5·2
β, ε, ζ. ἡ ἄρα γ πηλικότης τοῦ τῶν α,
165.1·2
β μεγεθῶν λόγου ἴση ἐστὶ τῇ ὑπὸ τῶν
165.2·2
ε, ζ πηλικοτήτων γενομένῃ. σύγκειται ἄρα ἡ γ πηλικότης
165.3·2
ἐκ τῆς ε ἐπὶ τὴν ζ πολλαπλασιασθεῖσαν. τὰ δʼ αὐτὰ ἐροῦ‐
165.4·2
μεν, καὶ ἐὰν μεταξὺ τῶν α, δ ἐμπέσῃ μέγεθος, καὶ πάλιν
165.5·2
ἐὰν μεταξὺ τῶν β, δ ἄλλο ἐμπέσῃ· ἡ γὰρ αὐτὴ ἔφοδός
170.1·2
ἐστιν.
170.2·2
Ὑπόδειγμα
170.3·2
Ἔστω ὁ α πρὸς τὸν β λόγον ἔχων, ὃν ὁ ζ πρὸς τὸν ε· ἡ
1·72
ἄρα γ πηλικότης οὖσα τοῦ λόγου τῶν α, β ἔσται πεμπτη‐
2·68
μορίων ζ. ἐμπιπτέτω δὴ μεταξὺ τῶν α, β μέγεθος τὸ δ
175.1·2
ἔχον καὶ αὐτὸ μονάδας ια. ἡ ἄρα ζ πηλικότης οὖσα τῶν δ,
175.2·2
β τοῦ λόγου ἔσται πεμπτημορίων ια· ἡ ἄρα ε πηλικότης
175.3·2
οὖσα τῶν α, δ τοῦ λόγου ἔσται ἑνδεκάτων ζ.
175.4·2
Ὅτι δὲ τὸ ὀρθογώνιον τὸ περιεχόμενον ὑπό τε ἑνδεκά‐
175.5·2
των ζ καὶ ὑπὸ πεμπτημορίων ια γίνεται πεμπτημορίων ζ,
180.1·2
φανερόν· τὰ γὰρ ζ ἐπὶ τὰ ια γίνεται οζ, τὸ δὲ ἑνδεκατημό‐
180.2·2
ριον ἐπὶ τὸ πεμπτημόριον πολλαπλασιαζόμενον γίνεται
180.3·2
πεντηκοστοπεμπτημόριον· τὰ οὖν οζ πεντηκοστοπεμπτη‐
180.4·2
μόρια γίνεται πεμπτημόρια ζ, τουτέστιν ἡ πηλικότης τοῦ
180.5·2
λόγου τῶν α, β.
185.1·2
Ἀλλὰ δὴ νῦν ὑποκείσθω τὸ α πρὸς τὸ β λόγον ἔχον, ὃν ὁ
185.2·2
ιζ ἀριθμὸς πρὸς τὸν ιγ, καὶ δὲ ἐξ αὐτοῦ ἀφελεῖν, ὃν ἔχει
185.3·2
λόγον ὁ ιθ πρὸς τὸν ια. ποιῶ οὖν, ὡς ὁ ιθ πρὸς τὸν ια,
185.4
οὕτως τὸν ιζ πρὸς ρπζ ἐννεακαιδέκατα. λοιπὸς ἄρα λόγος
185.5
μένει ὁ τῶν ρπζ ιθʹ πρὸς μονάδας ιγ, τουτέστιν ἐὰν ἐννεακαι‐
190.1·2
δεκάκις τὰ ιγ ποιήσωμεν ἐν ἐλαχίστοις ἀριθμοῖς τοῖς τῶν
190.2·2
ρπζ πρὸς σμζ· ἅπερ προέκειτο δεῖξαι.
190.3·2
[Start of a diagram]αἱ ἐπίπεδοι γωνίαι περιέχονται
190.4·2
[Start of a diagram section]ἢ ὑπὸ τῶν αὐτῶν καὶ ὁμοίων γραμμῶν
190.5·2
ἢ εὐθύγραμμοι
195.1·2
ἢ ὀξεῖα
195.2·2
ἢ ὀρθὴ
195.3·2
ἢ ἀμβλεῖα
195.4·2
ἢ περιφερόγραμμοι
195.5·2
αἱ δύο κυρταί
1·73
αἱ δύο κοῖλαι[End of a diagram section]
2·69
[Start of a diagram section]ἢ ὑπὸ ἀνομοίων
3·58
ἢ ὑπὸ περιφερειῶν ἀνομοίων
4·42
ἢ ὑπὸ εὐθείας καὶ περιφερείας
5·20
ἢ κυρτῆς ὡς ἡ κερατοειδής
205.1·2
ἢ κοίλης ὡς ἡ τῶν τμημάτων[End of a diagram section][End of a diagram]
205.2·2
[Start of a diagram]τῶν τριπλεύρων
205.3·2
ἰσόπλευρον ἰσοσκελές σκαληνόν[End of a diagram]
205.4·2
[Start of a diagram] τῶν τριγώνων
1·74
ἀμβλυγώνιον ὀρθογώνιον ὀξυγώνιον[End of a diagram]
210.1·2
[Start of a diagram]τῶν τετραπλεύρων
210.2·2
[Start of a diagram section]παραλληλόγραμμον
210.3·2
ὀρθογώνιον
210.4·2
ἰσόπλευρον
210.5·2
ἑτερόμηκες
215.1·2
οὐκ ὀρθογώνιον
215.2·2
ἰσόπλευρον ῥόμβος
215.3·2
ῥομβοειδές[End of a diagram section]
215.4·2
[Start of a diagram section]τραπέζια
215.5·2
τὸ ἀπεναντίον ον τ =
220.1·2
α εὐθύγραμμος
220.2·2
β ἐκ δύο κυρτῶν
220.3
γ ἐκ δύο κοίλων
220.4
δ τῶν μηνίσκων
220.5
ε τῶν τμημάτων
225
ϛ κερατοειδής[End of a diagram section][End of a diagram]
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Liddell, Scott & Jones (Perseus, CC BY-SA). Morphology: odyCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.