Library › Greek: Science & Medicine › Scholia on Euclid's Elements
These are the anonymous Greek scholia on the Elements of Euclid, the Alexandrian mathematician of about 300 BC, gathered from the manuscripts of the Elements. They comment on the books of the Elements in turn, beginning with the division of geometry into plane and solid, and explain definitions, postulates and proofs, supply alternative demonstrations and discuss the history of the subject. Some of the notes on the first book draw on Proclus' commentary.
The Elements was the foundation of mathematical education for two thousand years, and these scholia record how it was taught. They also preserve notable historical claims, such as the attribution of the theory of proportion in the fifth book to Eudoxus and the association of the regular solids with the Pythagoreans and Theaetetus. They are a key source for the history of Greek mathematics.
About this edition. The Greek text comes from the Eulogikon open corpus of public-domain editions (standard reference: Heiberg, Euclidis Elementa V (Teubner 1888)). Every word has been analyzed with odyCy, a neural language model for Ancient Greek — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from the Liddell–Scott–Jones Greek–English Lexicon (LSJ).
Ancient Greek · Science & Medicine
Scholia on Euclid's Elements
Scholia · Book 51 · every word parsed
1
Καὶ τὸ ἑνδέκατον πρόβλημά ἐστιν· ποιεῖ γὰρ ἐφεξῆς
ὀρθὰς γωνίας ἐν αὐτῷ ὁ γεωμέτρης εὐθεῖαν ἐπʼ εὐθεῖαν
στήσας. εἴτε δὲ πεπερασμένην κατʼ ἀμφοτέρας τὰς ἄκρας
τὴν εὐθεῖαν λάβωμεν εἴτε κατʼ ἄμφω ἄπειρον εἴτε ὡδὶ μὲν
5.1
ἄπειρον, ὡδὶ δὲ πεπερασμένην καὶ τὸ σημεῖον ἐπʼ αὐτῆς,
5.2
συσταθήσεται τοῦ προκειμένου προβλήματος ἡ κατασκευή.
5.3
κἂν γὰρ ἐπʼ ἄκρας τῆς εὐθείας ᾖ τὸ δοθὲν σημεῖον, προσ‐
5.4
εκβάλλοντες τὴν εὐθεῖαν τὰ αὐτὰ ποιήσομεν. δῆλον δέ,
ὅτι τὸ μὲν σημεῖον ἐνταῦθα τῇ θέσει δέδοται ἐπὶ τῆς εὐθείας
10.1
κείμενον μοναχῶς κατὰ τὴν θέσιν, ἡ δὲ εὐθεῖα κατὰ τὸ
10.2
εἶδος δέδοται· μέγεθος γὰρ αὐτῆς ἢ λόγος ἢ θέσις οὐκ
10.3
ἀφώρισται. δείκνυσι δὲ ὁ στοιχειωτὴς τὸ προκείμενον
10.4
χρησάμενος τῷ πρώτῳ προβλήματι καὶ τῷ γʹ καὶ ἑνὶ τῶν
10.5
αἰτημάτων καὶ πρὸς τούτοις τῷ ηʹ θεωρήματι καὶ τῷ ὅρῳ
15.1
τῆς πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθείας. εἰ δὲ καὶ θεωρίαν δοίημεν
15.2
τῷ προβλήματι τούτῳ, ἔοικεν ἡ μὲν ὀρθὴ γωνία σύμβολον
15.3
εἶναι ζωῆς κατʼ ἀρετὴν ἀνιούσης καὶ εἰς ὕψος αἰρομένης
15.4
καὶ μενούσης ἀκλίτου πρὸς τὰ χείρονα· καὶ γὰρ ἡ ὀρθὴ
15.5
γωνία ἀκλινής ἐστι καὶ τῇ ἰσότητι καὶ τῷ ὅρῳ καὶ τῷ πέ‐
20.1
ρατι συνεχομένη, ἡ δὲ κάθετος εἰκών ἐστι ζωῆς ἐπὶ τὰ
20.2
κάτω κατιούσης καὶ τῆς κατὰ γένεσιν ἀοριστίας οὐκ ἀνα‐
20.3
πιμπλαμένης.
1·2
Ἐπεὶ γὰρ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἐστιν, ἴση δὲ
2·2
ἡ ΓΒ τῇ ΒΖ (τετραγώνου γάρ εἰσι πλευραὶ τοῦ ΓΖ), δῆλον,
3·2
ὅτι καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ,
4·2
ΒΓ. εἰ οὖν, ὡς εἴρηται, τὰ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ΑΒ, ΒΖ
5.1·2
ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν, ἔστι δὲ τὸ ΑΖ τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ, τὸ
5.2·2
ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ἔτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΖ διπλά‐
5.3·2
σιά ἐστι τοῦ ΑΖ. ὥστε καὶ τὸ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ ἴσα
5.4·2
ὄντα τῷ ὑπὸ τῶν ΑΒ, ΒΓ καὶ ΑΒ, ΒΖ διπλάσιά εἰσι τοῦ
5.5
ΑΖ. ἔστι δὲ τοῦ ΑΖ διπλάσια καὶ τὰ ΑΖ, ΓΕ μετὰ τοῦ
10
ἀπὸ τῆς ΓΒ τετραγώνου. καὶ τὸ συμπέρασμα δῆλον.
1·3
ᾖ πολλαπλάσιον μεγέθους τινός, καὶ ἀφαιρεθὲν ἀφαιρε‐
2·3
θέντος ἰσάκις πολλαπλάσιον· τὸ γὰρ ἰσάκις πολλαπλάσιον
3·3
οὐκ εἰς τὰ δύο μεγέθη μόνα φανεῖται, ἀλλὰ καὶ εἰς ἄλλα
5.1·3
δύο τὰ ἀφαιρεθέντα ἐκ τῶν πρώτων μεγεθῶν· τὰ γὰρ δύο
5.2·3
μεγέθη ἕνα λόγον ἔχουσι, τὸ δὲ ἰσάκις, ἐπεὶ πρός τι, οὐκ
5.3·3
ἐν ἑνὶ λόγῳ, ἀλλὰ τὸ ἐλάχιστον ἐν δυσίν.
1·4
Ἐλάχιστοι κατὰ ὄγκον, κατὰ δὲ ἀριθμὸν ἴσοι, ὡς ὁ
2·4
κ πρὸς τὸν λ, οὕτως ὁ β πρὸς τὸν γ, ἀριθμοὶ ἴσοι δύο καὶ
3·4
δύο, πλῆθος ἐλάχιστον β καὶ γ, μεῖζον κ καὶ λ.
1·5
Οὐκοῦν κἂν τετράγωνα ἢ παραλληλόγραμμα ἢ
2·5
οἱαδήποτε χωρία λόγον ἔχῃ, ὃν ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν,
3·5
σύμμετρα ἔσται τὰ μεγέθη, ὅταν δὲ ὃν τετράγωνος πρὸς
4·3
τετράγωνον, καὶ αὐτὰ σύμμετρα καὶ αἱ δυνάμεναι αὐτὰ
5.1·4
μήκει. ἢ ὅταν εὐθεῖαι πρὸς ἀλλήλας λόγον ἔχωσιν, ὃν
5.2·4
ἀριθμὸς πρὸς ἀριθμόν, καὶ αὗται σύμμετροί εἰσι μήκει
5.3·4
καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἢ τὰ ἴσα τοῖς τετραγώνοις
5.4·3
αὐτῶν χωρία λόγον ἔχειν ἀναγκάζεται, ὃν τετράγωνος
51·2
ἀριθμὸς πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν. ἐπὶ πλέον ἄρα αἱ δυ‐
10.1·2
νάμει σύμμετροι τῶν μήκει συμμέτρων εἰσὶ καὶ περιεκτι‐
10.2·2
κώτεραι, ὡς καὶ ἐκ τῶν ἐφεξῆς θεωρημάτων ἔσται δῆλον.
1·6
Τὰ η μετὰ τῶν ιβ ποιεῖ ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν β τοῦ
2·6
ὕψους δηλαδὴ ρϙβ. πάλιν τὰ δ μετὰ τῶν ϛ ποιεῖ κδ, μετὰ
1·7
δὲ τῶν α τοῦ ὕψους δηλαδὴ τὰ αὐτά. τὰ ιϛ μετὰ τῶν κδ
2·7
ποιεῖ τπδ καὶ τὰ δ τὸ ὕψος δηλαδὴ μετʼ αὐτῶν ͵αφλϛ. τὰ
5.1·5
δὲ η μετὰ τῶν ιβ ϙϛ, μετὰ δὲ τῶν β τοῦ ὕψους ρϙβ. ὀκτα‐
5.2·5
πλάσιον δὲ τὸ στερεὸν τὰ ρϙβ τοῦ στερεοῦ τῶν κδ, ὀκτα‐
5.3·5
πλάσιον καὶ τὸ στερεὸν τὰ ͵αφλϛ τῶν ρϙβ.
τρία τέταρτα
1·8
καὶ ἑκάστη ἄρα τῶν p. 108, 20] ἐὰν γὰρ εὐθεῖά τις
2·8
ἐφαπτομένη τοῦ κύκλου ἀχθῇ παράλληλος τῇ τοῦ ἐγγρα‐
3·6
φομένου τετραγώνου πλευρᾷ τῇ ΑΒ τυχὸν τῇ καὶ ὑπο‐
4·4
τεινούσῃ τὴν πρὸς τῷ Ε τοῦ τριγώνου γωνίαν, καὶ ἐπιζευ‐
5.1·6
χθῶσιν αὗται, γενήσεται παραλληλόγραμμον διπλάσιον
5.2·6
τοῦ ΑΕΒ τριγώνου διὰ τὸ μαʹ τοῦ αʹ βιβλίου. ἐὰν δὲ τὸ
5.3·6
παραλληλόγραμμον δίχα τμηθῇ διὰ τῆς διαγωνίου, καὶ
5.4·4
ἀνασταθῶσιν ἰσουψεῖς τῷ κώνῳ πυραμίδες ἀπὸ τῶν τρι‐
5.5·2
γώνων, ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται διὰ τὸ εʹ τοῦ ιβʹ βιβλίου. αἱ
10.1·3
δὲ δύο τῆς μιᾶς διπλασίους· ἡ ἄρα ἀπὸ τοῦ παραλληλο‐
10.2·3
γράμμου ἀνασταθεῖσα πυραμὶς ἰσουψὴς τῷ κώνῳ διπλα‐
10.3·2
σία τῆς ἀπὸ τοῦ ἡμίσεος αὐτοῦ τριγώνου ἀνασταθείσης
10.4·2
ἰσουψοῦς πυραμίδος. ἀλλὰ καὶ τὸ ΑΕΒ τρίγωνον ἥμισύ
51·3
ἐστι τοῦ παραλληλογράμμου· ὥστε καὶ τῆς ἀπʼ αὐτοῦ
15.1·2
ἀνασταθείσης ἰσουψοῦς πυραμίδος διπλασίων ἔσται. ἐπεὶ
15.2·2
δὲ ἡ ἀπὸ τοῦ παραλληλογράμμου ἰσουψὴς τῷ κώνῳ πυρα‐
15.3·2
μὶς μείζων ἐστὶ τοῦ κώνου τμήματος (περιέχει γάρ), καὶ
15.4·2
ἡ ἀπὸ τοῦ τριγώνου ἰσουψὴς τῷ κώνῳ πυραμὶς ἡμίσεια
15.5·2
οὖσα ταύτης μείζων ἔσται ἢ τὸ ἥμισυ τοῦ καθʼ ἑαυτὴν κώ‐
20
νου τμήματος· ὡσαύτως δὲ καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων.
1·9
ὡς δὲ ἡ ΑΒ p. 165, 23] πόθεν, ὅτι ὡς ἡ ΑΒ πρὸς
2·9
τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς ΑΔ; καὶ
3·7
λέγομεν, ὅτι ἐπιζευγνυμένης τῆς ΑΔ ὀρθογώνιον γίνεται
4·5
τὸ ΑΔΒ τρίγωνον· καὶ ἀπὸ τῆς πρὸς τῷ Δ γωνίας κάθετος
5.1·7
ἐπὶ τὴν ΑΒ βάσιν ἦκται ἡ ΔΓ, ὡς γίνεσθαι διὰ τὸ πόρισμα
5.2·7
τοῦ ηʹ τοῦ ϛʹ τῆς ΑΒ βάσεως καὶ τοῦ ἑνὸς τῶν τῆς βάσεως
5.3·7
τμημάτων τὴν πρὸς τῷ τμήματι πλευρὰν μέσην ἀνάλογον
5.4·5
τὴν ΔΒ· ὥστε ἔσται ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ ἤγουν ὡς ἡ
5.5·3
πρώτη πρὸς τὴν τρίτην, οὕτως τὸ ἀπὸ τῆς πρώτης τῆς
10·2
ΑΒ πρὸς τὸ ἀπὸ τῆς δευτέρας τῆς ΔΒ ὡς ἐν τῷ πορίσματι
51·4
τοῦ κʹ τοῦ ϛʹ φησίν.
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Liddell, Scott & Jones (Perseus, CC BY-SA). Morphology: odyCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.