Library › Greek: Science & Medicine › Scholia on Euclid's Elements
These are the anonymous Greek scholia on the Elements of Euclid, the Alexandrian mathematician of about 300 BC, gathered from the manuscripts of the Elements. They comment on the books of the Elements in turn, beginning with the division of geometry into plane and solid, and explain definitions, postulates and proofs, supply alternative demonstrations and discuss the history of the subject. Some of the notes on the first book draw on Proclus' commentary.
The Elements was the foundation of mathematical education for two thousand years, and these scholia record how it was taught. They also preserve notable historical claims, such as the attribution of the theory of proportion in the fifth book to Eudoxus and the association of the regular solids with the Pythagoreans and Theaetetus. They are a key source for the history of Greek mathematics.
About this edition. The Greek text comes from the Eulogikon open corpus of public-domain editions (standard reference: Heiberg, Euclidis Elementa V (Teubner 1888)). Every word has been analyzed with odyCy, a neural language model for Ancient Greek — click or tap any word for its dictionary form, part of speech, and complete morphology, together with the full entry from the Liddell–Scott–Jones Greek–English Lexicon (LSJ).
Ancient Greek · Science & Medicine
Scholia on Euclid's Elements
Scholia · Book 9 · every word parsed
1
Κοινόν ἐστιν αἰτήμασι καὶ ἀξιώμασι τὸ μὴ προσδεῖ‐
σθαί τινος ἀποδείξεως μηδὲ γεωμετρικῶν πίστεων, ἀλλʼ
ὡς γνώριμα λαμβάνεσθαι καὶ ἀρχὰς ταῦτα γίνεσθαι τῶν
ἐφεξῆς, διέστηκε δὲ ἀλλήλων, ᾗ καὶ τὰ θεωρήματα τῶν
5.1
προβλημάτων διώρισται. ὥσπερ γὰρ ἐν τοῖς θεωρήμασιν
5.2
τὸ ἀκόλουθον ἰδεῖν καὶ γνῶναι τοῖς ὑποκειμένοις προτι‐
5.3
θέμεθα, ἐν δὲ τοῖς προβλήμασι πορίσασθαι καὶ ποιῆσαί τι
5.4
προσταττόμεθα, οὕτω δὴ καὶ ἐν μὲν τοῖς ἀξιώμασι ταῦτα
5.5
λαμβάνεται, ὅσα καὶ αὐτόθεν εἰς γνῶσίν ἐστι καταφανῆ
10.1
καὶ πρόχειρα ταῖς ἀδιδάκτοις ἡμῶν διανοίαις, ἐν δὲ τοῖς
10.2
αἰτήμασι ταῦτα λαβεῖν ζητοῦμεν, ὅσα ἐστὶν εὐπόριστα καὶ
10.3
εὐμήχανα, τῆς διανοίας οὐ καμνούσης περὶ τὴν λῆψιν
10.4
αὐτῶν, οὐδὲ ποικιλίας δεόμενα. γνῶσις ἄρα ἐναργὴς καὶ
10.5
ἀναπόδεικτος καὶ λῆψις ἀκατάσκευος διορίζουσι τὰ αἰτή‐
15.1
ματα καὶ τὰ ἀξιώματα, ὥσπερ καὶ γνῶσις ἀποδεικτικὴ καὶ
15.2
λῆψις τῶν ζητουμένων μετὰ παρασκευῆς τὰ θεωρήματα
15.3
τῶν προβλημάτων διέκρινεν. ἄμφω μὲν οὖν τὸ ἀξίωμα καὶ
15.4
τὸ αἴτημα τὸ ἁπλοῦν ἔχειν δεῖ καὶ εὔληπτον καὶ ἀναπόδει‐
κτον, ἀλλὰ τὸ μὲν αἴτημα ὡς εὐπόριστον λαμβάνεται καὶ
20.1
δίδωσιν ἡμῖν μηχανήσασθαι καὶ πορίσασθαί τινα ὕλην
20.2
εἰς συμπτώματος ἀπόδοσιν ἁπλῆν ἔχουσαν καὶ εὐπετῆ τὴν
20.3
λῆψιν, τὸ δὲ ἀξίωμα ὡς εὔγνωστον ὡμολόγηται καὶ οὐκέτι
20.4
περὶ τὴν ὕλην, ὥσπερ τὰ αἰτήματα, ἀλλὰ περὶ τὰ συμ‐
20.5
βεβηκότα ἀναστρέφεται καὶ αὐτό ἐστι γνώριμον τοῖς
25
ἀκούουσι.
1·2
Εἰδέναι δὲ δεῖ, ὅτι τὸ παραλληλόγραμμον εἶδος μέν
2·2
ἐστι τοῦ εὐθυγράμμου, γένος δὲ τῶν παραλληλογράμμων.
3·2
εἴδη δὲ αὐτῶν τέσσαρα· τετράγωνον, ἑτερόμηκες, ῥόμβος,
4·2
ῥομβοειδές.
1·3
Ὥσπερ ἐν τῷ αʹ τῶν στοιχειωδῶν σχημάτων, τῶν
2·3
τριγώνων λέγω, στοιχειωδέστατον τὸ ἰσόπλευρον εἰς ποίη‐
3·3
σιν ἐν ἀρχῇ προετείνετο διὰ τὰς τῶν ἑξῆς ἀποδείξεων
4·3
κατασκευάς, οὕτως καὶ ἐνταῦθα τὸ κέντρον εὑρεῖν προβάλλε‐
5
ται· τοῦτο γὰρ τῆς κυκλικῆς γενέσεως αἴτιον.
10
Πᾶς μὲν κύκλος ἔχει τὸ οἰκεῖον κέντρον ὡρισμένον
1·4
Ἐδείχθη ἐν ἑνὶ θεωρήματι τοῦ αʹ στοιχείου [I 13],
2·4
ὅτι, ἐὰν εὐθεῖα ἐπʼ εὐθεῖαν σταθεῖσα εἴτε μίαν εἴτε πλείους
3·4
ἐφεξῆς ποιῇ γωνίας, δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας αὐτὰς ποιοῦσιν,
4·4
ἔστι δʼ ἀποδεδειγμένον, καὶ ὅτι παντὸς τριγώνου αἱ τρεῖς
5.1·2
γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσί. τῶν οὖν δύο ἐνταῦθα ταῖς
5.2·2
δυσὶν ἴσων γιγνομένων τῆς μὲν ὑπὸ ΘΑΓ τῇ ὑπὸ ΔΕΖ,
5.3·2
τῆς δὲ ὑπὸ ΗΑΒ τῇ ὑπὸ ΔΖΕ λείπεται εἶναι καὶ τὰς δύο
5.4·2
γωνίας τὰς λειπούσας εἰς τὰς τῶν δύο ὀρθῶν συζυγίας
5.5·2
ἴσας ἀλλήλαις, λέγω δὴ τὴν ὑπὸ ΒΑΓ τῇ ὑπὸ ΕΔΖ.
10.1·2
ἐὰν γὰρ ἀπὸ ἴσων ἴσα ἀφέλῃς, τὰ καταλειπόμενα ἴσα ἀλλή‐
10.2·2
λοις εἰσίν. κατὰ μὲν τοίνυν τὸν αὐτὸν λόγον ἕπεται εἶναι
10.3·2
ἐξ ἀνάγκης καὶ ὅλον τὸ ἐν τῷ κύκλῳ γεγονὸς τρίγωνον
10.4·2
ἰσογώνιον ὅλῳ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΔΕΖ.
1·5
Ἰστέον, ὅτι διαφέρει τὸ μετρεῖν τοῦ καταμετρεῖν, ᾗ
2·5
διαφέρει τὸ γένος τοῦ εἴδους· εἴ τι μὲν γὰρ καταμετρεῖται,
3·5
τοῦτο μετρεῖ, εἰ δέ τι μετρεῖ, οὐ πάντως καὶ καταμετρεῖ·
4·5
τὸ γὰρ μετροῦν οὐ πάντως ἀπαρτίζει. τοῦ ἄρα μετροῦντος
5·2
εἴδη δύο τό τε μετροῦν καὶ τὸ καταμετροῦν.
1·6
Σημείωσαι τὸ λόγος ἐκ λόγων· ἐν τῷ πέμπτῳ τοῦ
2·6
ὀγδόου ἡ σύνθεσις εὕρηται καὶ ἡ διαίρεσις ἐν τῇ ἀρχῇ
3·6
τοῦ θʹ.
1·7
Ὁ μὲν ἀρτιάκις ἄρτιος ἀεὶ ὑπὸ ἀρτίου ἀριθμοῦ με‐
2·7
τρεῖται κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν, οἷον ὁ ξδ· δὶς γὰρ λβ ξδ,
3·7
τετράκις ιϛ ξδ, ὀκτάκις η ξδ. κατὰ μὲν οὖν τὴν πρώτην
4·6
τομὴν ἡ μὲν δύναμις πολλή, τὰ δὲ μέρη β, καὶ κατὰ τὴν
5.1·3
δευτέραν τομὴν τὰ μὲν μέρη ὀλίγα· δ γάρ· ἡ δὲ δύναμις
5.2·3
πολλή· ιϛ γάρ· κατὰ δὲ τὴν τρίτην ἄμφω ἴσα, κατὰ τὴν
5.3·3
τετάρτην ἀντέστραπται, καὶ οὐ δεῖ ζητεῖν ἐν τῷ ἀρτιάκις
5.4·3
ἀρτίῳ, εἴτε ἡ δύναμις πολλὴ εἴτε τὰ μέρη ὀλίγα, ἀλλʼ ἓν
5.5·3
μόνον ἐξ ἀνάγκης δεῖ ζητεῖν τὸ εἶναι τάς τε δυνάμεις καὶ
10.1·3
τὰ μέρη κατὰ ἄρτιον ἀριθμόν. ὁ δὲ ἀρτιοπερισσὸς ἀεὶ ὑπὸ
10.2·3
ἀρτίου ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ περισσὸν ἀριθμόν, πλὴν
10.3·3
ἀεὶ ὁ μὲν ἄρτιος ἐλάττων, ὁ δὲ περισσὸς μείζων. εὐθὺς ὁ
10.4·3
πρῶτος ὁ ἓξ οὕτω μετρεῖται· δὶς γὰρ τρεῖς λέγομεν. ὁμοίως
10.5·2
καὶ ὁ δεύτερος ὁ ι· δὶς γὰρ ε ι· καὶ ὁ τρίτος ὡσαύτως· δὶς
15.1·2
γὰρ ζ ιδ· καὶ ἐπὶ τῶν ἄλλων ἡ αὐτὴ ἀκολουθία. ὁ δὲ πε‐
15.2·2
ρισσάρτιος ἀεὶ μὲν ὑπὸ περισσοῦ ἀριθμοῦ μετρεῖται κατὰ
15.3·2
ἄρτιον ἀριθμόν, οὐκ ἀεὶ δὲ ὁ μὲν περισσὸς ἐλάττων, ὁ δὲ
15.4·2
ἄρτιος μείζων, ἀλλʼ ὡς ἐπὶ τὸ πλεῖστον μὲν ὁ περισσὸς
15.5
ἐλάττων, ὁ δὲ ἄρτιος μείζων, οἷον τρὶς η κδ καὶ τρὶς ιϛ μη,
20.1·2
σπανίως δὲ ὁ μὲν περισσὸς μείζων, ὁ δὲ ἄρτιος ἐλάττων,
20.2·2
οἷον ὁ κ· πεντάκις γὰρ δ κ· καὶ τοῦτο εἰκός ἐστι· μῖγμα
20.3·2
γὰρ ὢν ἀμφοτέρων κατά τι μὲν ἔοικε, κατά τι δὲ διαφέρει.
10·2
Λέγομεν γὰρ ἅπαξ γ γ, ἅπαξ ε ε, ἅπαξ ζ ζ.
1·8
Οἱ ἐπίπεδοι ἀριθμοὶ πρὸς ἀλλήλους λόγον ἔχουσι
2·8
τὸν συγκείμενον ἐκ τῶν πλευρῶν· οἷον ἔχουσιν αἱ πλευραὶ
3·8
τὸν διπλάσιον καὶ τὸν ἡμιόλιον, ἐξ αὐτῶν δὲ ὁ τριπλάσιος
4·7
σύγκειται. οἱ ἐπίπεδοι ἄρα ἔχουσι λόγον τὸν συγκείμενον
5·3
ἐκ τῶν πλευρῶν.
1·9
καὶ ὡς ἄρα ὁ Α πρὸς τὸν Β, ὁ Β πρὸς τὸν Γ p. 193,
2·9
5. 6] διὰ τὸ ιζʹ τοῦ ἑβδόμου τὸ ἐὰν ἀριθμὸς β ἀριθμοὺς πολ‐
3·9
λαπλασιάσας ποιῇ τινας, οἱ γενόμενοι ἐξ αὐτῶν τὸν αὐτὸν
4·8
λόγον ἔχουσι τοῖς πολλαπλασιάσασιν. ὁ γὰρ Α ἀριθμὸς
5.1·4
ἑαυτόν τε καὶ τὸν Β δύο ἀριθμοὺς πολλαπλασιάσας ποιεῖ
5.2·4
τόν τε Β αὖ καὶ τὸν Γ. ὥστε οἱ Β, Γ τὸν αὐτὸν λόγον
5.3·4
ἕξουσι τοῖς πολλαπλασιάσασι τοῖς Α, Β δηλαδή· ὅπερ
9·2
ἔδει δεῖξαι.
1·10
Τῶν εὐθειῶν αἱ μέν εἰσι καὶ μήκει καὶ δυνάμει σύμ‐
2·10
μετροι, αἱ δὲ δυνάμει σύμμετροι, μήκει δὲ ἀσύμμετροι.
3·10
δυνάμει μὲν οὖν καὶ μήκει σύμμετρος ἡ δωδεκάπους καὶ
4·9
ἑκκαιδεκάπους· τὰ γὰρ ἀπὸ τοῦ ιβ καὶ ιϛ τετράγωνα τὰ
5.1·5
ρμδ καὶ σνϛ τῷ αὐτῷ χωρίῳ τῷ τέσσαρα μετροῦνται,
5.2·5
ὥσπερ καὶ αὐταί. τοῦ γὰρ ιβ καὶ ιϛ κοινὸν μέτρον ὁ δ,
5.3·5
ἀλλὰ καὶ τοῦ ρμδ καὶ σνϛ· ὁ γὰρ δ μετὰ τοῦ λϛ μετρεῖ τὸν
5.4·4
ρμδ, μετὰ δὲ τοῦ ξδ τὸν σνϛ· αὗται μὲν ἄρα καὶ μήκει καὶ
5.5·4
δυνάμει σύμμετροί εἰσιν, ἡ δὲ πεντάπους καὶ πεντεκαιδε‐
10.1·4
κάπους δυνάμει σύμμετροί εἰσι μόνον, οὐ μὴν καὶ μήκει.
10.2·4
καὶ ὅτι μὲν μήκει οὐκ εἰσὶ σύμμετροι, δῆλον· οὐ γὰρ
10.3·4
ἔχουσι κοινὸν μέτρον· ὅτι δὲ ἡ πεντάπους τῇ πεντεκαιδε‐
10.4·4
κάποδι δυνάμει σύμμετρός ἐστι, δῆλον· τὰ γὰρ ἀπʼ αὐτῶν
10.5·3
τετράγωνα τὰ κε καὶ σκε τῷ αὐτῷ χωρίῳ μετροῦνται. ἔχει
15.1·3
δὲ καὶ ὁ σκε πρὸς τὸν κε ἐνναπλασίονα λόγον, αὗται δέ,
15.2·3
λέγω δὴ αἱ πρὸς ἀλλήλας σύμμετροι, εἴτε δυνάμει καὶ μή‐
15.3·3
κει εἰσὶ σύμμετροι εἴτε δυνάμει μόνον, ῥηταὶ λέγονται.
15.4·3
καλείσθω οὖν ἡ προτεθεῖσα εὐθεῖα ῥητή. προ‐
15.5·2
τεθεῖσαν εὐθεῖαν λέγω τὴν δεδομένην ἡμῖν ὡς ἀρχὴν καὶ
20.1·3
μέτρον καὶ οἱονεὶ κανόνα πρὸς ἐκμέτρησιν μηκῶν. τὴν
20.2·3
οὖν ἐξ ὑποθέσεως καί, ὡς αὐτὸς ὁ Εὐκλείδης λέγει, θέσει
20.3·3
λαμβανομένην ὡς ἀρχὴν καὶ μέτρον εἰς ἐκμέτρησιν μη‐
20.4·2
κῶν ῥητὴν καλεῖ. οἷον εἴ τις ἐρωτῴη, πόσον ἐστὶ τὸ μεταξὺ
20.5·2
διάστημα τῶν ὑποκειμένων σημείων, οὐδὲν ἂν ἔχοιμεν λέ‐
25.1
γειν, εἰ δὲ ἐρωτῴη, πόσων ἐστὶ πηχῶν ἢ ποδῶν, ἀναγκαῖόν
25.2
ἐστιν ἡμᾶς αἰτεῖν πηλικότητα πήχεως καὶ ποδὸς καὶ τῇ
1·11
πηλικότητι τοῦ πήχεως ἢ τοῦ ποδὸς χρωμένους προτεθείσῃ
2·11
ὡς ῥητῇ καὶ εὐθείᾳ τὸ προτεθὲν διάστημα ἐξετάζειν, καὶ
3·11
εἰ μὲν ἀπαρτιζόντως καταμετρεῖ τὸ διάστημα, οἷον τετρά‐
30.1
κις ἢ πεντάκις ἢ ὁσαχῶς ἄλλως, ῥητὸν ἂν εἴη τὸ τοιοῦτον
30.2
διάστημα πεντάπουν ἢ πεντάπηχυ, εἰ τύχοι· εἰ δὲ ὑπερ‐
30.3
βαίνει ἢ ἐλλείπει, ἄρρητον ἔσται. σαφηνείας δὲ χάριν τι τὸ
30.4
ἀπαρτίζον οὕτως μετρεῖν ἐστιν. ἔστω ὁ ἐννέα καὶ ὁ ι καὶ ὁ
30.5
η ἀριθμός. ὁ μὲν οὖν τρία τὸν θ ἀπαρτιζόντως μετρεῖ· τρὶς
35.1
γὰρ συντεθεὶς αὐτὸν μεμέτρηκεν. ὑπερβαίνει δὲ τὸν η, ἐλ‐
35.2
λείπει δὲ πρὸς τὸν ι. νενοήσθω δὴ καὶ ὁ γ καὶ ὁ η καὶ ὁ θ
35.3
καὶ ὁ ι ὡς γραμμαί, καὶ ἔστω ὁ θ ἡ ΑΒ γραμμή, ὁ δὲ η ἡ
35.4
ΓΔ, ὁ δὲ ι ἡ ΕΖ, ὁ δὲ γ ἡ ΗΘ. εἰ οὖν ἔροιτό τις, πόσον
35.5
ἐστὶ τὸ μεταξὺ διάστημα τῶν Α, Β σημείων, οὐκ ἂν ἔχοι‐
40.1
μεν λέγειν, εἰ δʼ ἔροιτο, πόσων ἐστὶ πηχῶν, ἀνάγκη αἰτῆ‐
40.2
σαι ἡμᾶς πρὸς τὸν ἐρωτῶντα μέτρον τι ὡρισμένον. ἔστω
40.3
δή, ὅτι δέδωκεν ἡμῖν τὸν τρία ἀριθμόν, ὃς ὑπόκειται εἶναι
40.4
ἡ ΗΘ γραμμή. ἔστω οὖν, ὅτι δέδωκεν ἡμῖν τὴν ΗΘ γραμ‐
40.5
μὴν ὡς πῆχυν. αὕτη οὖν δηλονότι ῥητή ἐστι· ῥητὴ γάρ
45.1
ἐστιν, ὥς τινες ὁρίζονται, ἡ διʼ ἀριθμῶν γνωρίμη. ἐπεὶ δὲ
45.2
καὶ ὁ πῆχυς διὰ τῆς μονάδος γνωρίζεται (μονάδι γὰρ ἀνα‐
45.3
λογεῖ πρὸς τὸ πεντάπηχυ καὶ δεκάπηχυ καὶ τοῖς ὁμοίοις·
45.4
ὁσάκις γὰρ ἡ μονὰς τὸν πέντε, τοσαυτάκις καὶ ὁ πῆχυς τὸ
45.5
πεντάπηχυ μετρεῖ), ἐπεὶ οὖν ῥητή ἐστιν ἡ πηχυαία ἡ ΗΘ,
1·12
ῥητή ἐστι καὶ ἡ ΑΒ ἡ τρίπηχυς καὶ σύμμετρος μήκει τῇ
2·12
προτεθείσῃ πηχυαίᾳ τῇ ΗΘ· ὁ γὰρ πῆχυς καὶ ἑαυτὸν με‐
3·12
τρεῖ καὶ τὸ τρίπηχυ. ἡ μὲν οὖν ΑΒ, ὡς εἴρηται, καὶ ῥητὴ
4·10
καὶ σύμμετρός ἐστι τῇ ΗΘ, ἡ δὲ ΓΔ, ἥτις εἴληπται ἀντὶ
5·4
τοῦ η ἀριθμοῦ, ἄλογος. καὶ τοῦτο δῆλον ὧδε· ἐπειδὴ γὰρ
55.1
ὁ τρία ἀριθμὸς ὡς πῆχυς εἴληπται καὶ διὰ τοῦτο καὶ ὁ θ
55.2
ὡς τρίπηχυ μέγεθος, τοῦ μὲν η αἱ ϛ μονάδες ἔσονται ὡς
55.3
πήχεις δύο, καταλείπονται δὲ αἱ δύο μονάδες. ὥστε ἐπειδὴ
55.4
ῥητή ἐστιν, ὡς εἴρηται, ἡ διʼ ἀριθμῶν γνωρίμη, ἡ δὲ ΓΔ
9·3
οὔτε δὶς μετρεῖται οὔτε τρίς, ἀλλʼ οὐδʼ ἅπαξ ὑπὸ τοῦ πή‐
60.1
χεως, ὃς πρόκειται ὡς ῥητή τις καὶ κανών, ἄλογός ἐστιν
60.2
ἡ ΓΔ. ἀλλὰ τί ἐστιν, ὅπερ εἴρηται, ὅτι ἀναγκαῖόν ἐστιν
60.3
ἡμᾶς αἰτῆσαι πηλικότητα πήχεως; καὶ διὰ τί οὐκ εἴρηται
60.4
ἀναγκαῖόν ἐστιν αἰτῆσαι πῆχυν, ἀλλὰ πηλικότητα πήχεως;
60.5
ἢ ἐπειδὴ τὰ μέτρα θέσει ἐξ ἡμῶν αὐτῶν λαμβάνεται καὶ
65.1
οὐ φύσει, καὶ εἰκός ἐστι παρʼ ἡμῖν, εἰ οὕτως ἔτυχε, τὸν
65.2
πῆχυν δέκα δακτύλων εἶναι, παρʼ ἄλλοις δὲ οἷον Ἰνδοῖς
65.3
ὀκτὼ δακτύλων καὶ παρʼ ἄλλοις ἄλλων, διὰ τοῦτο πρόσκει‐
65.4
ται τὸ δεῖν αἰτῆσαι πηλικότητα πήχεως, ὡς εἰ ἐλέγομεν·
65.5
δεῖ λαβεῖν τὴν πηλικότητα τοῦ πήχεως ὡρισμένην, ὥσπερ
70.1
κἂν τὸν πῆχυν ἡμᾶς ἔροιτό τις, πόσων ἐστὶ δακτύλων, δεῖ
70.2
αἰτῆσαι τὸ πηλίκον αὐτοῦ· οὐδὲ γὰρ ὁ δάκτυλος οὐδʼ
70.3
ὁ ποῦς οὐδʼ ὁ μέδιμνος οὐδʼ ἄλλο οὐδὲν παρὰ πᾶσίν ἐστι τὰ
70.4
αὐτά, ὡς εἴρηται. οὐ γάρ εἰσι φύσει, ἀλλὰ θέσει, καὶ διὰ
70.5
τοῦτο τὸ κατὰ τὸν ἡμέτερον πῆχυν τρίπηχυ κατὰ τὸν παρʼ
75.1
ἄλλοις ἔθνεσι πῆχυν οὐκ ἔσται τρίπηχυ, ὥστε ἔσται ἡ παρʼ
75.2
ἐκείνοις τριπηχυαία ἢ τριποδιαία γραμμὴ πρὸς τὴν παρʼ
75.3
ἡμῖν ἀσύμμετρος, ἀλλὰ καὶ ὁ παρʼ ἡμῖν πῆχυς πρὸς τὸν
75.4
παρʼ ἐκείνοις πῆχυν ὁμοίως καὶ ἄλογος καὶ ἀσύμμετρος διὰ
75.5
τὸ μὴ ἀπαρτιζόντως τὸν παρʼ ἐκείνοις πῆχυν μετρεῖσθαι
80.1
πρὸς τοῦ παρʼ ἡμῖν δακτύλου. ἔσονται δὲ τῇ προτεθείσῃ
80.2
ῥητῇ εὐθείᾳ, εἴτε πηχυαία ἐστὶν εἴτε ποδιαία εἴτε παλαι‐
80.3
στιαία ἢ δακτυλιαία, ἄπειροι σύμμετροι μήκει καὶ ῥηταὶ
80.4
καὶ ὁμοίως ἀσύμμετροι ἄπειροι. ὅσας μὲν γὰρ ἀπαρτι‐
80.5
ζόντως μετρεῖ, σύμμετροι· μετρεῖ γὰρ καὶ ἑαυτὴν καὶ
85.1
ἐκείνας καί ἐστι κοινὸν μέτρον αὐτὴ καὶ ἑαυτῆς κἀκείνων,
85.2
ἃς μετρεῖ. ἐνδέχεται δὲ καί, ἢν μὴ μετρεῖ ἡ πηχυαία, σύμμε‐
85.3
τρον εἶναι καὶ ῥητὴν τῇ πηχυαίᾳ, ὅταν μὴ τὸν πῆχυν ἔχω‐
85.4
μεν προκείμενον ἡμῖν ὡς μέτρον καὶ κανόνα, ἀλλʼ, εἰ τύχοι,
85.5
τὸν δάκτυλον. ἂν γὰρ ὁ δάκτυλος μετρῇ καὶ τὸν πῆχυν καὶ
90.1
τὸ μέγεθος, ὅπερ ὁ πῆχυς οὐ μετρεῖ, ἔσονται ἀλλήλοις
90.2
σύμμετρα ὅ τε πῆχυς κἀκεῖνο διὰ τὸ κοινῷ μέτρῳ μετρεῖ‐
90.3
σθαι τῷ δακτύλῳ. καὶ ὁρᾶς, ὅτι τὰ ἀσύμμετρα κατὰ τόδε
90.4
τὸ μέτρον δύνανται κατʼ ἄλλο σύμμετρα εἶναι καὶ ῥητά. τὸ
90.5
δὲ ῥητὰ ἀντὶ τοῦ ἀριθμῷ τινι δηλοῦσθαι, οἷον τῷ πέντε
95.1
ἢ τῷ ἑπτὰ πενταπήχη ἢ ἑπταπήχη λεγόμενα, καὶ διὰ τοῦτο
95.2
τοῦ δεκαγώνου πλευρὰ οὖσα μοιρῶν λζ, λεπτῶν πρώτων
95.3
τεσσάρων, δευτέρων νε ἄλογος λέγεται. εἰ μὲν γὰρ ἦν λζ
95.4
μόνων μοιρῶν, ἦν ἂν ῥητή, ὡς οὖσα τῷ τριάκοντα ἀριθμῷ
95.5
γνωρίμη, ἐπεὶ δὲ καὶ λεπτῶν ἐστι πρώτων καὶ δευτέρων,
1·13
οὐκ ἔστι ῥητή. ἔστι δὲ ἴδιον τῶν συμμέτρων τὸ τὸ ἔλασσον
2·13
τοῦ μείζονος ἤτοι μέρος εἶναι ἢ μέρη, καὶ ἂν ᾖ μέρος, λόγον
3·13
ἕξει, ὃν μονὰς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ μέρη, ὃν ἀριθμὸς πρὸς
4·11
ἀριθμόν, οἷον ὁ πέντε σύμμετρος ὢν τῷ κε μέρος ἐστὶν
5·5
αὐτοῦ καὶ λόγον ἔχει ὁ πέντε πρὸς τὸν εἰκοσικαιπέντε,
105.1
ὃν ἡ μονὰς πρὸς τὸν ε· ἰσάκις γὰρ ἡ μονὰς τὸν πέντε μετρεῖ
105.2
καὶ ὁ πέντε τὸν κε. εἰ δὲ μέρη ᾖ, λόγον ἕξει, ὃν ἀριθμὸς
105.3
πρὸς ἀριθμόν, οἷον ὁ τριάκοντα καὶ ὁ τεσσαράκοντα σύμ‐
105.4
μετροι ὄντες οὐκ ἔστιν ὁ λ μέρος τοῦ μ, ἀλλὰ μέρη, οἷον τρία
105.5
τέταρτα· τέταρτον γὰρ ἡ δεκὰς τοῦ μ, ὥστε ὁ λ τρία μέρη
110.1
ἤτοι τρία τέταρτά ἐστι τοῦ μ. ὥστε καὶ ἐκ τούτου δῆλον,
110.2
ὅτι ὁ ἐλάσσων μέρος ἐστὶ τοῦ μείζονος συμμέτρων ὄντων
110.3
τοῦ ἐλάττονος καὶ μείζονος, ὅταν αὐτὸς ὁ ἐλάττων τὸν
110.4
μείζονα ἀπαρτιζόντως μετρῇ, ὃ ταῦτόν ἐστι τῷ ὅταν ὁ
110.5
μείζων μέτρον γίνηται καὶ ἑαυτοῦ καὶ τοῦ μείζονος,
115.1
ἤτοι ὅταν καὶ ἑαυτὸν καὶ τὸν μείζονα μετρῇ. ἰστέον δέ, ὅτι
115.2
πᾶς ἀριθμὸς ἑαυτὸν μετρεῖ· εἰ γὰρ τὸ μέτρον ἐξισάζει τῷ
115.3
μετρουμένῳ ἢ εὐθὺς ἐκείνῳ προσαρμόζον ἢ διπλούμενον
115.4
ἢ τριπλούμενον, πᾶς δὲ ἀριθμὸς ἴσος ἐστὶν ἑαυτῷ, πᾶς
115.5
ἄρα ἀριθμὸς ἑαυτὸν μετρεῖ. ὑποδείγματος χάριν ὁ μὲν
120.1
τρία τὸν τρία μετρεῖ ἅπαξ ἐφαρμόζων αὐτῷ, ἐφαρμόζοντα
120.2
δέ ἐστι τὰ μήθʼ ὑπερέχοντα μήτε ἐλλείποντα. τὸν δὲ ϛ ὁ γ
120.3
μετρεῖ δὶς ἐφαρμόζων αὐτῷ. ὁ γ τρία τοίνυν καὶ ὁ θ σύμ‐
120.4
μετροί εἰσι, καὶ μέρος ἐστὶ τοῦ θ ὁ γ. ὁ δὲ λ τοῦ μ, ὡς
120.5
εἴρηται, σύμμετρος μὲν καὶ οὐ μέρος, ἀλλὰ μέρη. καὶ ὅταν
125.1
μὲν ᾖ μέρος, ὑποπολλαπλάσιον ποιεῖ λόγον, ἐὰν δὲ μέρη,
125.2
ἕνα τῶν λοιπῶν ὑπολόγων, οἷον ὑποτριπλασιεπίτριτον,
1·14
ὑφημιόλιον ἢ ἄλλον τοιοῦτόν τινα. καὶ ἐὰν εὐθεῖαι ὦσι, καὶ
2·14
τὰ ἀπʼ αὐτῶν ἐπίπεδα καὶ τὰ στερεὰ λόγον ἕξει, ὃν ἀριθ‐
3·14
μὸς πρὸς ἀριθμόν, ἐὰν δὲ ἐπίπεδα, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν στε‐
130.1
ρεά, οὐ μέντοι καὶ αἱ εὐθεῖαι, ἂν μὴ ᾖ λόγος τῶν ἀριθμῶν,
130.2
ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον.
130.3
Περὶ ῥητῶν καὶ ἀλόγων.
130.4
Τὸ ῥητὸν καὶ ἄλογον μέγεθος ἑκάτερον οὐκ ἔστι τῶν
130.5
καθʼ αὑτὰ νοουμένων, ἀλλὰ πρὸς ἕτερον συγκρινομένων.
135.1
ὅσα γὰρ ἀλλήλοις σύμμετρα εἴτε μήκει καὶ δυνάμει εἴτε
135.2
δυνάμει μόνον, ταῦτα καὶ ῥητὰ πρὸς ἄλληλα λέγεται, ὅσα
135.3
δὲ ἀλλήλοις ἀσύμμετρα, ταῦτα ἄλογα πρὸς ἄλληλα λέγεται.
135.4
οἱ μὲν ἀριθμοὶ σύμμετροι τυγχάνουσιν, ἐπείπερ ἕκαστος
135.5
αὐτῶν ὑπό τινος ἐλαχίστου μέτρου μετρεῖται. ὁμοίως δὲ
140.1
πῆχυς καὶ παλαιστὴ συμμετρίαν ἔχουσι πρὸς ἄλληλα·
140.2
ἑκάτερος γὰρ ὑπὸ ἐλαχίστου μέτρου καταμετρεῖται ὑπὸ
140.3
δακτύλου μονάδος θέσιν ἔχοντος. ἀπείρου δὲ τῆς ἐν τοῖς
140.4
μεγέθεσιν ὑπαρχούσης τομῆς καὶ μηδενὸς ὑφεστηκότος
140.5
ἐλαχίστου μέτρου δῆλον, ὅτι τοῦ ῥητοῦ μεγέθους οὐχ ἕν τι
145.1
καὶ ὡρισμένον ὡς ὁ δάκτυλος ἐλάχιστον μέτρον, ἀλλʼ ἐφʼ
145.2
ἡμῖν ἐστιν, ὁπηλίκον ἂν ἐθέλωμεν, ἐλάχιστον ὑποθέσθαι
145.3
μέτρον γνώριμον ὥσπερ μονάδα. πᾶν γὰρ καθʼ ἑαυτὸ μέ‐
145.4
γεθος, ὡς ἐλέχθη, οὔτε ῥητὸν οὔτε ἄλογον, ὅτι καὶ πᾶσα
145.5
εὐθεῖα καθʼ ἑαυτὴν οὔτε ῥητὴ οὔτε ἄλογός ἐστι, συγκρι‐
1·15
νομένη δὲ πρὸς ὑποτεθεῖσαν θέσει μονάδα ῥητὴ ἢ ἄλογος
2·15
εὑρίσκεται. οὕτως οὖν τῆς τετραγώνου πλευρᾶς ὑποτε‐
3·15
θείσης ῥητῆς ἡ διάμετρος δυνάμει ῥητὴ εὑρίσκεται· μήκει
4·12
γὰρ ἄλογος εὑρίσκεται· καὶ πάλιν αὖ τῆς διαμέτρου ῥητῆς
5·6
ὑπαρχούσης ἡ πλευρὰ δυνάμει ῥητὴ ἑκατέρας αὐτῶν καθʼ
155.1
ἑαυτὴν οὔτε ῥητῆς οὔσης οὔτε ἀρρήτου ἤτοι ἀλόγου ὑπαρ‐
155.2
χούσης. οὕτως οὖν τῶν εὐθειῶν ἐλάχιστόν τι μέτρον
155.3
ὑποθέμενοι εὐθεῖαν μονάδα οἱ ἀπὸ τῶν μαθημάτων ῥητὴν
155.4
ὠνόμασαν καὶ τὰς αὐτῇ συμμέτρους ῥητάς· ὁμοίως καὶ τὸ
9·4
ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον ῥητὸν καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα χω‐
160.1
ρία ῥητὰ ἐκάλεσαν καὶ ῥητὸν ὁμοίως τὸν ἀπʼ αὐτῆς κύβον
160.2
καὶ τὰ τούτῳ σύμμετρα στερεά. ἄρρητον δʼ ἀκουστέον ἀντὶ
160.3
τοῦ ἄλογον στερεὸν μὲν τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς κύ‐
160.4
βῳ, ἐπίπεδον δὲ τὸ ἀσύμμετρον τῷ ἀπὸ ῥητῆς τετραγώνῳ,
160.5
μήκει δέ, τουτέστιν εὐθεῖαν, τὸ ῥητῇ ἀσύμμετρον. ἐπὶ δὲ
165.1
τῶν εὐθειῶν διττῆς νοουμένης τῆς ἀσυμμέτρου, μιᾶς μὲν
165.2
ὅταν αὐταὶ αἱ εὐθεῖαι ἀσύμμετροι ὦσι, τὰ δὲ ἀπʼ αὐτῶν
165.3
χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις, ἑτέρας δὲ ὅταν καὶ [τὰ ἀπʼ
165.4
αὐτῶν χωρία σύμμετρα ἀλλήλοις ἑτέρας δὲ ὅταν καὶ] τὰ
165.5
ἀπʼ αὐτῶν χωρία ἀσύμμετρα ἀλλήλοις ᾖ, διττὴ καὶ ἡ πρὸς
170.1
τὴν ῥητὴν διαφορὰ κατὰ τοὺς παλαιοὺς ὑπῆρχε· αἱ μὲν γὰρ
170.2
λέγονται δυνάμει ῥηταὶ καὶ ἄλογοι, αἱ δὲ μήκει. δυνάμει
170.3
μὲν οὖν εἰσι ῥηταί, ὡς εἴρηται, ὅσαι εἰσὶν ἀσύμμετροι τῇ
170.4
ῥητῇ, τὰ δʼ αὐτῶν τετράγωνα σύμμετρα τῷ ἀπὸ ῥητῆς
170.5
τετραγώνῳ, οἷον εἴ ἐστιν ἡ ΑΒ εὐθεῖα ῥητή, ἡ δὲ ΓΔ ἀσύμ‐
175.1
μετρος αὐτῇ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον σύμ‐
175.2
μετρον εἴη τῷ ἀπὸ τῆς ΑΒ, ἡ ΑΒ καὶ ΓΔ δυνάμει εἰσὶ
175.3
ῥηταί. ἀλλὰ κἂν ἡ ΖΗ καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον οὕτως
175.4
ἕξει πρὸς τὴν ΑΒ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ τετράγωνον, ὡς
175.5
εἶχεν ἡ ΓΔ καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΔ τετράγωνον πρὸς τὴν ΑΒ
180.1
καὶ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον, κἂν οὖν ἡ ΖΗ καὶ τὸ τετρά‐
180.2
γωνον αὐτῆς οὕτως ἕξουσι πρὸς τὴν ΑΒ καὶ τὸ τετράγω‐
180.3
νον αὐτῆς, ἡ ΖΗ καὶ ἡ ΑΒ δυνάμει εἰσὶ ῥηταί. κἂν ἄλλη
180.4
τις εὑρεθῇ οὕτως ἔχουσα πρὸς τὴν ΑΒ ὡς αἱ εἰρημέναι,
180.5
δυνάμει ἔσονται πρὸς τὴν ΑΒ ῥηταί. δυνάμει μὲν οὖν ῥηταὶ
185.1
αὗται, μήκει δὲ ῥηταί, ὅταν τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα ἢ ἐν
185.2
τετραγώνοις ἀριθμοῖς ᾖ ἢ τὰς πλευρὰς ἔχει συμμέτρους
185.3
τῇ ῥητῇ μήκει. καὶ τάχα τὸ λεγόμενον τοιοῦτόν ἐστιν·
185.4
ὅταν συγκρίνωμεν δύο εὐθείας, εἴτε δυνάμει εἰσὶ ῥηταὶ
185.5
εἴτε μήκει, δεῖ ὁρᾶν πρὸς τρίτην εὐθεῖαν ῥητὴν οὖσαν,
190.1
καὶ εἰ μὲν εὕροιμεν αὐτὰς μήκει συμμέτρους τῇ ἐκκειμένῃ
190.2
ῥητῇ, καὶ αὗται ῥηταὶ ἔσονται μήκει· τὰ γὰρ τῷ αὐτῷ μή‐
1·16
κει σύμμετρα καὶ ῥητὰ καὶ ἀλλήλοις μήκει σύμμετρα καὶ
2·16
ῥητά ἐστι. τοῦτο δὲ δεῖ καὶ ἐπὶ τῶν δυνάμει ῥητῶν ποιεῖν.
3·16
ἰστέον δέ, ὡς ἀντιστρέφει, καὶ εἴτε εὐθεῖαι σύμμετροί εἰσι
195.1
καὶ διὰ τοῦτο καὶ ῥηταί, καὶ τὰ ἀπʼ αὐτῶν τετράγωνα
195.2
λόγον ἔχουσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς τετράγωνον ἀριθμόν,
195.3
κἂν τὰ τετράγωνα λόγον ἔχωσιν, ὃν τετράγωνος πρὸς
195.4
τετράγωνον, σύμμετροι καὶ ῥηταί εἰσιν αἱ εὐθεῖαι. καθόλου
195.5
οὖν ἡ τῇ ῥητῇ σύμμετρος καλεῖται ῥητὴ εἴτε μήκει μέση
1·17
εἴτε δυνάμει μόνον :~ μέση λέγεται εὐθεῖα ἡ δυναμένη
2·17
χωρίον ὀρθογώνιον περιεχόμενον ὑπὸ εὐθειῶν ῥητῶν δυ‐
3·17
νάμει μόνον συμμέτρων· καὶ ἄλογόν ἐστι. καλεῖ δὲ τὴν
4·13
δυναμένην τὸ περιεχόμενον ὑπὸ τοιούτων εὐθειῶν μέσην
5·7
διὰ τὸ τὸ ἀπʼ αὐτῆς τετράγωνον ἴσον εἶναι τῷ περιεχο‐
205.1
μένῳ ὑπὸ τῶν δύο εὐθειῶν καὶ μέσην ἀνάλογον αὐτὴν
205.2
γίνεσθαι τῶν δύο εὐθειῶν. :~ ἐκ δύο ὀνομάτων εὐθεῖα
205.3
λέγεται, ἥτις καὶ ἄλογός ἐστι, ἡ συγκειμένη ἐκ δύο εὐθειῶν
205.4
ῥητῶν δυνάμει μόνον συμμέτρων. καλεῖ δὲ ἐκ δύο ὀνο‐
205.5
μάτων διὰ τὸ ἐκ δύο ῥητῶν συγκεῖσθαι δυνάμει μόνον, ὡς
210.1
εἴρηται, συμμέτρων, ἔστι δὲ κύριον ὄνομα τὸ ῥητὸν καθὸ
210.2
ῥητόν.
243col.1
ἡ ΖΒ
243col.2
١
243col.3
١٠
243col.9
٢١
356col.1
τὸ ΓΔ
356col.2
٢
356col.3
٤٧
356col.4
٣٣
356col.5
٢٤
356col.9
١٦
372col.1
τὸ ὑπὸ
372col.2
τῶν
372col.3
ΑΒ,
372col.4
ΒΓ
372col.5.1
٥
372col.5.2
٣٥
372col.5.3
٢٥
372col.5.4
١١
372col.9
٢٨
382col.1
τὸ συναμφότερον
382col.2
τῶν ἀπό
382col.3
٣٢
382col.4
١٢
382col.5.1
٤٣
382col.5.2
٥٦
382col.9
٥٠
389col.1
τὸ ἅπαξ
389col.2
ὑπὸ τῶν
389col.3
ΑΒ, ΒΓ
389col.4
٥
389col.5.1
٣٥
389col.5.2
٢٥
389col.5.3
١١
389col.9
٢٨
409col.1
τὸ ἀπὸ τῆς
409col.2
ἡμισείας
409col.3
ἡ ΑΗ
409col.4
٢٢٩
409col.5.1
٣٢
409col.5.2
٤٦
409col.5.3
٥١
409col.5.4
٨
409col.5.5
١
409col.10
٤٠
415col.1
τὸ ἀπὸ τῆς
415col.2
μεταξὺ τῶν τομῶν
415col.3
οὐδέν
415col.4
٣٠
415col.5.1
١٥
415col.5.2
٥٢
415col.5.3
٣٠
415col.5.4
٥٦
415col.5.5
٥٢
415col.10
١٥
419col.1
τὸ ἀπὸ τῆς
419col.2
μεταξὺ τῶν
419col.3
τομῶν
419col.4
٢
419col.5.1
١٨
419col.5.2
٤
419col.5.3
٤٥
419col.5.4
١٨
419col.9
٤٥
422col.1
ἡ πλευρὰ τοῦ
422col.2
ἀπὸ τῆς μεταξὺ
422col.3
τῶν τομῶν
422col.4
٤
422col.5.1
٢
422col.5.2
٣
422col.9
٤٤
424col.1
ἡ αὐτοῦ
424col.2
πλευρὰ ἡ ΛΝ
424col.3
٤
424col.4
٧
424col.5
٣٧
426col.1
τὸ ἀπὸ τῆς μεταξὺ
426col.2
τῶν τομῶν
426col.3
٢
426col.4
٥٠
426col.5
٢٨
426col.9
٥٩
434col.1
ἡ ΖΜ
434col.2
٢
434col.3
٥٣
434col.4
٢٣
434col.5
٢٠
434col.9
٤٤
435col.1
ἡ ΚΜ
435col.2
٥
435col.3
٥
435col.4
١٤
435col.5
٤٨
435col.9
٣٥
447col.1
ἡ ΖΚ
447col.2
οὐδέν
447col.3
٤٥
447col.4
٤٧
447col.5.1
٤٢
447col.5.2
٤٧
447col.5.3
٣٤
447col.9
٣٠
460col.1
ἡ ΘΖ
460col.2
٢
460col.3
١٨
460col.4
٩
460col.5
٣٦
468col.1
ἡ Η
468col.2
٣
468col.9
١٨
471col.1
ἡ ΑΖ
471col.2
٣٠
471col.3
١٨
471col.4
٥
471col.5
٤٠
471col.10
ἡ ΑΒ
471col.10·2
٢٠
1·18
Οἷον ἐὰν εὐθύγραμμον ἐπίπεδον, ἀπὸ δὲ τῶν περά‐
2·18
των τῶν πλευρῶν αὐτοῦ ἀχθῶσι μετέωροι εὐθεῖαι ἐφʼ ἓν
3·18
σημεῖον συννεύουσαι, τὸ περιληφθὲν σχῆμα πυραμίς ἐστιν,
4·14
κορυφὴ δὲ πυραμίδος καλεῖται τὸ σημεῖον, ἐφʼ ᾧ αἱ εὐθεῖαι
5·8
συνέπεσον ἀλλήλαις, βάσις δὲ τὸ ἐξ ἀρχῆς ἐπίπεδον.
1·19
Εἰς τὸ αὐτὸ θεώρημα.
2·19
Ἔστω τμῆμα τὸ ΑΒΓ, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒΓ περιφέρεια
3·19
δίχα κατὰ τὸ Β σημεῖον, καὶ ἤχθω διὰ τοῦ Β τῆς ΑΒΓ
4·15
περιφερείας ἐφαπτομένη ἡ ΒΔ. δεῖξαι, ὅτι ἡ ΒΔ παρ‐
5.1·6
άλληλός ἐστι τῇ ΓΑ. ἐπεζεύχθωσαν γὰρ αἱ ΑΒ, ΒΓ· καὶ
5.2·6
ἐπεὶ ἐφάπτεται μὲν ἡ ΒΔ, τέμνει δὲ ἡ ΒΑ, ἴση ἄρα ἡ ὑπὸ
5.3·6
ΔΒΑ τῇ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμήματι γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΒΓΑ. ἡ
5.4·5
δὲ ὑπὸ ΒΓΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ ἐστιν ἴση διὰ τὴν διχοτομίαν.
5.5·5
ἴση ἄρα καὶ ἡ ὑπὸ ΔΒΑ τῇ ὑπὸ ΒΑΓ. καί εἰσιν ἐναλλάξ·
10·3
παράλληλος ἄρα ἡ ΔΒ τῇ ΓΑ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
1·20
τῷ δὲ ἀπὸ τῆς ΒΕ p. 5, 10] ἡμικύκλιον γάρ ἐστι τὸ
2·20
ΒΑΕ, ἡ δὲ ἐν ἡμικυκλίῳ γωνία ὀρθή ἐστιν, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς
3·20
ὑποτεινούσης τὴν ὀρθὴν γωνίαν τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς
4·16
ἀπὸ τῶν περὶ τὴν ὀρθὴν γωνίαν τετραγώνοις.
1·21
Ὅπως δὲ καὶ τὸ ὕψος ἴσον ἔσται τῇ τοῦ τετραγώνου
2·21
πλευρᾷ, δείξομεν οὕτως· ἀναγεγράφθω τετράγωνον ἀπὸ
3·21
μιᾶς τῶν διηγμένων παρὰ μίαν ἑκάστην τῶν βάσεων τῶν
4·17
τριγώνων, καὶ συμπεπληρώσθω τὸ τετράγωνον. ἴσαι ἄρα
5.1·7
πᾶσαι. αἱ τοίνυν διηγμέναι παρὰ τὴν κοινὴν βάσιν τῶν ἐφʼ
5.2·7
ἑκάτερα τριγώνων ἴσαι οὖσαι πρὸς τὴν εἰρημένην κοινὴν
5.3·7
βάσιν τὸν αὐτὸν ἕξουσι λόγον· τὰ γὰρ ἴσα πρὸς τὸ αὐτὸ
5.4·6
τὸν αὐτὸν ἕξει λόγον. ἀλλὰ ὃν λόγον ἔχουσιν αὗται βάσεις
5.5·6
οὖσαι τῶν ἐλαττόνων τριγώνων πρὸς τὴν κοινὴν βάσιν
10.1·5
ἑκατέρου τῶν μειζόνων, οὕτω καὶ αἱ πλευραὶ τῶν ἐλατ‐
10.2·5
τόνων τριγώνων πρὸς τὰς τῶν μειζόνων διὰ τὴν ὁμοιότητα.
10.3·5
ἀλλʼ αἱ τῶν μειζόνων τριγώνων πλευραὶ ἴσαι. ὥστε καὶ αἱ
10.4·5
τῶν ἐλαττόνων ἴσαι. ὥστε καὶ τὰ ἐγγραφέντα τετράγωνα
10.5·4
ἴσον ἀπέχοντα τοῦ τετραγώνου, ἀφʼ οὗ τὸ ὀκτάεδρον
15
ἀναγράφεται, ἴσα ἔσται.
1·22
μὲν ἀπὸ τῆς ΑΓ παραπλήρωμα, τὸ δὲ ἀπὸ τῆς ΓΒ ἤτοι
2·22
τῆς ΗΚ· ἴση γὰρ ἡ ΓΒ τῇ ΗΚ. λέγει οὖν τὸ ἀπὸ τῆς ΑΒ
3·22
ὅλον τετράγωνον ἴσον εἶναι τοῖς τε ἀπὸ τῶν ΘΗ, ΔΖ καὶ
5·9
ΓΒ, ΗΚ τετραγώνοις καὶ τοῖς παραπληρώμασιν.
22col.1
ἢ ἑκάτε‐
22col.2
ρον καὶ
22col.3
τὸ ἀπὸ
22col.4
καὶ τὸ
22col.5
ὑπὸ
22col.9
μέσον.
22col.10
Τῶν ἀλόγων
1·23
Ἐὰν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, ἀπὸ δὲ τοῦ ση‐
2·23
μείου πρὸς τὸν κύκλον προσπίπτωσιν δύο εὐθεῖαι ἐφαπτό‐
3·23
μεναι τοῦ κύκλου, ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν.
4·18
Κύκλου γὰρ τοῦ αγβ εἰλήφθω τι σημεῖον ἐκτὸς τὸ ε, καὶ
5.1·8
ἀπὸ τοῦ ε πρὸς τὸν αγβ κύκλον προσπιπτέτωσαν δύο
5.2·8
εὐθεῖαι αἱ εα, εβ ἐφαπτόμεναι αὐτοῦ κατὰ τὰ α, β σημεῖα.
1·24
λέγω, ὅτι αἱ εα, εβ ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. εἰλήφθω τὸ κέντρον
2·24
τοῦ κύκλου καὶ ἔστω τὸ δ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ αδ, δβ,
3·24
βα. καὶ ἐπεὶ αἱ βε, εα εὐθεῖαι ἐφάπτουσι τοῦ κύκλου, ἀπὸ
10.1·6
δὲ τοῦ δ κέντρου ἐπιζευχθεῖσαί εἰσιν εἰς αὐτὰς εὐθεῖαι αἱ
10.2·6
δα, δβ, αἱ ἄρα ὑπὸ δαε, δβε ὀρθαί εἰσιν. δῆλον δέ, ὅτι καὶ
10.3·6
γωνίαι αἱ ὑπὸ δαβ, δβα ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν· λοιπὴ ἄρα ἡ
10.4·6
ὑπὸ βαε λοιπῇ τῇ ὑπὸ αβε ἴση ἐστίν. ἐὰν δὲ τριγώνου αἱ
10.5·5
δύο γωνίαι ἴσαι ἀλλήλαις ὦσιν, καὶ αἱ ὑπὸ τὰς ἴσας γωνίας
15.1·4
ὑποτείνουσαι πλευραὶ ἴσαι ἀλλήλαις ἔσονται. ἴση ἄρα καὶ ἡ
15.2·4
αε τῇ εβ. ἐὰν ἄρα κύκλου καὶ τὰ ἑξῆς· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
Click or tap any word for its parse and dictionary entry.
Text: Perseus Digital Library, licensed CC BY-SA. Dictionary: Liddell, Scott & Jones (Perseus, CC BY-SA). Morphology: odyCy — machine parsing, corrected against the AGDT & PROIEL treebanks and Morpheus.